2015年黑龙江省大庆市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•大庆）sin60°=（　　）
　 A． B． C． 1 D．
2．（3分）（2015•大庆）将0.00007用科学记数法表示为（　　）
　 A． 7×10﹣6 B． 70×10﹣5 C． 7×10﹣5 D． 0.7×10﹣6
3．（3分）（2015•大庆）a2的算术平方根一定是（　　）
　 A． a B． |a| C． D． ﹣a
4．（3分）（2015•大庆）正n边形每个内角的大小都为108°，则n=（　　）
　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
5．（3分）（2015•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（　　）
　 A． 880元 B． 800元 C． 720元 D． 1080元
6．（3分）（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（　　）
　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
7．（3分）（2015•大庆）以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）
　 A． B． C． D．
8．（3分）（2015•大庆）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

　 A． 7，7 B． 8，7.5 C． 7，7.5 D． 8，6
9．（3分）（2015•大庆）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）
　 A． y1+y2＞0 B． y1﹣y2＞0 C． a（y1﹣y2）＞0 D． a（y1+y2）＞0
10．（3分）（2015•大庆）已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（　　）

　 A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2015•大庆）函数y=的自变量x的取值范围是　　　　　　．
12．（3分）（2015•大庆）已知=，则的值为　　　　　　．
13．（3分）（2015•大庆）底面直径和高都是1的圆柱侧面积为　　　　　　．
14．（3分）（2015•大庆）边长为1的正三角形的内切圆半径为　　　　　　．
15．（3分）（2015•大庆）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱　　　　　　（写出所有正确结果的序号）．
16．（3分）（2015•大庆）方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是　　　　　　．
17．（3分）（2015•大庆）若a2n=5，b2n=16，则（ab）n=　　　　　　．
18．（3分）（2015•大庆）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为　　　　　　．

三、解答题（共10小题，满分66分）
19．（4分）（2015•大庆）求值：+（）2+（﹣1）2015．

20．（4分）（2015•大庆）解关于x的不等式：ax﹣x﹣2＞0．

21．（5分）（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．

22．（6分）（2015•大庆）已知一组数据x1，x2，…x6的平均数为1，方差为
（1）求：x12+x22+…+x62；
（2）若在这组数据中加入另一个数据x7，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差（结果用分数表示）

23．（7分）（2015•大庆）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．

24．（7分）（2015•大庆）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：≈1.732，≈1.414．结果保留整数）

25．（7分）（2015•大庆）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．

26．（8分）（2015•大庆）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

27．（9分）（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD；
（2）证明：DP•BD=AD•BC；
（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．

28．（9分）（2015•大庆）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；
（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．

2015年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2015•大庆）sin60°=（　　）
　 A． B． C． 1 D．

考点： 特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式利用特殊角的三角函数值解得即可得到结果．
解答： 解：sin60°=，
故选D
点评： 此题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．

2．（3分）（2015•大庆）将0.00007用科学记数法表示为（　　）
　 A． 7×10﹣6 B． 70×10﹣5 C． 7×10﹣5 D． 0.7×10﹣6

考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.00007=7×10﹣5．
故选：C．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．（3分）（2015•大庆）a2的算术平方根一定是（　　）
　 A． a B． |a| C． D． ﹣a

考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根定义，即可解答．
解答： 解：=|a|．
故选：B．
点评： 本题考查了对算术平方根定义的应用，能理解定义并应用定义进行计算是解此题的关键，难度不是很大．

4．（3分）（2015•大庆）正n边形每个内角的大小都为108°，则n=（　　）
　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

考点： 多边形内角与外角．
分析： 利用正多边形的性质得出其外角，进而得出多边形的边数．
解答： 解：∵正n边形每个内角的大小都为108°，
∴每个外角为：72°，
则n==5．
故选：A．
点评： 此题主要考查了多边形内角与外角，正确得出其外角度数是解题关键．

5．（3分）（2015•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（　　）
　 A． 880元 B． 800元 C． 720元 D． 1080元

考点： 一元一次方程的应用．
分析： 设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，依据“2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同”列出方程并解答．
解答： 解：设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，
依题意得 100x=（x﹣80）×100×（1+10%），
解得x=880．
即1月份每辆车售价为880元．
故选：A．
点评： 本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到“2月份每辆车的售价”和“2月份是销售总量”是解题的突破口．

6．（3分）（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（　　）
　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

考点： 垂径定理；等腰直角三角形．
分析： 利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出∠BOC的度数进而求出．
解答： 解：如图所示：连接BO，AO，
∵圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，
∴DO=DB，DO⊥AB，
∴∠BOC=∠BOC=45°，
则∠A=∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°．
故选：D．

点评： 此题主要考查了垂径定理以及等腰直角三角形的性质，得出∠BOC=∠BOC=45°是解题关键．

7．（3分）（2015•大庆）以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．
分析： 根据对称轴的概念求解．
解答： 解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选D．
点评： 本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

8．（3分）（2015•大庆）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

　 A． 7，7 B． 8，7.5 C． 7，7.5 D． 8，6

考点： 众数；条形统计图；中位数．
分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
解答： 解：在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7；
排序后处于中间位置的那个数是7，8，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是=7.5；
故选：C．
点评： 本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

9．（3分）（2015•大庆）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）
　 A． y1+y2＞0 B． y1﹣y2＞0 C． a（y1﹣y2）＞0 D． a（y1+y2）＞0

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
解答： 解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＞y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．

10．（3分）（2015•大庆）已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（　　）

　 A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 如图，设P（m，），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，有A（﹣2，0），得到OA=2，OC=1，AC=1，BC∥y轴，推出，于是得到这样的点P不存在，点P4在AB之间，不满足AP=2AB，过P2作P2Q⊥x轴于Q，求得满足条件的点P（﹣4，﹣），于是得到满足条件的点P的个数是1，
解答： 解：如图，设P（m，），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，
∵A（﹣2，0），
∴OA=2，OC=1，
∴AC=1，BC∥y轴，
∴，
∴P1，P3在y轴上，
这样的点P不存在，
点P4在AB之间，不满足AP=2AB，
过P2作P2Q⊥x轴于Q，
∴P2Q∥B1C，
∴=，
∴=，
∴m=﹣4，
∴P（﹣4，﹣），
∴满足条件的点P的个数是1，
故选B．

点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的焦点问题，平行线分线段成比例，注意数形结合思想的应用．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2015•大庆）函数y=的自变量x的取值范围是　x＞0　．

考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答： 解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x≥0且x≠0，
解得：x＞0．
故答案为：x＞0．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

12．（3分）（2015•大庆）已知=，则的值为　﹣　．

考点： 比例的性质．
分析： 根据已知设x=k，y=3k，代入求出即可．
解答： 解：∵=，
∴设x=k，y=3k，
∴==﹣，
故答案为：﹣．
点评： 本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法求出结果是解此题的关键，难度不大．

13．（3分）（2015•大庆）底面直径和高都是1的圆柱侧面积为　π　．

考点： 圆柱的计算．
分析： 圆柱的侧面积=底面周长×高．
解答： 解：圆柱的底面周长=π×1=π．
圆柱的侧面积=底面周长×高=π×1=π．
故答案是：π．
点评： 本题考查了圆柱的计算，熟记公式即可解答该题．

14．（3分）（2015•大庆）边长为1的正三角形的内切圆半径为　　．

考点： 三角形的内切圆与内心．
分析： 根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．
解答： 解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
则∠OBD=30°，BD=，
∴tan∠BOD==，
∴内切圆半径OD==．
故答案为：．

点评： 此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．

15．（3分）（2015•大庆）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱　①③④　（写出所有正确结果的序号）．

考点： 截一个几何体．
分析： 当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
解答： 解：①正方体能截出三角形；
②圆柱不能截出三角形；
③圆锥沿着母线截几何体可以截出三角形；
④正三棱柱能截出三角形．
故截面可能是三角形的有3个．
故答案为：①③④．
点评： 本题考查几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

16．（3分）（2015•大庆）方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是　x1=5，x2=　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：方程变形得：3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，
分解因式得：（x﹣5）[3（x﹣5）﹣2]=0，
可得x﹣5=0或3x﹣17=0，
解得：x1=5，x2=．
故答案为：x1=5，x2=
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

17．（3分）（2015•大庆）若a2n=5，b2n=16，则（ab）n=　　．

考点： 幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据幂的乘方与即的乘方，即可解答．
解答： 解：∵a2n=5，b2n=16，
∴（an）2=5，（bn）2=16，
∴，
∴，
故答案为：．
点评： 本题考查了幂的乘方与即的乘方，解决本题的关键是注意公式的逆运用．

18．（3分）（2015•大庆）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为　π+　．

考点： 旋转的性质；扇形面积的计算．
专题： 规律型．
分析： 由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果．
解答： 解：∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴AB==；
根据题意得：△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动；
∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示：
∴点A经过的路线与x轴围成的图形是：
一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；
∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积
=+×1×1+=π+；
故答案为：π+．

点评： 本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．

三、解答题（共10小题，满分66分）
19．（4分）（2015•大庆）求值：+（）2+（﹣1）2015．

考点： 实数的运算．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．
解答： 解：原式=+﹣1=﹣．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（4分）（2015•大庆）解关于x的不等式：ax﹣x﹣2＞0．

考点： 解一元一次不等式．
专题： 分类讨论．
分析： 利用不等式的基本性质，把不等号左边的﹣2移到右边，再根据a﹣1的取值，即可求得原不等式的解集．
解答： 解：ax﹣x﹣2＞0．
（a﹣1）x＞2，
当a﹣1=0，则ax﹣x﹣2＞0为空集，
当a﹣1＞0，则x＞，
当a﹣1＜0，则a＜．
点评： 此题考查了解简单不等式的能力，掌握解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

21．（5分）（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．

考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．
解答： 解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴+===﹣3．
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

22．（6分）（2015•大庆）已知一组数据x1，x2，…x6的平均数为1，方差为
（1）求：x12+x22+…+x62；
（2）若在这组数据中加入另一个数据x7，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差（结果用分数表示）

考点： 方差；算术平均数．
分析： （1）先由数据x1，x2，…x6的平均数为1，得出x1+x2+…+x6=1×6=6，再根据方差为，得到S2=[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x6﹣1）2]=，利用完全平方公式求出（x12+x22+…+x62﹣2×6+6）=，进而求解即可；
（2）先由数据x1，x2，…x7的平均数为1，得出x1+x2+…+x7=1×7=7，而x1+x2+…+x6=6，所以x7=1；再根据[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x6﹣1）2]=，得出（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x6﹣1）2=10，然后根据方差的计算公式即可求出这7个数据的方差．
解答： 解：（1）∵数据x1，x2，…x6的平均数为1，
∴x1+x2+…+x6=1×6=6，
又∵方差为，
∴S2=[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x6﹣1）2]
=[x12+x22+…+x62﹣2（x1+x2+…+x6）+6]
=（x12+x22+…+x62﹣2×6+6）
=（x12+x22+…+x62）﹣1=，
∴x12+x22+…+x62=16；

（2）∵数据x1，x2，…x7的平均数为1，
∴x1+x2+…+x7=1×7=7，
∵x1+x2+…+x6=6，
∴x7=1，
∵[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x6﹣1）2]=，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x6﹣1）2=10，
∴S2=[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x7﹣1）2]
=[10+（1﹣1）2]
=．
点评： 本题考查了平均数与方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．计算公式是：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

23．（7分）（2015•大庆）某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．

考点： 列表法与树状图法．
分析： （1）根据转盘1，利用概率公式求得获得优惠的概率即可；
（2）分别求得转动两个转盘所获得的优惠，然后比较即可得到结论．
解答： 解：（1）∵整个圆被分成了12个扇形，其中有6个扇形能享受折扣，
∴P（得到优惠）==；

（2）转盘1能获得的优惠为：=25元，
转盘2能获得的优惠为：40×=20元，
所以选择转动转盘1更优惠．
点评： 本题考查了几何概率，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．

24．（7分）（2015•大庆）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：≈1.732，≈1.414．结果保留整数）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 延长AE交CD于点G，设CG=xm，在直角△CGE中利用x表示出EG，然后在直角△ACG中，利用x表示出AG，根据AE=AG﹣EG即可列方程求得x的值，进而球儿CD的长．
解答： 解：延长AE交CD于点G．设CG=xm，
在直角△CGE中，∠CEG=45°，则EG=CG=xm．
在直角△ACG中，AG==xm．
∵AG﹣EG=AE，
∴x﹣x=30，
解得：x=15（+1）≈15×2.732≈40.98（m）．
则CD=40.98+1.5=42.48（m）．
答：这栋建筑物CD的高度约为42m．

点评： 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

25．（7分）（2015•大庆）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．

考点： 菱形的性质；平行四边形的判定．
分析： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，从而得到AF=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2，根据等边对等角可得然后∠F=∠3，然后求出∠2=∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，从而得到△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°，然后根据直角三角形两锐角互余解答．
解答： （1）证明：∵∠ACB=90°，E是BA的中点，
∴CE=AE=BE，
∵AF=AE，
∴AF=CE，
在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AF=AE，
∴∠F=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE=AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：∵四边形ACEF是菱形，
∴AC=CE，
由（1）知，AE=CE，
∴AC=CE=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．

点评： 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质与判定方法是解题的关键．

26．（8分）（2015•大庆）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）把A与B坐标代入反比例解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由A与B的坐标求出AB的长，利用点到直线的距离公式求出原点O到直线AB的距离，即可求出三角形AOB面积．
解答： 解：（1）把A（﹣1，m），B（n，﹣1）代入反比例函数y=﹣，得：m=7，n=7，即A（﹣1，7），B（7，﹣1），
把A与B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：k=﹣1，b=6，
则一次函数解析式为y=﹣x+6；
（2）∵A（﹣1，7），B（7，﹣1），
∴AB==8，
∵点O到直线y=﹣x+6的距离d==3，
∴S△AOB=AB•d=24．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，以及点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．

27．（9分）（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD；
（2）证明：DP•BD=AD•BC；
（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．

考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
专题： 证明题．
分析： （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出=，进而得出答案；
（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB•PB，再利用（2）中所求得出答案．
解答： 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴=，
∴AB=BC；

（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，
∴∠BCD=∠APD，
又∵∠ADB=∠CBD，
∴△ADP∽△DBC，
∴=，
∴DP•BD=AD•BC；

（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，
∴△ABP∽△DBA，
∴=，
∴AB2=DB•PB，
∴AB2+AD•BC=DB•PB+AD•BC
∵由（2）得：DP•BD=AD•BC，
∴AB2+AD•BC=DB•PB+DP•BD=DB（PB+DP）=DB2，
即BD2=AB2+AD•BC．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．

28．（9分）（2015•大庆）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；
（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．

考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．
（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的值，进而判断出Q点坐标即可．
（3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤即可．
解答： 解：（1）如图1，连接AC，
，
∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，
∴C点的坐标为（0，﹣4），
∵tan∠ACO=，
∴，
又∵OC=4，
∴OA=1，
∴A点的坐标为（1，0），
把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4，
可得0=1+b﹣4，
解得b=3，
∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4．

（2）如图2，
，
∵y=x2+3x﹣4，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣，
∵Q为抛物线对称轴上的一点，
∴设点Q的坐标为（﹣，n），
∵抛物线的对称轴平行于y轴，
∴∠CQP=∠OCQ，
又∵∠OQC=∠CQP，
∴∠OQC=∠OCQ，
∴OQ=OC，
∴，
∴，
解得n=±，
∴Q点坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）．

（3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，
∵y的取值范围为≤y≤，
∴
由+3x1﹣4=，
解得x1=﹣3，﹣2，2，
由+3x2﹣4=，
解得x2=﹣3，﹣2，2，
∵x1≤x2≤﹣，
∴

②当x1≤﹣≤x2时，
Ⅰ、当﹣时，
可得x1+x2≤﹣3，
∵y的取值范围为≤y≤，
∴
由（1），可得，
由（2），可得x1=﹣3，﹣2，2，
∵x1≤﹣＜x2，，
∴没有满足题意的x1、x2．
Ⅱ、当﹣时，
可得x1+x2＞﹣3，
∵y的取值范围为≤y≤，
∴
解得
∵x1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，
∴没有满足题意的x1、x2．

③当﹣＜x1≤x2时，
二次函数y=x2+3x﹣4单调递增，
∵y的取值范围为≤y≤，
∴
（1）×x2﹣（2）×x1，可得
（x1﹣x2）（x1x2+4）=0，
∵x1﹣x2≠0，
∴x1x2+4=0，
∴…（1），
把（3）代入（1），可得
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴没有满足题意的x1、x2．
综上，可得
x1=﹣3，x2=﹣2时，当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤．
点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．