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化二次型为标准形的几种方法
摘 要

二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．
关键词：正交变换法 配方法 初等变换法 雅可比方法 偏导数法

reduce the quadratic forms to the standard forms
Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.
Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method

一、 引言
二次型的本质是一个关于个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：
设是一个数域，一个系数在数域中的二次齐次多项式
，称为数域上的一个元二次型．
二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．
关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．
庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．陈惠汝、刘红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．
李五明，张永金，张栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．
胡明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．
郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．
孙秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．
以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．
二、 化二次型为标准形的六种方法
（一）正交变换法
由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．
定理1 任意一个实二次型＝（其中）都可以经过正交线性替换变成平方和，其中平方项的系数就是矩阵的全部特征根．
由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：
1. 将实二次型表示成矩阵形式，并写出矩阵；
2. 求出矩阵的所有特征值，它们的重数分别记为（=）
求出每个特征值所对应的特征向量，因为=，所以共有个特征向量．具体方法是：列出方程，解出与对应的个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值所对应的特征向量．
将个特征向量，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组，并记 =；
作正交变换，则二次型化为标准形=．
例1　用正交变换方法化二次型
为标准形．
解：（1）二次型的矩阵为
=
由的特征多项式
==
得的特征值为=-3，=7，=-1，=1．
（2）将=-3代入中，得到方程组

解此方程组可得出基础解系=，同样地，分别把=7，=-1，=1
代入中，求解方程组得与=7，=-1，=1对应的基础解系依次为=，=，=．
（3）将正交化：
==　
==
==
==
将正交向量组，单位化得单位正交向量组：
，，，
（4）令=，于是正交线性替换=将二次型化为标准形=．

（二） 配方法
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．
定理 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式．
用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：
(1) 若二次型中含有某变量的平方项和交叉项，则可先将含的交叉项合并在一起，使之与配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；
(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项时，先作可逆线性替换，，（），使之成为含有,的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．
例２　用配方法化二次型为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．
解：原二次型中含有的平方项，先将含有的项集中，利用平方和公式消去， 然后对配平方，消去项.此过程为

于是作非退化线性替换，由此得，
即，于是二次型化为标准形，
所用的线性替换矩阵为．
例3　将二次型=化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．
解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令

即

代入原二次型得

此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有的项集中，消去，再分别对 配平方即可．
所以有

作非退化线性替换
，或写成，
即

于是二次型化为标准形，所用的线性替换矩阵为

从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．
定理 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵，都可以找到一个可逆矩阵使成对角形．
根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘相当于对作一次初等行变换；用初等矩阵右乘相当于对作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：
（1）写出二次型的矩阵,与构成矩阵
（2）对进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将化成对角矩阵；但是对只进行其中的列变换.，用分别表示变化后的矩阵．
（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换，此线性替换将化原二次型化为标准形．
此过程可简单表示为： ．
例4　用初等变换法将二次型变为标准形．
解：首先写出二次型的矩阵

然后构造出矩阵

从以上过程可以看出，最后作可逆线性替换，则

（四）雅可比(Jacobi)方法
此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定
标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二
次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．
1. 几个相关定义
　 是数域P上一个线性空间，是上一个二元函数，如果有下列性质：
（1）；
（2）；
其中是中任意向量，是中任意数，则称为上的一个双线性函数．
　线性空间上的一个双线性函数，如果对中任意两个向量α,β都有=，则称为对称双线性函数．
　设是数域上n维线性空间上的一个双线性函数.是V的一组基，则矩阵称为 在下的度量矩阵．
2. 解题步骤
雅可比方法的计算步骤归纳如下：
（1）在矩阵的非对角线元素中选取一个非零元素 .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;
（2） 由公式求出，从而得平面旋转矩阵;
（3） ,的元素由公式(9)计算．
（4） 以代替，重复第一、二、三步求出及，继续重复这一过程，直到的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．
（5） 的对角线元素为的全部特征值的近似值,的第j列为对应于特征值(为的对角线上第j个元素)的特征向量．
例5　用雅可比方法将二次型=化为标准形．
解：二次型的矩阵，顺序主子式，，都不等于零，所以能采用雅可比方法．
设，双线性函数关于基的矩阵为, 则
A==
再设
系数可由条件求出，即，从而得出，所以，系数可由方程组求出，并可得到，所以=，系数可由方程组求出，即，所以.由此可得，由基到的过渡矩阵为．因此经线性替换能够化成标准形：．
（五）偏导数法
偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．
利用偏导数法将二次型＝化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）
1. 情形1： 二次中含有的平方项，即 中至少有一个不为零的情形．
（1） 不妨设不等于零，将对的偏导数求出来，并记.
（2） 根据偏导数法，通过计算得出．此时中已经不再含有．
（3） 求出对的偏导数，并记，又可得， 此时中不再含有．
（4） 按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．
2. 情形2：二次型中不含的平方项，即所有都等于零，但是至少有一不等于零的情形．
（1）不妨设不等于零，首先求出对的偏导数，以及对的偏导数，并记，，
（2）将(1)结果代入，此时得到，其中中不含的项．
（3）进行观察：如果中含有的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果中仍然不含有的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．
例6　用偏导数法化二次型为标准形．
解：原二次型中含有的平方项，符合情形1，首先求出对的偏导数
，
所以可以得到：

整理可得到：

接下来求出对 的偏导数
,

令
经过变形可以得到
于是原二次型化为标准形
所得的变换矩阵为
，
例7　用偏导数法化二次型为标准形．
解：由于所给的二次型中不含的平方项，符合情形2，所以分别求出对的偏导数，以及对的偏导数，其结果如下：
，
，

整理上式可得：
于是得到

令
经过整理可以得到
可以得到所用的可逆矩阵为
，

（六）顺序主子式法
对于二次型
（1）
其中，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．
对于二次型（1）矩阵

假如

则二次型可化为标准形
例8 化二次型为标准形
解：二次型的矩阵为
方法一：
所以
方法二： 所以

雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．
3.1二次型在二次曲面研究中的应用
二次曲面的一般方程为：

其中都是实数．我们记
，，
其中利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：
　 　　　　　　(2)
为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行．
第一步，
利用正交变换 将方程（2）左边的二次型的部分化成标准形：

其中为正交矩阵，,相应地有

于是方程(2)可化为

第二步, 作平移变换
，将方程(3)化为标准方程, 其中这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对是否为零进行讨论:
1) 当时，用配方法将方程(3)化为标准方程：
(6-1)
根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．
（2） 当中有一个为0，设方程（3）可化为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6-2)
　　 (6-3)
根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．
(3) 当中有两个为０，不妨设，方程(3) 可化为下列情况之一：

此时，再作新的坐标变换：

(实际上是绕轴的旋转变换)，方程可化为：
表示抛物柱面；
表示抛物柱面；
表示抛物柱面；
若与异号，表示两个平行平面；若与同号，图形无实点，若，表示坐标面．
例　二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．
解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：

的特征值为，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：
，，
取 P= ( p1 , p2 , p3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换
x = Py , 其中则有:

因此，原方程可化为：

配方得：
令

则原方程化为标准方程：
该曲面为椭圆抛物面．

四、总结不同方法化简的优劣
对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.
正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.
二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.

致谢
我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持， 这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.
大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易， 得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力
本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！
参考文献
[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007.
[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，1999.
[3]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.
[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].上海：上海科技出版社，1986.
[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2003.
[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.
[7]李五明，张永金，张栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师范专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）
[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]渭南师专学报（自然科学版）2000（2）.
[9]胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.
[10]北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社.2007:205-234.
[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育出版社.2004:427.
[12]陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].长春师范学院报,2004,23(2):13-15.
[13]孙秀花.二次型的应用[J].宜宾学院报,2010,10(6):28-29
[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42
[15]杨文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129
[16]郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227
[17]袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74
[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J].TheCollegeMathematicsJournal.2001.