2016年四川省雅安市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2016•雅安）﹣2016的相反数是（　　）
A．﹣2016 B．2016 C．﹣ D．
2．（3分）（2016•雅安）下列各式计算正确的是（　　）
A．（a+b）2=a2+b2 B．x2•x3=x6 C．x2+x3=x5 D．（a3）3=a9
3．（3分）（2016•雅安）已知a2+3a=1，则代数式2a2+6a﹣1的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（3分）（2016•雅安）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（7，1） B．B（1，7） C．（1，1） D．（2，1）
5．（3分）（2016•雅安）将如图绕AB边旋转一周，所得几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）（2016•雅安）某校为开展第二课堂，组织调查了本校150名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如下扇形统计图，则在该被调查的学生中，跑步和打羽毛球的学生人数分别是（　　）

A．30，40 B．45，60 C．30，60 D．45，40
7．（3分）（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
8．（3分）（2016•雅安）如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（　　）

A．2+2 B．2+ C．4 D．3
9．（3分）（2016•雅安）如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
10．（3分）（2016•雅安）“一方有难，八方支援”，雅安芦山4•20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
11．（3分）（2016•雅安）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）（2016•雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（　　）

A．2 B． C．2 D．3
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）（2016•雅安）1.45°=______．
14．（3分）（2016•雅安）P为正整数，现规定P!=P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!=24，则正整数m=______．
15．（3分）（2016•雅安）一书架有上下两层，其中上层有2本语文1本数学，下层有2本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为______．
16．（3分）（2016•雅安）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为______．

17．（3分）（2016•雅安）已知a+b=8，a2b2=4，则﹣ab=______．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（12分）（2016•雅安）（1）计算：﹣22+（﹣）﹣1+2sin60°﹣|1﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x=﹣2．

19．（7分）（2016•雅安）解下列不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
．

20．（10分）（2016•雅安）甲乙两人进行射击训练，两人分别射击12次，如图分别统计了两人的射击成绩，已知甲射击成绩的方差S甲2=，平均成绩=8.5．
（1）根据图上信息，估计乙射击成绩不少于9环的概率是多少？
（2）求乙射击的平均成绩的方差，并据此比较甲乙的射击“水平”．
S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2…（xn﹣）2]．

21．（8分）（2016•雅安）我们规定：若=（a，b），=（c，d），则•=ac+bd．如=（1，2），=（3，5），则=1×3+2×5=13．
（1）已知=（2，4），=（2，﹣3），求；
（2）已知=（x﹣a，1），=（x﹣a，x+1），求y=，问y=的函数图象与一次函数y=x﹣1的图象是否相交，请说明理由．

22．（10分）（2016•雅安）已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，
PE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

23．（12分）（2016•雅安）已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线y=交于点C（1，a）．
（1）试确定双曲线的函数表达式；
（2）将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．

24．（10分）（2016•雅安）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．

2016年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2016•雅安）﹣2016的相反数是（　　）
A．﹣2016 B．2016 C．﹣ D．
【考点】相反数．菁优网版权所有
【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵2006+（﹣2006）=0，
∴﹣2016的相反数是：2006．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．

2．（3分）（2016•雅安）下列各式计算正确的是（　　）
A．（a+b）2=a2+b2 B．x2•x3=x6 C．x2+x3=x5 D．（a3）3=a9
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】根据完全平方公式判断A；根据同底数幂的乘法法则判断B；根据合并同类项的法则判断C；根据幂的乘方法则判断D．
【解答】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
B、x2•x3=x5，故本选项错误；
C、x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、（x3）3=x9，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

3．（3分）（2016•雅安）已知a2+3a=1，则代数式2a2+6a﹣1的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】代数式求值．菁优网版权所有
【分析】直接利用已知将原式变形，进而代入代数式求出答案．
【解答】解：∵a2+3a=1，
∴2a2+6a﹣1=2（a2+3a）﹣1=2×1﹣1=1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．

4．（3分）（2016•雅安）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（7，1） B．B（1，7） C．（1，1） D．（2，1）
【考点】坐标与图形变化-平移．菁优网版权所有
【分析】根据点A的坐标以及平移后点A的对应点A1的坐标可以找出三角形平移的方向与距离，再结合点B的坐标即可得出结论．
【解答】解：∵点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），
4﹣0=4，10﹣6=4，
∴△ABC向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，
∴点B的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．
故选C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化中的平移，解题的关键是找出三角形平移的方向与距离．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形一个顶点以及平移后对应点的坐标找出平移方向和距离是关键．

5．（3分）（2016•雅安）将如图绕AB边旋转一周，所得几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图；点、线、面、体．菁优网版权所有
【分析】根据旋转抽象出该几何体，俯视图即从上向下看，看到的棱用实线表示；实际存在，没有被其他棱挡住，看不到的棱用虚线表示．
【解答】解：将该图形绕AB旋转一周后是由上面一个圆锥体、下面一个圆柱体的组合而成的几何体，
从上往下看其俯视图是外面一个实线的大圆（包括圆心），里面一个虚线的小圆，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．

6．（3分）（2016•雅安）某校为开展第二课堂，组织调查了本校150名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如下扇形统计图，则在该被调查的学生中，跑步和打羽毛球的学生人数分别是（　　）

A．30，40 B．45，60 C．30，60 D．45，40
【考点】扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】先求出打羽毛球学生的比例，然后用总人数×跑步和打羽毛球学生的比例求出人数．
【解答】解：由题意得，打羽毛球学生的比例为：1﹣20%﹣10%﹣30%=40%，
则跑步的人数为：150×30%=45，
打羽毛球的人数为：150×40%=60．
故选B．
【点评】本题考查了扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．

7．（3分）（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m的值即可．
【解答】解：由根与系数的关系式得：2x2=﹣8，2+x2=﹣m=﹣2，
解得：x2=﹣4，m=2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选D
【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

8．（3分）（2016•雅安）如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（　　）

A．2+2 B．2+ C．4 D．3
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AB=AC=2，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴AE+CE=BC=2，
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故选：A．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．

9．（3分）（2016•雅安）如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
【考点】菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．
【解答】解：
如图，连接AC、BD相交于点O，

∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD=AC•BD，
∴×24BD=120，解得BD=10cm，
∴OA=12cm，OB=5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm），
∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），
故选A．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积分式是解题的关键，注意勾股定理的应用．

10．（3分）（2016•雅安）“一方有难，八方支援”，雅安芦山4•20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
【考点】一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】设可搬桌椅x套，即桌子x张、椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据总人数列不等式求解可得．
【解答】解：设可搬桌椅x套，即桌子x张、椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，
根据题意，得：2x+≤200，
解得：x≤80，
∴最多可搬桌椅80套，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用能力，设出桌椅的套数，表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键．

11．（3分）（2016•雅安）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；零指数幂；二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】先求出k的取值范围，再判断出1﹣k及k﹣1的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵式子+（k﹣1）0有意义，
∴，解得k＞1，
∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，
∴一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限．
故选C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．

12．（3分）（2016•雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（　　）

A．2 B． C．2 D．3
【考点】矩形的性质；轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..
【解答】解：
设BE=x，则DE=3x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，
∴AE=x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，
∴AE=3，DE=3，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA=PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，
故选D．

【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）（2016•雅安）1.45°=　87′　．
【考点】度分秒的换算．菁优网版权所有
【分析】直接利用度分秒的转化将0.45°转会为分即可．
【解答】解：1.45°=60′+0.45×60′=87′．
故答案为：87′．
【点评】此题主要考查了度分秒的转化，正确掌握度分秒之间的关系是解题关键．

14．（3分）（2016•雅安）P为正整数，现规定P!=P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!=24，则正整数m=　4　．
【考点】有理数的乘法．菁优网版权所有
【专题】新定义．
【分析】根据规定p!是从1，开始连续p个整数的积，即可．
【解答】解：∵P!=P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1=1×2×3×4××（p﹣2）（p﹣1），
∴m!=1×2×3×4×…×（m﹣1）m=24，
∴m=4，
故答案为：4．
【点评】此题是有理数的乘法，主要考查了新定义的理解，理解新定义是解本题的关键．

15．（3分）（2016•雅安）一书架有上下两层，其中上层有2本语文1本数学，下层有2本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为　　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】通过列表列出所有可能结果，找到使该事件发生的结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下图：

语
语
数
语
语、语
语、语
语、数
语
语、语
语、语
语、数
数
数、语
数、语
数、数
数
数、语
数、语
数、数
由表格可知，现从上下层随机各取1本，共有12种等可能结果，其中抽到的2本都是数学书的有2种结果，
∴抽到的2本都是数学书的概率为=，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（3分）（2016•雅安）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为　8　．

【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出BD=CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，求出AE，再由勾股定理求出BE即可．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∴BM=EM，
∴CE=2MD=4，
∴AE=AC﹣CE=6，
∴BE==；
故答案为：8．

【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理，由三角形中位线定理求出CE是解决问题的关键．

17．（3分）（2016•雅安）已知a+b=8，a2b2=4，则﹣ab=　28或36　．
【考点】完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】根据条件求出ab，然后化简﹣ab=﹣2ab，最后代值即可．
【解答】解：﹣ab=﹣ab=﹣ab﹣ab=﹣2ab
∵a2b2=4，
∴ab=±2，
①当a+b=8，ab=2时，﹣ab=﹣2ab=﹣2×2=28，
②当a+b=8，ab=﹣2时，﹣ab=﹣2ab=﹣2×（﹣2）=36，
故答案为28或36．
【点评】此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（12分）（2016•雅安）（1）计算：﹣22+（﹣）﹣1+2sin60°﹣|1﹣|
（2）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x=﹣2．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】（1）分别根据有理数乘方的法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后把x=﹣2代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=﹣4﹣3+2×﹣（﹣1）
=﹣4﹣3+﹣+1
=﹣7+1
=﹣6．

（2）原式=[﹣（x+1）]•
=•﹣（x+1）•
=1﹣（x﹣1）
=1﹣x+1
=2﹣x．
当x=﹣2时，原式=2+2=4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．

19．（7分）（2016•雅安）解下列不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：

由①得，x＜﹣1，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：x＜﹣1
在数轴上表示为：

【点评】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键

20．（10分）（2016•雅安）甲乙两人进行射击训练，两人分别射击12次，如图分别统计了两人的射击成绩，已知甲射击成绩的方差S甲2=，平均成绩=8.5．
（1）根据图上信息，估计乙射击成绩不少于9环的概率是多少？
（2）求乙射击的平均成绩的方差，并据此比较甲乙的射击“水平”．
S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2…（xn﹣）2]．

【考点】概率公式；方差．菁优网版权所有
【分析】（1）根据条形统计图求出乙的射击总数与不少于9环的次数，根据概率公式即可得出结论；
（2）求出乙的平均成绩及方差，再与甲的平均成绩及方差进行比较即可．
【解答】解：（1）∵由图可知，乙射击的总次数是12次，不少于9环的有7次，
∴乙射击成绩不少于9环的概率=；

（2）==8.5（环），
=[（7﹣8.5）2×2+（8﹣8.5）2×3+（9﹣8.5）2×6+（10﹣8.5）2]
=
=．
∵=，＜，
∴甲的射击成绩更稳定．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式及方差的定义是解答此题的关键．

21．（8分）（2016•雅安）我们规定：若=（a，b），=（c，d），则•=ac+bd．如=（1，2），=（3，5），则=1×3+2×5=13．
（1）已知=（2，4），=（2，﹣3），求；
（2）已知=（x﹣a，1），=（x﹣a，x+1），求y=，问y=的函数图象与一次函数y=x﹣1的图象是否相交，请说明理由．
【考点】二次函数的性质；根的判别式；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】新定义．
【分析】（1）直接利用=（a，b），=（c，d），则•=ac+bd，进而得出答案；
（2）利用已知的出y与x之间的函数关系式，再联立方程，结合根的判别式求出答案．
【解答】解：（1）∵=（2，4），=（2，﹣3），
∴=2×2+4×（﹣3）=﹣8；

（2）∵=（x﹣a，1），=（x﹣a，x+1），
∴y==（x﹣a）2+（x+1）
=x2﹣（2a﹣1）x+a2+1
∴y=x2﹣（2a﹣1）x+a2+1
联立方程：x2﹣（2a﹣1）x+a2+1=x﹣1，
化简得：x2﹣2ax+a2+2=0，
∵△=b2﹣4ac=﹣8＜0，
∴方程无实数根，两函数图象无交点．
【点评】此题主要考查了根的判别式以及新定义，正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键．

22．（10分）（2016•雅安）已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，
PE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】动点型．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据三角函数可求y与x的函数关系式；
（2）分三种情况：①如图1，当∠FPE=90°时，②如图2，当∠PFE=90°时，③当∠PEF=90°时，进行讨论可求x的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，
∴sinC=，
∵PE⊥BC于点E，
∴sinC==，
∵PC=x，PE=y，
∴y=x（0＜x＜20）；
（2）存在点P使△PEF是Rt△，
①如图1，当∠FPE=90°时，四边形PEBF是矩形，BF=PE=x，
四边形APEF是平行四边形，PE=AF=x，
∵BF+AF=AB=10，
∴x=10；
②如图2，当∠PFE=90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，
∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，
平行四边形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x=x，
解得x=16；
③当∠PEF=90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF．
综上所述，当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．

【点评】考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，注意分类思想的运用，综合性较强，难度中等．

23．（12分）（2016•雅安）已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线y=交于点C（1，a）．
（1）试确定双曲线的函数表达式；
（2）将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）令x=1代入一次函数y=x+3后求出C的坐标，然后把C代入反比例函数解析式中即可求出k的值；
（2）设直线l2与x轴交于D，由题意知，A与D关于y轴对称，所以可以求出D的坐标，再把B点坐标代入y=ax+b即可求出直线l2的解析式；
（3）设M的纵坐标为t，由题意可得M的坐标为（3﹣t，t），N的坐标为（，t），进而得MN=+t﹣3，又可知在△ABM中，MN边上的高为t，所以可以求出S△AMN与t的关系式．
【解答】解：（1）令x=1代入y=x+3，
∴y=1+3=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=中，
∴k=4，
∴双曲线的解析式为：y=；

（2）如图所示，
设直线l2与x轴交于点D，
由题意知：A与D关于y轴对称，
∴D的坐标为（3，0），
设直线l2的解析式为：y=ax+b，
把D与B的坐标代入上式，
得：，
∴解得：，
∴直线l2的解析式为：y=﹣x+3；

（3）设M（3﹣t，t），
∵点P在线段AC上移动（不包括端点），
∴0＜t＜4，
∴PN∥x轴，
∴N的纵坐标为t，
把y=t代入y=，
∴x=，
∴N的坐标为（，t），
∴MN=﹣（3﹣t）=+t﹣3，
过点A作AE⊥PN于点E，
∴AE=t，
∴S△AMN=AE•MN，
=t（+t﹣3）
=t2﹣t+2
=（t﹣）2+，
由二次函数性质可知，当0≤t≤时，S△AMN随t的增大而减小，当＜t≤4时，S△AMN随t的增大而增大，
∴当t=时，S△AMN可取得最小值为，
当t=4时，S△AMN可取得最大值为4，
∵0＜t＜4
∴≤S△AMN＜4．

【点评】本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，三角形面积等知识，由于有动点，所以难度较高，需要学生利用参数去表示相关坐标，然后求出函数关系式．

24．（10分）（2016•雅安）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．

【考点】切线的性质；垂径定理．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OC，由切线性质和垂直性质得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°，继而可得∠3=∠5得证；
（2）连接OC、BC，先根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC得QC=QB=5，而sinE=sin∠ABF=，可知QH=3、BH=4，设圆的半径为r，在RT在△OCH中根据勾股定理可得r的值，在RT△ABF中根据三角函数可得答案．
【解答】解：（1）连接OC，

∵EC切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴∠1+∠3=90°，
又∵OP⊥OA，
∴∠2+∠4=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
又∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴DP=DC，即△PCD为等腰三角形．
（2）如图2，连接OC、BC，

∵DE与⊙O相切于点E，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠BCE=90°，
又∵CG⊥AB，
∴∠OBC+∠BCG=90°，
∴∠BCE=∠BCG，
∵BF∥DE，
∴∠BCE=∠QBC，
∴∠BCG=∠QBC，
∴QC=QB=5，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠E，
∵sinE=，
∴sin∠ABF=，
∴QH=3、BH=4，
设⊙O的半径为r，
∴在△OCH中，r2=82+（r﹣4）2，
解得：r=10，
又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=，
∴AF=12．
【点评】本题主要考查切线的性质、平行线的性质及三角函数的应用等知识的综合，根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC是解题的关键．

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