2016年湖南省娄底市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．2016的相反数是（　　）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
2．已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（　　）

A．M B．N C．P D．Q
3．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6 B．5a﹣2a=3a2 C．（a3）4=a12 D．（x+y）2=x2+y2
4．下列命题中，错误的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．内错角相等
5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．70°
7．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2
9．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（　　）
A．CnH2n+2 B．CnH2n C．CnH2n﹣2 D．CnHn+3
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），则k=　　　　　　．
12．已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为　　　　　　．
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是　　　　　　．

14．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　　　　　　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

15．将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是　　　　　　．
16．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　　　　　　．
17．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为　　　　　　．

18．当a、b满足条件a＞b＞0时， +=1表示焦点在x轴上的椭圆．若+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是　　　　　　．

三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19．计算：（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1﹣2sin45°．

20．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．在2016CCTV英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均不低于60分．为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行了整理，得到如图的两幅不完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在表中的频数分布表中，m=　　　　　　，n=　　　　　　．
成绩
频数
频率
60≤x＜70
60
0.30
70≤x＜80
m
0.40
80≤x＜90
40
n
90≤x≤100
20
0.10
（2）请补全图中的频数分布直方图．
（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若娄底市共有4000人参数，请估计约有多少人进入决赛？

22．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？

24．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．

六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．
（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．
（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；
（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

2016年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．2016的相反数是（　　）
A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
【解答】解：2016的相反数是﹣2016，
故选：B．

2．已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（　　）

A．M B．N C．P D．Q
【考点】绝对值；数轴．
【分析】根据各点到原点的距离进行判断即可．
【解答】解：∵点Q到原点的距离最远，
∴点Q的绝对值最大．
故选：D．

3．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6B．5a﹣2a=3a2C．（a3）4=a12D．（x+y）2=x2+y2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；
B、5a﹣2a=3a，故此选项错误；
C、（a3）4=a12，正确；
D、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；
故选：C．

4．下列命题中，错误的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．内错角相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法即可判断A、B、C正确．
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确．
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确．
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确．
D、内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等．
故选D．

5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】分别分析四个选项中圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、俯视图，从而得出都为矩形的几何体．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；
C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：B．

6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．70°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣40°=50°．
故选C．

7．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】统计量的选择．
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数．
故选：B．

8．函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2．
故选A．

9．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（　　）
A．CnH2n+2B．CnH2nC．CnH2n﹣2D．CnHn+3
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an=2n+2”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，
∴an=2n+2．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．
故选A．

10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性．
【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．
【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．
故选C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），则k=　﹣2　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点A（1，﹣2）代入y=求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），
∴﹣2=，
解得k=﹣2．
故答案为：﹣2．

12．已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为　1.12×105　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：112000=1.12×105，
故答案为：1.12×105．

13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是　AB∥CD　．

【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
又∵∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°．
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．

14．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　AB∥DE　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．

15．将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是　y=2x﹣2　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
【解答】解：根据平移的规则可知：
直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y=2x+1﹣3=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．

16．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　　．
【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．
【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，
∴取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为，
故答案为：．

17．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为　13　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用翻折变换的性质得出AD=CD，进而利用AD+CD=AB得出即可．
【解答】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，
∴AD=CD，
∵AB=7，BC=6，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．
故答案为：13

18．当a、b满足条件a＞b＞0时， +=1表示焦点在x轴上的椭圆．若+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是　3＜m＜8　．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据题意就不等式组，解出解集即可．
【解答】解：∵+=1表示焦点在x轴上的椭圆，a＞b＞0，
∵+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，
解得3＜m＜8，
∴m的取值范围是3＜m＜8，
故答案为：3＜m＜8．

三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19．计算：（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1﹣2sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值、零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1﹣2sin45°
=1+﹣1+2﹣
=2．

20．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最后代入化简即可．
【解答】解：原式=•
=．
当x=2时，原式==﹣2．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．在2016CCTV英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均不低于60分．为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行了整理，得到如图的两幅不完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在表中的频数分布表中，m=　80　，n=　0.2　．
成绩
频数
频率
60≤x＜70
60
0.30
70≤x＜80
m
0.40
80≤x＜90
40
n
90≤x≤100
20
0.10
（2）请补全图中的频数分布直方图．
（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若娄底市共有4000人参数，请估计约有多少人进入决赛？

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【分析】（1）用抽查的总人数乘以成绩在70≤x＜80段的人数所占的百分比求出m；用成绩在80≤x＜90段的频数除以总人数即可求出n；
（2）根据（1）求出的m的值，直接补全频数分布直方图即可；
（3）用娄底市共有的人数乘以80分以上（包括80分）所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
m=200×0.40=80（人），
n=40÷200=0.20；
故答案为：80，0.20；

（2）根据（1）可得：70≤x＜80的人数有80人，补图如下：

（3）根据题意得：
4000×（0.20+0.10）=1200（人）．
答：估计约有1200人进入决赛．

22．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】设DH=x米，由三角函数得出=x，得出BH=BC+CH=2+x，求出AH=BH=2+3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．
【解答】解：设DH=x米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH•sin60°=x，
∴BH=BC+CH=2+x，
∵∠A=30°，
∴AH=BH=2+3x，
∵AH=AD+DH，
∴2+3x=20+x，
解得：x=10﹣，
∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．
答：立柱BH的长约为16.3米．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2=600米即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得+=﹣2，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；

（2）∵300×2=600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．

24．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
（2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°﹣α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，
∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
，
∴△BCF≌△BA1D；

（2）解：四边形A1BCE是菱形，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，
∴∠A1=∠A，
∵∠ADE=∠A1DB，
∴∠AED=∠A1BD=α，
∴∠DEC=180°﹣α，
∵∠C=α，
∴∠A1=α，
∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，
∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
∴A1B=BC，
∴四边形A1BCE是菱形．

六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．
（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．
（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；
（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；
（2）（i）因为BC2=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；
（ii）过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切．
【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，
∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
又∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B，

（2）（i）∵BC2=AB•BE，
∴=，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴tan∠ACD=tan∠B=，
设BE=4x，CE=3x，
由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，
∴（4x）2+（3x）2=100，
∴解得x=2，
∴CE=6；

（ii）过点A作AF⊥CD于点F，
∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直线CD与⊙A相切．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣6）即可求得函数的解析式；
（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．
（3）分三种情况画图：①以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于Q1和Q4，有两个符合条件的Q1和Q4；②以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q3，有一个符合条件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐标．
【解答】解：（1）设y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），
把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，
a=1，
∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，
则PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，
∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC
=（﹣m2+5m+6）（m+1）+（6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+×1×6
=﹣3m2+12m+36
=﹣3（m﹣2）2+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，
∴P（2，﹣12），
（3）这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，
y=x2﹣5x﹣6=（x﹣）2﹣；
因为Q3在对称轴上，所以设Q3（，y），
∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，
由勾股定理得：（+1）2+y2=（﹣5）2+（y+6）2，
y=﹣，
∴Q3（，﹣）．

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