2012年辽宁省大连市中考数学试卷及解析.doc

2012年辽宁省大连市中考数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）（2012•大连）﹣3的绝对值是（　　）

A．
﹣3
B．
﹣
C．

D．
3
2．（3分）（2012•大连）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）所在的象限是（　　）

A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
3．（3分）（2012•大连）下列几何体中，主视图是三角形的几何体的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（3分）（2012•大连）甲、乙两班分别有10名选手参加学校健美操比赛，两班参赛选手身高的方差分别是=1.5，=2.5，则下列说法正确的是（　　）

A．
甲班选手比乙班选手身高整齐

B．
乙班选手比甲班选手身高整齐

C．
甲、乙两班选手身高一样整齐

D．
无法确定哪班选手身高更整齐
5．（3分）（2012•大连）下列计算正确的是（　　）

A．
a3+a2=a5
B．
a3﹣a2=a
C．
a3•a2=a6
D．
a3÷a2=a
6．（3分）（2012•大连）一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（3分）（2012•大连）如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（　　）

A．
20
B．
24
C．
28
D．
40
8．（3分）（2012•大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2012•大连）化简：=　　　　　　．
10．（3分）（2013•南宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　　　　．
11．（3分）（2012•大连）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE=3cm，则BC=　　　　　　cm．

12．（3分）（2012•大连）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA=60°，则∠ABO=　　　　　　°．

13．（3分）（2012•大连）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　　　　　　（精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
14．（3分）（2012•大连）如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为　　　　　　．
15．（3分）（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为　　　　　　m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．

16．（3分）（2012•大连）如图，矩形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且AE=9cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则A′C=　　　　　　cm．

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）（2012•大连）计算：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）

18．（9分）（2012•大连）解方程：．

19．（9分）（2012•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．

20．（12分）（2012•大连）某车间有120名工人，为了了解这些工人日加工零件数的情况，随机抽出其中的30名工人进行调查．整理调查结果，绘制出不完整的条形统计图（如图）．根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在被调查的工人中，日加工9个零件的人数为　　　　　　名；
（2）在被调查的工人中，日加工12个零件的人数为　　　　　　名，日加工　　　　　　个零件的人数最多，日加工15个零件的人数占被调查人数的　　　　　　%；
（3）依据本次调查结果，估计该车间日人均加工零件数和日加工零件的总数．

四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）（2012•大连）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象都经过点A（﹣2，6）和点（4，n）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）直接写出不等式kx+b≤的解集．

22．（9分）（2012•大连）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．
（1）在跑步的全过程中，甲共跑了　　　　　　米，甲的速度为　　　　　　米/秒；
（2）乙跑步的速度是多少？乙在途中等候甲用了多长时间？
（3）甲出发多长时间第一次与乙相遇？此时乙跑了多少米？

23．（10分）（2012•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．

五、解答题（本题共3小题，其中23题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）（2012•大连）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动．当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．
（1）t为何值时，点Q′恰好落在AB上？
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）S能否为cm2？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

25．（12分）（2012•大连）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A．
（1）∠BEF=　　　　　　（用含α的代数式表示）；
（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图），求的值（用含m，n的代数式表示）

26．（12分）（2012•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．

2012年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）
考点：
绝对值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据绝对值的定义直接解答即可．
解答：
解：∵﹣3的绝对值表示﹣3到原点的距离，
∴|﹣3|=3，
故选D．
点评：
本题考查了绝对值的定义，知道绝对值表示某点到原点的距离是解题的关键．
2．（3分）
考点：
点的坐标．菁优网版权所有
分析：
根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
解答：
解：∵﹣3＜0，1＞0，
∴点P（﹣3，1）所在的象限是第二象限，
故选B．
点评：
考查点的坐标的相关知识；掌握各个象限内点的符号特点是解决本题的关键．
3．（3分）
考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
解答：
解：A、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条竖线，故此选项错误；
B、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：C．
点评：
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
4．（3分）
考点：
方差．菁优网版权所有
分析：
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：
解：∵=1.5，=2.5
∴＜=2.5
则甲班选手比乙班选手身高更整齐．
故选A．
点评：
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
分析：
根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a3•a2=a5，故本选项错误；
D、a3÷a2=a，正确．
故选D．
点评：
本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．
6．（3分）
考点：
概率公式．菁优网版权所有
分析：
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
解答：
解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个，
从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率=．
故选B．
点评：
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7．（3分）
考点：
菱形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题；数形结合．
分析：
据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
解答：
解：∵菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB==5，
故菱形的周长为20．
故选A．

点评：
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
8．（3分）
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题；动点型．
分析：
抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值．
解答：
解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：
0=a（1+1）2+4，a=﹣1，
即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．
当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y=﹣（x﹣3）2+1=﹣x2+6x﹣8=﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），
∴点A的横坐标的最大值为2．
故选B．

点评：
考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）
考点：
分式的加减法．菁优网版权所有
分析：
根据同分母的分式的加法法则求解即可求得答案，注意运算结果要化为最简．
解答：
解：===1．
故答案为：1．
点评：
此题考查了同分母分式的加减运算法则．此题比较简单，注意运算结果要化为最简．
10．（3分）
考点：
二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
分析：
根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
解答：
解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
点评：
本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
11．（3分）
考点：
三角形中位线定理．菁优网版权所有
分析：
由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得BC的值即可．
解答：
解：∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∵DE=3cm，
∴BC=2DE=6cm．
故答案为：6．
点评：
本题重点考查了中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
12．（3分）
考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
由∠BCA=60°，根据圆周角定理即可求得∠AOB的度数，又由等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
解答：
解：∵∠BCA=60°，
∴∠AOB=2∠BCA=120°，
∵OA=OB，
∴∠ABO==30°．
故答案为：30．
点评：
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及内角和定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
13．（3分）
考点：
利用频率估计概率．菁优网版权所有
专题：
图表型．
分析：
计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
解答：
解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
点评：
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
14．（3分）
考点：
根的判别式．菁优网版权所有
分析：
若一元二次方程有两相等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值．
解答：
解：∵方程有两相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=k2﹣36=0，
解得k=±6．
故答案为±6．
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，不是很难，解题的关键是根据根的情况列出有关k的方程．
15．（3分）
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．
解答：
解：如图，在Rt△ACE中，
∴AE=CE•tan36°
=BD•tan36°
=9×tan36°
≈6.57米，
∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．
故答案为：8.1．

点评：
本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．
16．（3分）
考点：
翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由题意易证得△A′BC≌△DCE（AAS），BC=AD，A′B=AB=CD=15cm，然后设A′C=xcm，在Rt△A′BC中，由勾股定理可得BC2=A′B2+A′C2，即可得方程，解方程即可求得答案．
解答：
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=15cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DEC=∠A′CB，
由折叠的性质，得：A′B=AB=15cm，∠BA′E=∠A=90°，
∴A′B=CD，∠BA′C=∠D=90°，
在△A′BC和△DCE中，
，
∴△A′BC≌△DCE（AAS），
∴A′C=DE，
设A′C=xcm，则BC=AD=DE+AE=x+9（cm），
在Rt△A′BC中，BC2=A′B2+A′C2，
即（x+9）2=x2+152，
解得：x=8，
∴A′C=8cm．
故答案为：8．
点评：
此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）
考点：
二次根式的混合运算；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数公式化简，第三项利用平方差公式化简，合并后即可得到结果．
解答：
解：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）
=2+4﹣（5﹣1）
=2+4﹣4
=2．
点评：
此题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识有：二次根式的化简，负指数公式，以及平方差公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．
18．（9分）
考点：
解分式方程．菁优网版权所有
分析：
观察可得最简公分母是3（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：
解：方程的两边同乘3（x+1），得
6x=3（x+1）﹣x，
解得x=．
检验：把x=代入3（x+1）=≠0，
即x=是原分式方程的解．
则原方程的解为：x=．
点评：
此题考查了分式方程的求解方法．注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
19．（9分）
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题．
分析：
根据ED=BF，可得出AE=CF，结合平行线的性质，可得出∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，继而可判定△AEO≌△CFO，即可得出结论．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD﹣ED=BC﹣BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC．
点评：
此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO是解答本题的关键．
20．（12分）
考点：
条形统计图；用样本估计总体．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）直接观察条形统计图即可求得日加工9个零件的人数；
（2）用总人数减去其他小组的人数即可求得日加工零件12个的人数；观察发现日加工零件最多的是加工14个零件的人数；
（3）用加权平均数计算加工零件的平均数即可；
解答：
解：（1）观察条形统计图即可求得日加工9个零件的工人有4人；

（2）日加工零件12个的有：30﹣4﹣12﹣6=8人；
日加工零件14个的有12人，最多，日加工15个零件的人数占被调查人数的百分比为：6÷30×100%=20%；

（3）日加工零件的平均数为：（9×4+12×8+14×12+15×6）÷30=13个，
加工零件总个数为120×13=1560个．
点评：
本题考查了条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从条形统计图中得到进一步解题的相关信息．
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标，分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象即可得出答案．
解答：
解：（1）∵把A（﹣2，6）代入y=得：m=﹣12，
∴y=﹣，
∵把（4，n）代入y=﹣得：n=﹣3，
∴B（4，﹣3），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=﹣，b=3，
即y=﹣x+3，
答：反比例函数的解析式是y=﹣，一次函数的解析式是y=﹣x+3．

（2）不等式kx+b≤的解集是﹣2≤x＜0或x≥4．
点评：
本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
22．（9分）
考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）终点E的纵坐标就是路程，横坐标就是时间；
（2）首先求得C点对用的横坐标，即a的值，则CD段的路程可以求得，时间是560﹣500=60秒，则乙跑步的速度即可求得；
B点时，所用的时间可以求得，然后求得路程是150米时，甲用的时间，就是乙出发的时刻，两者的差就是所求；
（3）首先求得甲运动的函数以及AB段的函数，求出两个函数的交点坐标即可．
解答：
解：（1）根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：900÷600=1.5米/秒；
（2）甲跑500秒时的路程是：500×1.5=750米，则CD段的长是900﹣750=150米，时间是：560﹣500=60秒，则速度是：150÷60=2.5米/秒；
甲跑150米用的时间是：150÷1.5=100秒，则甲比乙早出发100秒．
乙跑750米用的时间是：750÷2.5=300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500﹣300﹣100=100秒．
（3）甲每秒跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是：y=1.5x，
乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则AB段的函数解析式是：y=2.5（x﹣100），
根据题意得：1.5x=2.5（x﹣100），解得：x=250秒．
乙的路程是：2.5×（250﹣100）=375（米）．
答：甲出发250秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375米．
点评：
本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息是关键．
23．（10分）
考点：
切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则=，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线；
（2）首先证明△FBD∽△BAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求DF的长，继而求得答案．
解答：
解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：
连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴=，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴ED与⊙O的位置关系是相切；

（2）连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在直角△ABD中，BD===，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD
∴△FBD∽△BAD，
∴=
∴FD=
∴AF=AD﹣FD=5﹣=．

点评：
本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，以及切割线定理，把求AF的长的问题转化成求相似三角形的问题是关键．
五、解答题（本题共3小题，其中23题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）
考点：
相似形综合题；根的判别式；勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
代数几何综合题；动点型．
分析：
（1）如图所示，连接QQ′，由题意得到三角形PQC为等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l与AC垂直，得到∠RPQ也为45°，进而由对称性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一对同位角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值；
（2）由（1）求出t的值，分两种情况考虑：当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，由RP与BC平行，利用两直线平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出RP，利用三角形的面积公式表示出S关于t的关系式即可；当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，由对称性得到由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP为等腰直角三角形，得到DE=DP，由△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由RP=RD+DP=RD+DE，将表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面积公式即可表示出S与t的关系式；
（3）S能为cm2，具体求法为：当0＜t≤2.4时，令S=，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；当2.4＜t≤6时，令S=，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，经检验得到满足题意t的值．
解答：
解：（1）连接QQ′，

∵PC=QC，∠C=90°，
∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，
∴∠RPQ=∠RPC﹣∠CPQ=90°﹣45°=45°，
由对称可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，
∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，
∴△BQQ′∽△BCA，
∴==，即=，
解得：t=2.4；

（2）当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，

又∵RP∥BC，
∴△RPA∽△BCA，
∴=，即=，
∴RP=（8﹣t）•=，
∴S=RP•Q′D=••t=﹣t2+3t；
当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，

由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，
又∵∠PDE=90°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴DP=DE，
∵△RDE∽△BCA，
∴===，即DR=DE，
∵△RPA∽△BCA，
∴=，即=，
∴RP=，
∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+DE=，即DE=，
∴DE=，
∴S=RP•DE=••=t2﹣t+；

（3）S能为cm2，理由为：
若t2﹣t+=（2.4＜t≤6），
整理得：t2﹣16t+57=0，
解得：t==8±，
∴t1=8+（舍去），t2=8﹣；
若﹣t2+3t=（0＜t≤2.4），
整理得：t2﹣8t+3=0，
解得：t==4±，
∴t1=4+（舍去），t2=4﹣，
综上，当S为cm2时，t的值为（8﹣）或（4﹣）秒．
点评：
考查了相似形综合题，此题涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质，勾股定理，以及根的判别式，是一道较难的相似形综合题．
25．（12分）
考点：
相似三角形的判定与性质；梯形．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数；
（2）首先连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得，继而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF；
（3）首先延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．
解答：
（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°﹣2α；
故答案为：180°﹣2α；

（2）EB=EF．
证明：连接BD交EF于点O，连接BF．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣2α，∠ADC=180°﹣∠C=180°﹣α．
∵AB=AD，
∴∠ADB=（180°﹣∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=180°﹣2α，
由（1）得：∠BEF=180°﹣2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，
∴，
即，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α，
∴∠EBF=180°﹣∠BEF﹣∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF；

（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接GE，
则∠G=∠AEG===α，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，
∴∠EDF=∠G，
∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠GBC，
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，
即∠EBG=∠FED，
∴△DEF∽△GBE，
∴，
∵AB=mDE，AD=nDE，
∴AG=AE=（n+1）DE，
∴BG=AG﹣AB=（n+1）DE﹣mDE=（n+1﹣m）DE，
∴==n+1﹣m．

点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（12分）
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；数形结合．
分析：
（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．
（2）由于点Q的位置可能有四处，所以利用几何法求解较为复杂，所以可考虑直接用SSS判定两三角形全等的方法来求解．那么，首先要证明CD=DP，设出点Q的坐标后，表示出QC、QD的长，然后由另两组对应边相等列方程来确定点Q的坐标．
（3）根据B、D的坐标，容易判断出△CDE是等边三角形，然后通过证△CEM、△DEN全等来得出CM=DN，首先设出点M的坐标，表示出PM、CM的长，由PM=2DN=2CM列方程确定点M的坐标，进一步得到CM的长后，即可得出DN的长，由此求得点N的坐标．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+）（x﹣3），代入点C（0，3）后，得：
a（0+）（0﹣3）=3，解得 a=﹣
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+）（x﹣3）=﹣x2+x+3．

（2）设直线BC的解析式：y=kx+b，依题意，有：
，
解得 ．
故直线BC：y=﹣x+3．
由抛物线的解析式知：P（，4），将点P的横坐标代入直线BC中，得：D（，2）．
设点Q（x，y），则有：
QC2=（x﹣0）2+（y﹣3）2=x2+y2﹣6y+9、QD2=（x﹣）2+（y﹣2）2=x2+y2﹣2x﹣4y+7；
而：PA2=（﹣﹣）2+（0﹣4）2=28、AD2=（﹣﹣）2+（0﹣2）2=16、CD=PD=2；
△QCD和△APD中，CD=PD，若两个三角形全等，则：
①QC=AP、QD=AD时，
②QC=AD、QD=AP时，
解①、②的方程组，得：、、、；
∴点Q的坐标为（3，4）、（，﹣2）、（﹣2，1）或（0，7）．

（3）根据题意作图如右图；
由D（，2）、B（3，0）知：DF=2，BF=2；
∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等边三角形；
在△CEM和△DEN中，
∴△CEM≌△DEN，则 CM=DN，PM=2CM=2DN；
设点M（x，﹣x+3），则有：
PM2=（﹣x）2+（4+x﹣3）2=x2﹣x+4、CM2=x2+x2=x2；
已知：PM2=4CM2，则有：
x2﹣x+4=4×x2，解得 x=；
∴CM=DN=×x=×=；
则：FN=DF﹣DN=2﹣=，
∴点N（，）．

点评：
该题的难度较大，涉及到：函数解析式的确定、等边三角形的判定和性质、图形的旋转以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路；能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查．

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