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《离散数学》期末复习题
一、 填空题（每空2分，共20分）
1、集合A上的偏序关系的三个性质是 、 和 。
2、一个集合的幂集是指 。
3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B= 。
4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B= 。
5、若A是2元集合, 则 2A 有 个元素。
6、集合 A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 。
7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。
8、对实数的普通加法和乘法， 是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。
9、设a,b,c是阿贝尔群<G,+>的元素，则-(a+b+c)= 。
10、一个图的哈密尔顿路是 。
11、不能再分解的命题称为 ，至少包含一个联结词的命题称为 。
12、命题是 。
13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示 。
14、与一个个体相关联的谓词叫做 。
15、量词分两种： 和 。
16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的 。
17、集合上的三种特殊元是 、 及 。
18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别是： ， ， ， 。
19、代数系统是指由 及其上的 或 组成的系统。
20、设<L,*1,*2>是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足 、 ，并且*1和*2满足 ，则称<L,*1,*2>是格。
21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B= 。
22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 。
23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示 ，入度deg-(v)表示以 。
24、一个图的欧拉回路是 。
25、不含回路的连通图是 。
26、不与任何结点相邻接的结点称为 。
27、推理理论中的四个推理规则是 、 、 、 。
二、判断题（每题2分，共20分）
1、空集是唯一的。
2、对任意的集合A，A包含A。
3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。
4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。
5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。
6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。
7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。
8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。
9、设f：A→B， g：B→C。若f，g都是双射，则gf不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值，称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设f：A→B， g：B→C。若f，g都是满射，则g◦f不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。”不是命题。
25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A(c)：张三是个大学生。
26、设F＝{<3,3>,<6,2>}，则 F-1 ＝{<6,3>,<2,6>}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
28、设f：A→B， g：B→C。若f，g都是单射，则g◦f也是单射。
三、计算题（每题10分，共40分）
1、设A={c,d}, B={0,1,2}，则计算A×B，B×A。
2、A = {a,b,c}，B = {1,2}，计算A×B。
3、A = {a,b,c}，计算A×A。
4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。”。
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
6、符号化命题“2是素数且是偶数”。
7、设A={a,b,c,d}，R是A的二元关系，定义为：R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。
8、设A={1,2,3,4}，R是A的二元关系，定义为：R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。
9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。
11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐ (p∧┐q)的真值表。
13、设<2x+y, 5>=<10, x－3y>，求x，y。
14、R1、R2是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系，若R1＝{<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}，R2={<1, 4>, <2, 6>}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。
15、例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3}，A到B的关系R={<x, y>|x+y=6}，B到C的关系S={<y, z>|y－z=2}，求R◦S。
16、集合A={a, b, c}，B={1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的关系，S是A到B的关系。R={<a, a>, <a, c>, <b, b>, <c, b>, <c, c>}，S={<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>}，求R◦S，S–1◦R–1
17、A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。
18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={<a,a>, <a,b>, <b,c>}，求R的自反、对称、传递闭包。
19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

四、证明题（每题10分，共20分）
1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明RS是A上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。
3、P→Q，┐QR，┐R，┐SPÞ┐S
4、在群<G,*>中，除单位元 e 外，不可能有别的幂等元。
5、设R和S是二元关系，证明：(RS)-1=R-1S-1
6、证明：((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{<x, y>|x, y ∈ I，且x－y可被k整除}，证明R是等价关系。
8、证明((p→q)→r)Û ((┐q∧p)∨r)
9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)ÞS∨R
10、证明P→ ┐Q，Q∨┐R，R∧┐SÞ ┐P
11、证 (∀x)(P(x)∨Q(x)) Þ┐(∀x)P(x) →($x)Q(x)
12、证明定理：设<G, ◦ >是群，对于任意a, b∈G，则方程a◦x=b与y◦a=b ，在群内有唯一解。

《离散数学》复习题参考答案
一、填空题（每空1分，共20分）
1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。
3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B={a,b,c,d,e}。
4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B={1,3}。
5、若A是2元集合, 则 2A 有 4 个元素。
6、集合 A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 3 。
7、设A={a, b,c,d}, 则∣A∣= 4 。
8、对实数的普通加法和乘法， 0 是加法的幂等元， 1 是乘法的幂等元。
9、设a,b,c是阿贝尔群<G,+>的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。
10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。
11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。
12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。
13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示王强不是一名大学生。
14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
15、量词分两种：全称量词和存在量词。
16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。
17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。
18、设A={a, b}，则 ρ(A) 的四个元素分别是：空集，{a}，{b}，{a, b}。
19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。
20、设<L,*1,*2>是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称<L,*1,*2>是格。
21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B={ a, c,d }。
22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 2 。
23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数。
24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。
25、不含回路的连通图是树。
26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。
27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US规则)、全称推广规则 (UG规则)、存在指定规则 (ES规则) 、存在推广规则 (EG规则)。
二、判断题（每题2分，共20分）
1、√。2、√。3、×。4、√。5、√。6、×。7、√。8、√。9、×。10、√。
11、×。12、√。13、×。14、√。15、√。16、×。17、√。18、√。19、×。
20、×。21、√。22、√。23、×。24、√。25、√。26、×。27、√。28、√。
1、空集是唯一的。
2、对任意的集合A，A包含A。
3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。
4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。
5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。
6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。
7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。
8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。
9、设f：A→B， g：B→C。若f，g都是双射，则gf不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值，称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设f：A→B， g：B→C。若f，g都是满射，则g◦f不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。”不是命题。
25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A(c)：张三是个大学生。
26、设F＝{<3,3>,<6,2>}，则 F-1 ＝{<6,3>,<2,6>}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
28、设f：A→B， g：B→C。若f，g都是单射，则g◦f也是单射。
三、计算题（每题10分，共40分）
1、设A={c,d}, B={0,1,2}，则A×B={<c,0>,<c,1>,<c,2>,<d,0>,<d,1>,<d,2>}，B×A= {<0,c>,<0,d>,<1,c>,<1,d>,<2,c>,<2,d>}。
2、A = {a,b,c}，B = {1,2}，A×B = {a,b,c} ×{1,2} = {<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>}。
3、A = {a,b,c}，A×A = {a,b,c} ×{a,b,c} = {<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a,>,<c,b>,<c,c>}。
4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。”。
设 L(x,y)：x大于y， a：2， b：3， c：4，则命题符号化为L(a,b)→L(a,c)。
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
设F(x)：x是兔子。G(x)：x是乌龟。H(x,y)：x比y跑得快。该命题符号化为：¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
6、符号化命题“2是素数且是偶数”。
设 F(x)：x是素数。 G(x)：x是偶数。 a： 2，则命题符号化为F(a)∧G(a)。
7、设A={a,b,c,d}，R是A的二元关系，定义为：R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。
解：R的关系矩阵为：

8、设A={1,2,3,4}，R是A的二元关系，定义为：R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。
解：R的关系矩阵为：

9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

deg(v1)＝3，deg+(v1)＝1，deg-(v1)＝2；
deg(v2)＝deg+(v4)＝deg-(v2)＝0；
deg(v3)＝3，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝1；
deg(v4)＝2，deg+(v4)＝1，deg-(v4)＝1；

10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

答：
deg(v1)＝3，deg+(v1)＝2，deg-(v1)＝1；
deg(v2)＝3，deg+(v2)＝2，deg-(v2)＝1；
deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3；
deg(v4)＝deg+(v4)＝deg-(v4)＝0；
deg(v5)＝1，deg+(v5)＝0，deg-(v5)＝1；

11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。
p
q
┐q
p∧┐q
┐ (p∧┐q)
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
13、设<2x+y, 5>=<10, x－3y>，求x，y。
解：由定理列出如下方程组：

求解得x=5，y=0。
14、R1、R2是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系，若R1＝{<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}，R2={<1, 4>, <2, 6>}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。
解：domR1={1, 3, 5}，ranR1={2, 4, 6}，fldR1=dom R1∪ran R1={1, 2, 3, 4, 5, 6}；
domR2={1, 2}，ranR2={4, 6}，fldR2=dom R2∪ran R2={1, 2, 4, 6}。
15、例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3}，A到B的关系R={<x, y>|x+y=6}，B到C的关系S={<y, z>|y－z=2}，求R◦S。
解：R={<1, 5>, <2, 4>, <3, 3>}, S={<3, 1>, <4, 2>, <5, 3>}，从而R◦S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>}
或者因<1, 5>∈R，<5, 3>∈S，所以<1, 3>∈ R◦S；因<2, 4>∈R，<4, 2>∈S，所以<2, 2> ∈R◦S；因<3, 3>∈R，<3, 1>∈S，所以<3, 1> ∈R◦S；从而R◦S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>}
16、集合A={a, b, c}，B={1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的关系，S是A到B的关系。R={<a, a>, <a, c>, <b, b>, <c, b>, <c, c>}，S={<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>}，求R◦S，S–1◦R–1
R◦S={<a, 1>, <a, 4>, <a, 5>, <b, 2>, <c, 2>, <c, 4>, <c, 5>}
(R◦S)-1={<1, a>, <4, a>, <5, a>, <2, b>, <2, c>, <4, c>, <5, c>}
R–1={<a, a>, <c, a>, <b, b>, <b, c>, <c, c>}，
S–1={<1, a>, <4, a>, <2, b>, <4, c>, <5, c>}
S–1◦R–1={<1, a>, <2, b>, <2, c>, <4, a>, <4, c>, <5, a>, <5, c>}。
17、A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。
解：

1是A的最小元，没有最大元，1是极小元，4、5、6都是A的极大元。
18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={<a,a>, <a,b>, <b,c>}，求R的自反、对称、传递闭包。
r(R)={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,c>}
s(R)={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>}
t(R)={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>}
19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。

解：如下图所示v0与v5之间的最短路径为：v0, v1, v2, v4 , v3, v5
最短路径值为1+2+1+3+2=9

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

先根遍历：ABDEHCFIJGK 中根遍历：DBHEAIFJCGK 后根遍历：DHEBIJFKGCA
四、证明题（每题10分，共20分）
1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明RS是A上的等价关系。
证明：a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故x RS x。从而RS是自反的。
a,b∈A，aRSb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故b RS a。从而RS是对称的。
a,b,c∈A，a RS b且b RS c，即aRb，aSb，bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故a RS c。从而RS是传递的。
故RS是A上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。
设： H(x)：x是人。M(x)：x是要死的。s：苏格拉底。本题要证明：("x)(H(x)→M(x))∧H(s)ÞM(s)
证明：
⑴ ("x)(H(x)→M(x)) P
⑵ H(s)→M(s) US⑴
⑶ H(s) P
⑷ M(s) ⑵、⑶
3、P→Q，┐QR，┐R，┐SPÞ┐S
证明：
(1) ┐R 前提
(2) ┐QR 前提
(3) ┐Q （1），（2）
(4) P→Q 前提
(5) ┐P （3），（4）
(6) ┐SP 前提
(7) ┐S （5），（6）
4、在群<G,*>中，除单位元 e 外，不可能有别的幂等元。
因为e∗e=e，所以e是幂等元。设aÎG且a∗a=a，则有a=e∗a=(a –1 ∗a)∗a=a –1∗(a∗a)=a–1 ∗a=e， 即a=e。
5、设R和S是二元关系，证明：(RS)-1=R-1S-1
证明： .

所以 .
6、证明：((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
证明：
左边：((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))
=(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R))
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
右边：(S∧(P→Q))→R
= ┐(S∧(┐P∨Q))∨R
= (┐S∨(P∧┐Q))∨R
= (┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
所以 ((Q∧S) → R)∧(S→ (P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{<x, y>|x, y ∈ I，且x－y可被k整除}，证明R是等价关系。
证明：(1) 对任意的x ∈ A，有x－x=0可被k整除。所以<x, x> ∈ R，即R具有自反性。
(2) 对任意的x，y ∈ A，<x, y> ∈ R，即x－y可被k整除，设x－y=km，则y－x=－km，显然y－x可被k整除。所以<y, x> ∈ R，即R具有对称性。
(3)设x，y，z ∈ A，若<x, y> ∈ R，<y, z> ∈ R，即x－y可被k整除，y－z可被k整除，设x－y=km，y－z=kn，则x－z=k(m+n)，即x－z可被k整除。所以<x, z> ∈ R，即R具有传递性。
综上所述， R具有自反性、对称性和传递性，故R是等价关系。
8、证明：
⑴((p→q)→r)Û ((┐q∧p)∨r)
⑵p→(q→r)⇔ ┐r→(q→┐p)
证明：
⑴ ((p→q)→r)
ÛÛ((┐p∨q)→r) //蕴涵等值式
ÛÛ(┐(┐p∨q))∨r //蕴涵等值式
ÛÛ(p∧(┐q))∨r //德·摩根律
ÛÛ((┐q∧p)∨r) //交换律
⑵p→(q→r)⇔ ┐r→(q→┐p)
⇔┐p∨(q→r) //蕴涵等值式
⇔┐p∨(┐q∨r) //蕴涵等值式
⇔r∨(┐q∨┐p) //结合律与交换律
⇔r∨(q→┐p) //蕴涵等值式
⇔┐r→(q→┐p) //蕴涵等值式
9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)ÞS∨R
证明：
(1) P∨Q 已知前提
(2) ┐P→Q 由(1)
(3) Q→S 已知前提
(4) ┐P→S 由(2) 和(3)
(5) ┐S→P 由(4)
(6) P→R 已知前提
(7) ┐S→R 由(5) 和(6)
(8) S∨R 由(7)
10、证明P→ ┐Q，Q∨┐R，R∧┐SÞ ┐P
证明用反证法，把┐(┐P)作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。
(1) ┐(┐P) 反证法附加前提
(2) P 由(1)
(3) P→┐Q 已知前提
(4) ┐Q 由(2)和(3)
(5) Q∨┐R 已知前提
(6) ┐R 由(4)和(5)
(7) R∧┐S 已知前提
(8) R 由 (7)
(9) R∧┐R 由(6)和(8)，矛盾
11、证 (∀x)(P(x)∨Q(x)) Þ┐(∀x)P(x) →($x)Q(x)
CP规则：要证SÞR→C ，也就是证明(S∧R) ÞC
(1) ┐(∀x)P(x) 前提引入
(2) ($x)┐P(x) 由(1)
(3) ┐P(c) 由(2) ES
(4) (∀x)(P(x)∨Q(x)) 前提引入
(5) P(c)∨Q(c) 由(4) US
(6) Q(c) 由(3)和(5)
(7) ($x)Q(x) 由(6) EG
12、证明定理：设<G, ◦ >是群，对于任意a, b∈G，则方程a◦x=b与y◦a=b ，在群内有唯一解。
证明：因为a◦ (a-1◦b) =(a◦ a-1)◦b =1◦b= b 所以x=a-1 ◦ b是方程 a◦x=b 的解。
其次证明唯一性，如果有另一解c，则必有
a◦ c = b= a◦ (a-1◦b)，由消去律可知c =a-1 ◦ b 。
同理可证 y◦a=b 有唯一解 y= b◦ a-1