解析函数公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

对于复数称定义定义为指数函数,记为 或(1)指数函数是初等函数中最主要最主要函数，其余初等函数都通过指数函数来定义。(2)借助欧拉公式，指数函数能够这样来记忆：2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.1 2.3.1 指数函数指数函数第1页第1页性质(1)由于2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.1 2.3.1 指数函数指数函数(2)加法定理第2页第2页性质2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.1 2.3.1 指数函数指数函数(3)是以 为周期周期函数。(4)除无穷远点外，处处有定义。当 时，当 时，指数函数 当z趋向于 时没有极限。第3页第3页性质2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.1 2.3.1 指数函数指数函数(5)是单值函数。事实上，对于给定复数定义中 均为单值函数。(6)在复平面上处处解析，且第4页第4页2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.1 2.3.1 指数函数指数函数例例例例解解解解第5页第5页 对数函数定义为指数函数反函数指数函数反函数。记作即满足方程函数称为对数函数，定义计算 令由有由 z 模得到 w 实部；由 z 辐角得到 w 虚部。2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.2 2.3.2 对数函数对数函数第6页第6页 显然对数函数为多值函数。主值(枝)称为主值(枝)，记为故有分支(枝)尤其地，当 时,主值 就是实对数函数。对于任意一个固定 k，称 为 一个分支(枝)。2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.2 2.3.2 对数函数对数函数第7页第7页2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.2 2.3.2 对数函数对数函数性质(1)运算性质注意注意：对于左端多值函数任意取定一值，一定有右端两多值函数各一值，其和与该值相应。在原点无定义，故它定义域为(2)注意到，函数在原点无定义；或者指数函数第8页第8页(3)各分支在除去原点及负实轴复平面内连续连续；在除去原点及负实轴平面内连续。尤其地，注意到，函数在原点及负实轴上不连续。2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.2 2.3.2 对数函数对数函数性质由反函数求导法则可得进一步有(4)各分支在除去原点及负实轴复平面内解析解析；在除去原点及负实轴平面内解析。尤其地，第9页第9页三种对数函数联系与区别：三种对数函数联系与区别：2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.2 2.3.2 对数函数对数函数第10页第10页主值 解(1)(2)主值 第11页第11页解主值 求对数 以及它主值。例 可见，在复数域内，负实数是能够求对数。第12页第12页称为复变量 z 幂函数。还要求：当 a 为正实数，且 时，(为复常数，)定义 函数 要求为注意上面利用指数函数以一个“要求”方式定义了幂函数，但不要将这种“要求”方式反过来作用于指数函数，2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.3 2.3.3 幂函数幂函数第13页第13页讨论此时，处处解析，且当 为正整数n时,(单值函数)(1)此时，除原点外处处解析，且当 为负整数时,(2)(单值函数)当 时,(3)2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.3 2.3.3 幂函数幂函数(n值函数)第14页第14页其中，m 与 n 为互质整数，且 (6)当 为无理数或复数()时，当 为有理数时,(5)(值)n此时，除原点与负实轴外处处解析，普通为无穷多值。此时，除原点与负实轴外处处解析。且当 时,(4)2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.3 2.3.3 幂函数幂函数第15页第15页解 可见，是正实数，它主值是例 求 值。求 值。例解 可见，不要想当然地认为第16页第16页由欧拉公式有余弦函数正弦函数定义定义其它三角函数2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.4 2.3.4 三角函数三角函数第17页第17页性质（P47）周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数同样；各种三角公式以及求导公式能够照搬；有界性(即 )不成立。2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.4 2.3.4 三角函数三角函数第18页第18页例 求依据定义，有解例 求依据定义，有解第19页第19页记为假如定义则称 w 为复变量 z 反余弦函数，计算 由 同理可得2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.5 2.3.5 反三角函数反三角函数第20页第20页双曲正切函数双曲余切函数双曲正弦函数定义双曲余弦函数2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.6 2.3.6 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数第21页第21页反双曲正切函数反双曲余弦函数反双曲正弦函数定义反双曲余切函数2.3 2.3 初等函数初等函数2.3.6 2.3.6 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数第22页第22页