《实变函数》第二章点集.doc
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1、第二章 点集 (总授课时数 8学时)教学目的: 欧氏空间上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础.本章要点 由上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义.由开集生成一个-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容.本章难点 Borel集、Cantor 集的性质.授课时数 8学时本章先介绍中的距离、极限
2、、邻域、区间及其体积等基本概念,然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集,并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.1 度量空间,维欧氏空间教学目的1、深刻理解 中的距离、邻域、点列收敛等概念,弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用.2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念. 3、了解邻域的四条性质.本节要点 度量空间的概念.本节难点 度量空间的概念.授课时数 2学时一、 度量空间定义1:设为一非空集合,:为一映射,且满足(1), (正定性)(2) (对称性)(3) (三角不
3、等式)则称为度量空间.例1:(1) 欧氏空间,其中(2) 离散空间,其中(3) 空间(表示闭区间上实值连续函数全体), 其中二、 邻域定义2: 称集合为 的邻域,并记为.称为邻域的中心,称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时,也简称为的邻域,并记为.不难看出:点列收敛于的充分必要条件是对任意,存在,当时有:.容易验证邻域具有下面的基本性质:1) ;2) 对于和, 如果存在,则存在 3) 对于,存在;4) 对于,存在和满足定义3: 两个非空的点集间的距离定义为如果中至少有一个是空集,则规定;若,则记显然,若,则。定义4: 一个非空的点集的直径定义为:当时,规定。显然, 至多只有一个元素
4、。若,则称为有界集。定义5: 称为集合的直积,记为或定义6: 若,其中为直线上的区间,则称为维欧氏空间中的区间;如果所有都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间,则称是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的都是直线上的有界区间,则称是中的有界区间;如果至少有一个是直线上的无界区间,则称是中的无界区间.注: 中的有界区间即矩形,中的区间即长方体,因此中的区间有时也称为“长方体”.显然,为有界集的充要条件是存在有界区间或为有界集的充要条件是存在有界邻域定义7: ,称为区间的“体积”,即.当然,这里约定,当.注:中的区间体积即区间的长度,中的区间体积即矩形面积长宽,中的区间体积即长方体体积长宽高,
5、因此规定中的区间体积个边长的乘积,既是合理的又是自然. 2、聚点、内点、界点教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念,弄清它们的区别与联系. 2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念,对一个已知的点集,会求这些相关的点集. 3、了解Bolzano-Weierstrass定理.本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念.本节难点 对一个已知的点集,求这些相关的点集.授课时数 2学时一、 欧氏空间中各类点的定义(1)为的内点:使得,记为(2)为的外点:使得,的外点的全体记为.(3)为的边界点:有且,记为(4)为的聚点:有, 的聚点的
6、全体称为的导集,记为(5)为的孤立点:使得(6)为的接触点:注: 聚点、边界点不一定属于,内点、孤立点一定属于.由定义可知的孤立点全体例1:(1)令, 则, (2)令,则 对一切 均为的孤立点二、 聚点的等价定义定理1 下面三个陈述是等价的: (1) ;(2)对, (3)中有各项互异的点列,使证明 (1) (2)是显然的 (2)(3):因为,取,则且.令,则中至少有一点且,.令,则中至少有一点且.这样继续下去,便得到点列且满足要求.(3)(1):,存在自然数,当时,有,即为无限集,故.三、 开核、边界、导集之间的关系定理2 设A B ,则, ,定理3 ,证明:(1)因为,由定理2知,从而.另一
7、方面,任取,若,则且.于是,使 ,使 ,取,则这说明,这与矛盾.所以,即综合以上两个方面,即有.(2) .证毕定理4 (Bolzano-Weierstrass 定理)中的有界点列必有收敛子列(证略)作业:P49 2, 3, 4, 5 练习题1 是与上的全体有理点,在与中分别看时,各是有哪些点构成的.2 设A B ,证明, , 3、开集、闭集、完备集教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理(对偶性定理及运算方面的定理). 2、理解Heine-Borel有限覆盖定理.本节要点 开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理.本节难点 Heine-Borel有限覆盖定理.授课时数 2学时一
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