2005年湖南高考文科数学真题及答案.doc

2005年湖南高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟
第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U={－2,－1,0,1,2}，A={－2,－1,0}，B={0,1,2}，则 =（　　）
　 A．{0}　 B．{－2，－1}　　 C．{1，2}　　 D．{0，1，2}
2．tan600°的值是（　 ）
　　A．　　 B．　　 C．　　 D．
3．函数f(x)＝的定义域是　 （　 ）
A．－∞，0]　　 B．[0，＋∞　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞）
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面AB C1D1的距离为（ 　 ）
A．　 B．　
C．　 D．
5．已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．
6．设集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x －1|＜a，若“a＝1”是“ ”的（ 　）
　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件　 D．既不充分又不必要条件
7．设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是 （　 ）
　　A．20　 B．19 C．18 D．16
8．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为　（ 　）
　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º
9．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　 ）
　　A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心
10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最
大利润为（ ）
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是
12．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了　　　 件产品
13．在的展开式中，x 2项的系数是　　　　.（用数字作答）
14．设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数,f (4)＝0，则＝　 .
15．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.
（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有
（填所选条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明
17．（本小题满分12分）
已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小

18．（本小题满分14分）
如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2
　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
图1
图2
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

19．（本小题满分14分）
设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围

20．（本小题满分14分）
某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率

21．（本小题满分14分）
　 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线
l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形

参考答案
一、选择题：1—5：CDABB 6—10： ACDDB
二、填空题：
11． 12．5600 13．35 14．－2 15．③⑤ ②⑤
三、解答题：
16．（I）解：设等差数列的公差为d.
由即d=1.
所以即
（II）证明因为，
所以

17．解法一 由
得
所以
即
因为所以，从而
由知 从而.
由
即
由此得所以
解法二：由
由、，所以
即
由得
所以
即 因为，所以
由从而，知B+2C=不合要求.
再由，得 所以
图3
18．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1，）
O1（0，0，）.
从而
所以AC⊥BO1.
（II）解：因为所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.
设是0平面O1AC的一个法向量，
由 得.
设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，
所以cos，>=
即二面角O—AC—O1的大小是
解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，
OC是AC在面OBCO1内的射影.
因为 ，
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1
图4
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.
所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
所以，
从而， 又O1E=OO1·sin30°=，
所以 即二面角O—AC—O1的大小是
19．解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.

又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得 因此故，，
（II）解法一.
当时，函数单调递减.
由，若；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则

所以
又当时，函数在（－1，3）上单调递减.
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，
所以 即解得
所以的取值范围为
20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.
（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为
P（A1）=
（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）=，事件A2的概率为
P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=
解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A2）=
21．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，
所以A、B的坐标分别是

所以点M的坐标是（）.
由
即，
证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以
因为点M在椭圆上，所以
即

解得
（Ⅱ）当时，，所以
由△MF1F2的周长为6，得
所以
椭圆方程为
（Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即
设点F1到l的距离为d，由
得
所以
即当△PF1F2为等腰三角形
解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，
设点P的坐标是，
则，
由|PF1|=|F1F2|得
两边同时除以4a2，化简得
从而
于是. 即当时，△PF1F2为等腰三角形