2021年西藏中考数学真题及解析.doc
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2021年西藏中考数学试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,不选、错选或多选均不得分. 1.﹣10的绝对值是( ) A.﹣ B. C.﹣10 D.10 2.2020年12月3日.中共中央政治局常务委员会召开会议,听取脱贫攻坚总结评估汇报.中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.指出经过8年持续奋斗,我们如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务,现行标准下农村贫困人口全部脱贫,贫困县全部摘帽,消除了绝对贫困和区域性整体贫困,近1亿贫困人口实现脱贫,取得了令全世界刮目相看的重大胜利.将100000000用科学记数法表示为( ) A.0.1×108 B.1×107 C.1×108 D.10×108 3.如图是由五个相同的小正方体组成的几何体,其主视图为( ) A. B. C. D. 4.数据3,4,6,6,5的中位数是( ) A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 5.下列计算正确的是( ) A.(a2b)3=a6b3 B.a2+a=a3 C.a3•a4=a12 D.a6÷a3=a2 6.把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成,若∠1=25°,则∠2的度数为( ) A.15° B.20° C.25° D.30° 7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.点E、F分别是AB,AO的中点,且AC=8.则EF的长度为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 8.如图,△BCD内接于⊙O,∠D=70°,OA⊥BC交⨀O于点A,连接AC,则∠OAC的度数为( ) A.40° B.55° C.70° D.110° 9.已知一元二次方程x2﹣10x+24=0的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的面积为( ) A.6 B.10 C.12 D.24 10.将抛物线y=(x﹣1)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为( ) A.y=x2﹣8x+22 B.y=x2﹣8x+14 C.y=x2+4x+10 D.y=x2+4x+2 11.如图.在平面直角坐标系中,△AOB的面积为,BA垂直x轴于点A,OB与双曲线y=相交于点C,且BC:OC=1:2.则k的值为( ) A.﹣3 B.﹣ C.3 D. 12.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上一动点,点M在线段AB上,当AM=AB时,PB+PM的最小值为( ) A.3 B.2 C.2+2 D.3+3 二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均不得分. 13.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 . 14.计算:(π﹣3)0+(﹣)﹣2﹣4sin30°= . 15.已知一个圆锥的底面圆半径是2,母线长是6.则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 . 16.若关于x的分式方程﹣1=无解,则m= . 17.如图.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4.按以下步骤作图:(1)以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交线段BA,BC于点M,N;(2)以点C为圆心,BM长为半径画弧,交线段CB于点D;(3)以点D为圆心,MN长为半径画弧,与第2步中所面的弧相交于点E;(4)过点E画射线CE,与AB相交于点F.当AF=3时,BC的长是 . 18.按一定规律排列的一列数依次为,,,,,…,按此规律排列下去,这列数中的第n个数是 . 三、解答题:本大题共9小题,共66分,解答应写出女字说明、证明过程或演步骤. 19解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. 20先化简,再求值:•﹣(+1),其中a=10. 21如图,AB∥DE,B,C,D三点在同一条直线上,∠A=90°,EC⊥BD,且AB=CD.求证:AC=CE. 22列方程(组)解应用题 为振兴农村经济,某县决定购买A,B两种药材幼苗发给农民栽种,已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元.购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元.问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元? 23为铸牢中华民族共同体意识,不断巩固民族大团结,红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲,同心共筑中国梦”主题活动.学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案,为了解学生对活动方案的喜爱情况,学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案),将调结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题. (1)在抽取的200名学生中,选择“演讲比赛”的人数为 ,在扇形统计图中,m的值为 . (2)根据本次调查结果,估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人? (3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中,任选两名同学参加学校知识竞赛,请用树状图或列表法求出a同学参加的概率. 24已知第一象限点P(x,y)在直线y=﹣x+5上,点A的坐标为(4,0),设△AOP的面积为S. (1)当点P的横坐标为2时,求△AOP的面积; (2)当S=4时,求点P的坐标; (3)求S关于x的函数解析式,写出x的取值范围,并在图中画出函数S的图象. 25如图,为了测量某建筑物CD的高度,在地面上取A,B两点,使A、B、D三点在同一条直线上,拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°,小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°,且AB=10m.求建筑物CD的高度. (拉姆和小明同学的身高忽略不计.结果精确到0.1m,≈1.732) 26如图,AB是⊙O的直径,OC是半径,延长OC至点D.连接AD,AC,BC.使∠CAD=∠B. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若AD=4,tan∠CAD=,求BC的长. 27在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点.与y轴交于点C.且点A的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(0,5). (1)求该抛物线的解析式; (2)如图(甲).若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标; (3)图(乙)中,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题) 1.﹣10的绝对值是( ) A.﹣ B. C.﹣10 D.10 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论. 【解答】解:﹣10的绝对值是10. 故选:D. 2.2020年12月3日.中共中央政治局常务委员会召开会议,听取脱贫攻坚总结评估汇报.中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.指出经过8年持续奋斗,我们如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务,现行标准下农村贫困人口全部脱贫,贫困县全部摘帽,消除了绝对贫困和区域性整体贫困,近1亿贫困人口实现脱贫,取得了令全世界刮目相看的重大胜利.将100000000用科学记数法表示为( ) A.0.1×108 B.1×107 C.1×108 D.10×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数. 【解答】解:100000000=1.0×108, 故选:C. 3.如图是由五个相同的小正方体组成的几何体,其主视图为( ) A. B. C. D. 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案. 【解答】解:从正面看,底层是三个小正方形,上层的右边是两个小正方形. 故选:C. 4.数据3,4,6,6,5的中位数是( ) A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 【分析】将这组数据从小到大排列,处在中间位置的一个数就是中位数. 【解答】解:将这组数据从小到大排列为3,4,5,6,6,处在中间位置的一个数是5,因此中位数是5, 故选:B. 5.下列计算正确的是( ) A.(a2b)3=a6b3 B.a2+a=a3 C.a3•a4=a12 D.a6÷a3=a2 【分析】分别根据积的乘方运算法则,合并同类项法则,同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可.(BD选项非试卷原题) 【解答】解:A.(a2b)3=a6b3,故本选项符合题意; B.a2与a不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意; C.a3•a4=a7,故本选项不合题意; D.a6÷a3=a3,故本选项不合题意; 故选:A. 6.把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成,若∠1=25°,则∠2的度数为( ) A.15° B.20° C.25° D.30° 【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论. 【解答】解:如图, ∵a∥b, ∴∠1=∠3=25°, ∵∠2+∠3=45°, ∴∠2=45°﹣∠3=20°, 故选:B. 7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.点E、F分别是AB,AO的中点,且AC=8.则EF的长度为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=8,BO=DO=BD=4,再根据三角形中位线定理可得EF=BO=2. 【解答】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD=8,BO=DO=BD, ∴BO=DO=BD=4, ∵点E、F是AO,AB的中点, ∴EF是△AOD的中位线, ∴EF=BO=2, 故选:A. 8.如图,△BCD内接于⊙O,∠D=70°,OA⊥BC交⨀O于点A,连接AC,则∠OAC的度数为( ) A.40° B.55° C.70° D.110° 【分析】连接OB,OC,根据圆周角定理得到∠BOC=2∠D=140°,根据垂径定理得到∠COA=,根据等腰三角形的性质即可得到结论. 【解答】解:连接OB,OC, ∵∠D=70°, ∴∠BOC=2∠D=140°, ∵OA⊥BC, ∴∠COA=, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=(180°﹣70°)=55°, 故选:B. 9.已知一元二次方程x2﹣10x+24=0的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的面积为( ) A.6 B.10 C.12 D.24 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长,进而求出菱形面积即可. 【解答】解:方程x2﹣10x+24=0, 分解得:(x﹣4)(x﹣6)=0, 可得x﹣4=0或x﹣6=0, 解得:x=4或x=6, ∴菱形两对角线长为4和6, 则这个菱形的面积为×4×6=12. 故选:C. 10.将抛物线y=(x﹣1)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为( ) A.y=x2﹣8x+22 B.y=x2﹣8x+14 C.y=x2+4x+10 D.y=x2+4x+2 【分析】根据“左加右减,上加下减”的法则进行解答即可. 【解答】解:将抛物线y=(x﹣1)2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为:y=(x﹣1+3)2+2,即y=(x+2)2+2; 再向下平移4个单位为:y=(x+2)2+2﹣4,即y=(x+2)2﹣2=x2+4x+2. 故选:D. 11.如图.在平面直角坐标系中,△AOB的面积为,BA垂直x轴于点A,OB与双曲线y=相交于点C,且BC:OC=1:2.则k的值为( ) A.﹣3 B.﹣ C.3 D. 【分析】过C作CD⊥x轴于D,可得△DOC∽△AOB,根据相似三角形的性质求出S△DOC,由反比例函数系数k的几何意义即可求得k. 【解答】解:过C作CD⊥x轴于D, ∵=, ∴=, ∵BA⊥x轴, ∴CD∥AB, ∴△DOC∽△AOB, ∴=()2=()2=, ∵S△AOB=, ∴S△DOC=S△AOB=×=, ∵双曲线y=在第二象限, ∴k=﹣2×=﹣3, 故选:A. 12.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上一动点,点M在线段AB上,当AM=AB时,PB+PM的最小值为( ) A.3 B.2 C.2+2 D.3+3 【分析】作B点关于AC的对称点B',连接B'M交AC于点P,则PB+PM的最小值为B'M的长,过点B'作B'H⊥AB交H点,在Rt△BB'H中,B'H=3,HB=3,可求MH=1,在Rt△MHB'中,B'M=2,所以PB+PM的最小值为2. 【解答】解:作B点关于AC的对称点B',连接B'M交AC于点P, ∴BP=B'P, ∴PB+PM=B'P+PM≥B'M, ∴PB+PM的最小值为B'M的长, 过点B'作B'H⊥AB交H点, ∵∠A=30°,∠C=90°, ∴∠CBA=60°, ∵AB=6, ∴BC=3, ∴BB'=6, 在Rt△BB'H中,B'H=B'B•sin60°=6×=3, HB=B'B•cos60°=6×=3, ∴AH=3, ∵AM=AB, ∴AM=2, ∴MH=1, 在Rt△MHB'中,B'M===2, ∴PB+PM的最小值为2, 故选:B. 二.填空题(共6小题) 13.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥ . 【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数,进而得出答案. 【解答】解:在实数范围内有意义, 则2x﹣1≥0, 解得:x≥. 故答案为:x≥. 14.计算:(π﹣3)0+(﹣)﹣2﹣4sin30°= 3 . 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案. 【解答】解:原式=1+4﹣4× =1+4﹣2 =3. 故答案为:3. 15.已知一个圆锥的底面圆半径是2,母线长是6.则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 120° . 【分析】利用圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算. 【解答】解:设圆心角为n, 底面半径是2,母线长是6, 则底面周长=4π=, 解得:n=120, 故答案为:120°. 16.若关于x的分式方程﹣1=无解,则m= 2 . 【分析】解方程得x=m﹣1,由方程无解,可知x=1,即可求m=2. 【解答】解:﹣1=, 方程两边同时乘以x﹣1,得2x﹣(x﹣1)=m, 去括号,得2x﹣x+1=m, 移项、合并同类项,得x=m﹣1, ∵方程无解, ∴x=1, ∴m﹣1=1, ∴m=2, 故答案为2. 17.如图.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4.按以下步骤作图:(1)以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交线段BA,BC于点M,N;(2)以点C为圆心,BM长为半径画弧,交线段CB于点D;(3)以点D为圆心,MN长为半径画弧,与第2步中所面的弧相交于点E;(4)过点E画射线CE,与AB相交于点F.当AF=3时,BC的长是 4 . 【分析】利用基本作图得到∠FCB=∠B,则FC=FB,再利用勾股定理计算出CF=5,则AB=8,然后利用勾股定理可计算出BC的长. 【解答】解:由作法得∠FCB=∠B, ∴FC=FB, 在Rt△ACF中,∵∠A=90°,AC=4,AF=3, ∴CF==5, ∴BF=5, ∴AB=AF+BF=8, 在Rt△ABC中,BC===4. 故答案为4. 18.按一定规律排列的一列数依次为,,,,,…,按此规律排列下去,这列数中的第n个数是 (n是偶数),(n是奇数) . 【分析】观察一列数可得=,=,=,=,=,…,按此规律排列下去,即可得这列数中的第n个数. 【解答】解:观察一列数可知:=,=,=,=,=, …, 按此规律排列下去, 这列数中的第n个数是:(n是偶数),(n是奇数), 故答案为:(n是偶数),(n是奇数). 三.解答题 19解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. 【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组. 【专题】一元一次不等式(组)及应用;运算能力. 【答案】﹣1<x≤2,解集在数轴上的表示见解答. 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集. 【解答】解:解不等式2x+3>1,得:x>﹣1, 解不等式≤,得:x≤2, 则不等式组的解集为﹣1<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如下: 20先化简,再求值:•﹣(+1),其中a=10. 【考点】分式的化简求值. 【专题】分式;运算能力. 【答案】,. 【分析】根据分式的乘法和加减法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题. 【解答】解:•﹣(+1) =﹣ = = =, 当a=10时,原式==. 21如图,AB∥DE,B,C,D三点在同一条直线上,∠A=90°,EC⊥BD,且AB=CD.求证:AC=CE. 【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】图形的全等;推理能力. 【答案】证明见解析过程. 【分析】由平行线的性质得出∠B=∠D,再由垂直的定义得到∠DCE=90°=∠A,即可根据ASA证明△ABC≌△CDE,最后根据全等三角形的性质即可得解. 【解答】证明:∵AB∥DE, ∴∠B=∠D, ∵EC⊥BD,∠A=90°, ∴∠DCE=90°=∠A, 在△ABC和△CDE中, , ∴△ABC≌△CDE(ASA), ∴AC=CE. 22列方程(组)解应用题 为振兴农村经济,某县决定购买A,B两种药材幼苗发给农民栽种,已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元.购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元.问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元? 【考点】二元一次方程组的应用. 【专题】一次方程(组)及应用;应用意识. 【答案】每棵A种药材幼苗的价格是7元,每棵B种药材幼苗的价格是9元. 【分析】设每棵A种药材幼苗的价格是x元,每棵B种药材幼苗的价格是y元,根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元.购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论. 【解答】解:设每棵A种药材幼苗的价格是x元,每棵B种药材幼苗的价格是y元, 依题意得:, 解得:. 答:每棵A种药材幼苗的价格是7元,每棵B种药材幼苗的价格是9元. 23为铸牢中华民族共同体意识,不断巩固民族大团结,红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲,同心共筑中国梦”主题活动.学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案,为了解学生对活动方案的喜爱情况,学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案),将调结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题. (1)在抽取的200名学生中,选择“演讲比赛”的人数为 ,在扇形统计图中,m的值为 . (2)根据本次调查结果,估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人? (3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中,任选两名同学参加学校知识竞赛,请用树状图或列表法求出a同学参加的概率. 【考点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法. 【专题】概率及其应用;数据分析观念. 【答案】(1)40人,30;(2)800人;(3). 【分析】(1)总人数乘以A对应的百分比即可求出其人数,再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数,再用C方案人数除以总人数即可得出m的值; (2)总人数乘以样本中B方案人数所占比例; (3)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可. 【解答】解:(1)在抽取的200名学生中,选择“演讲比赛”的人数为200×20%=40(人), 则选择“书画展览”的人数为200﹣(40+80+20)=60(人), ∴在扇形统计图中,m%=×100%=30%,即m=30, 故答案为:40人,30; (2)估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2000×=800(人); (3)列表如下: a b c d a (b,a) (c,a) (d,a) b (a,b) (c,b) (d,b) c (a,c) (b,c) (d,c) d (a,d) (b,d) (c,d) 由表可知,共有12种等可能结果,其中a同学参加的有6种结果, 所以a同学参加的概率为=. 24已知第一象限点P(x,y)在直线y=﹣x+5上,点A的坐标为(4,0),设△AOP的面积为S. (1)当点P的横坐标为2时,求△AOP的面积; (2)当S=4时,求点P的坐标; (3)求S关于x的函数解析式,写出x的取值范围,并在图中画出函数S的图象. 【考点】一次函数的图象;一次函数的性质;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求一次函数解析式. 【专题】一次函数及其应用;运算能力;模型思想;应用意识. 【答案】(1)6; (2)(3,2); (3)S=﹣2x+10(0<x<5). 【分析】(1)求出点P坐标,再根据三角形面积公式进行计算即可; (2)当S=4时求出点P的纵坐标,进而确定其横坐标; (3)根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案. 【解答】解:(1)把点P的横坐标为2代入得,y=﹣2+5=3, ∴点P(2,3), ∴S△AOP=×4×3=6; (2)当S=4时,即×4×y=4, ∴y=2, 当y=2时,即2=﹣x+5, 解得x=3, ∴点P(3,2); (3)由题意得, S=OA•y=2y=2(﹣x+5)=﹣2x+10, 当y>0时,即0<x<5时,S=2(﹣x+5)=﹣2x+10, ∴S关于x的函数解析式为S=﹣2x+10(0<x<5),画出的图象如图所示. 25如图,为了测量某建筑物CD的高度,在地面上取A,B两点,使A、B、D三点在同一条直线上,拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°,小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°,且AB=10m.求建筑物CD的高度. (拉姆和小明同学的身高忽略不计.结果精确到0.1m,≈1.732) 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题. 【专题】解直角三角形及其应用;运算能力;推理能力. 【答案】约为13.7m. 【分析】连接AC、BC,由锐角三角函数定义求出BD=CD,AD=CD,再由AB=AD﹣BD,即可求解. 【解答】解:连接AC、BC,如图所示: 由题意得:∠A=30°,∠DBC=45°,AB=10m, 在Rt△BDC中,tan∠DBC==tan45°=1, ∴BD=CD, 在Rt△ACD中,tan∠DAC==tan30°=, ∴AD=CD, ∴AB=AD﹣BD=CD﹣CD=10(m), 解得:CD=5+5≈13.7(m), 答:建筑物CD的高度约为13.7m. 26如图,AB是⊙O的直径,OC是半径,延长OC至点D.连接AD,AC,BC.使∠CAD=∠B. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若AD=4,tan∠CAD=,求BC的长. 【考点】圆周角定理;切线的判定与性质;解直角三角形. 【专题】与圆有关的位置关系;解直角三角形及其应用;推理能力. 【答案】(1)证明见解析过程;(2). 【分析】(1)根据AB是⊙O的直径得出∠B+∠BAC=90°,等量代换得到∠CAD+∠BAC=90°,即∠BAD=90°,AD⊥OA,即可判定AD是⊙O的切线; (2)过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M,根据锐角三角函数定义求出DM=2,由等边对等角得出∠OAC=∠OCA,由平行线的性质得出∠M=∠OAC,再根据对顶角相等得出∠DCM=∠M,即得DC=DM=2,根据勾股定理求出OA=3,AB=6,最后根据勾股定理求解即可. 【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠B+∠BAC=90°, ∵∠CAD=∠B, ∴∠CAD+∠BAC=90°, 即∠BAD=90°, ∴AD⊥OA, ∴AD是⊙O的切线; (2)解:过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M, ∵tan∠CAD==,AD=4, ∴DM=2, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵AD⊥OA,DM⊥AD, ∴OA∥DM, ∴∠M=∠OAC, ∵∠OCA=∠DCM, ∴∠DCM=∠M, ∴DC=DM=2, 在Rt△OAD中,OA2+AD2=OD2, 即OA2+42=(OC+2)2=(OA+2)2, ∴OA=3, ∴AB=6, ∵∠CAD=∠B,tan∠CAD=, ∴tanB=tan∠CAD==, ∴BC=2AC, 在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2, ∴62=5AC2, ∴AC=, ∴BC=. 27在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点.与y轴交于点C.且点A的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(0,5). (1)求该抛物线的解析式; (2)如图(甲).若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标; (3)图(乙)中,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】二次函数综合题. 【专题】数形结合;分类讨论;待定系数法;函数的综合应用;多边形与平行四边形;几何直观;应用意识. 【答案】(1)y=﹣x2+4x+5; (2)P(,); (3)存在,M的坐标为:(3,8)或(﹣3,﹣16)或(7,﹣16). 【分析】(1)将A的坐标(﹣1,0),点C的坐(0,5)代入y=﹣x2+bx+c,即可得抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5; (2)过P作PD⊥x轴于D,交BC于Q,过P作PH⊥BC于H,由y=﹣x2+4x+5可得B(5,0),故OB=OC,△BOC是等腰直角三角形,可证明△PHQ是等腰直角三角形,即知PH=,当PQ最大时,PH最大,设直线BC解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入得直线BC解析式为y=﹣x+5,设P(m,﹣m2+4m+5),(0<m<5),则Q(m,﹣m+5),PQ=﹣(m﹣)2+,故当m=时,PH最大,即点P到直线BC的距离最大,此时P(,); (3)抛物线y=﹣x2+4x+5对称轴为直线x=2,设M(s,﹣s2+4s+5),N(2,t),而B(5,0),C(0,5),①以MN、BC为对角线,则MN、BC的中点重合,可列方程组,即可解得M(3,8),②以MB、NC为对角线,则MB、NC的中点重合,同理可得,解得M(﹣3,﹣16),③以MC、NB为对角线,则MC、NB中点重合,则,解得M(7,﹣16). 【解答】解:(1)将A的坐标(﹣1,0),点C的坐(0,5)代入y=﹣x2+bx+c得: ,解得, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5; (2)过P作PD⊥x轴于D,交BC于Q,过P作PH⊥BC于H,如图: 在y=﹣x2+4x+5中,令y=0得﹣x2+4x+5=0, 解得x=5或x=﹣1, ∴B(5,0), ∴OB=OC,△BOC是等腰直角三角形, ∴∠CBO=45°, ∵PD⊥x轴, ∴∠BQD=45°=∠PQH, ∴△PHQ是等腰直角三角形, ∴PH=, ∴当PQ最大时,PH最大, 设直线BC解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入得0=5k+5, ∴k=﹣1, ∴直线BC解析式为y=﹣x+5, 设P(m,﹣m2+4m+5),(0<m<5),则Q(m,﹣m+5), ∴PQ=(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)=﹣m2+5m=﹣(m﹣)2+, ∵a=﹣1<0, ∴当m=时,PQ最大为, ∴m=时,PH最大,即点P到直线BC的距离最大,此时P(,); (3)存在,理由如下: 抛物线y=﹣x2+4x+5对称轴为直线x=2, 设M(s,﹣s2+4s+5),N(2,t),而B(5,0),C(0,5), ①以MN、BC为对角线,则MN、BC的中点重合,如图: ∴,解得, ∴M(3,8), ②以MB、NC为对角线,则MB、NC的中点重合,如图: ∴,解得, ∴M(﹣3,﹣16), ③以MC、NB为对角线,则MC、NB中点重合,如图: ,解得, ∴M(7,﹣16); 综上所述,M的坐标为:(3,8)或(﹣3,﹣16)或(7,﹣16).- 配套讲稿:
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