2016年高考文科数学陕西卷试题与答案.docx

2016年普通高等学校招生全国统一考试【陕西省】
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2}
2.设复数z满足z+i=3-i,则z=(　　)
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)

A.y=2sin2x-π6 B.y=2sin2x-π3
C.y=2sinx+π6 D.y=2sinx+π3
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
A.12π B.323π C.8π D.4π
5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(　　)
A.12 B.1 C.32 D.2
6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)
A.-43 B.-34 C.3 D.2
7.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(　　)

A.20π B.24π C.28π D.32π
8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A.710 B.58 C.38 D.310
9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=(　　)

A.7 B.12 C.17 D.34
10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=1x
11.函数f(x)=cos 2x+6cosπ2-x的最大值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1mxi=(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
　　本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　. 
14.若x,y满足约束条件x-y+1≥0,x+y-3≥0,x-3≤0,则z=x-2y的最小值为　　　　. 
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=　　　　. 
16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是　　　　. 
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

18.(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.

19.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.
(Ⅰ)证明:AC⊥HD';
(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22,求五棱锥D'-ABCFE的体积.

20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时, f(x)>0,求a的取值范围.

21.(本小题满分12分)
已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:3<k<2.

　　请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.

23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是x=tcosα,y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一. 选择题
（1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A
(5)【答案】D (6) 【答案】A (7) 【答案】C (8) 【答案】B
(9)【答案】C (10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B
二．填空题
(13)【答案】 (14)【答案】 （15）【答案】 （16）【答案】1和3
三、解答题
（17）(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求，，从而求得；（Ⅱ）根据已知条件求，再求数列的前10项和.
试题解析：(Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有，解得，
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
当n=1,2,3时，；
当n=4,5时，；
当n=6,7,8时，；
当n=9,10时，，
所以数列的前10项和为.
考点：等茶数列的性质，数列的求和.
【结束】
（18）(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）由求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算公式求解.
【解析】
试题分析：
试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为，
故P(A)的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由题所求分布列为：
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
考点：样本的频率、平均值的计算.
【结束】
（19）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证再证（Ⅱ）证明再证平面最后呢五棱锥体积.
试题解析：（I）由已知得，
又由得，故
由此得，所以.
（II）由得
由得
所以
于是故
由（I）知，又，
所以平面于是
又由，所以，平面
又由得
五边形的面积
所以五棱锥体积
考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.
【结束】
（20）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求，，，由直线方程得点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
令，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
，
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
考点：导数的几何意义，函数的单调性.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.
试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，
又，因此直线的方程为.
将代入得，
解得或，所以.
因此的面积.
（2） 将直线的方程代入得
.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得.
由得，即.
设，则是的零点，，
所以在单调递增，又，
因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.
试题解析：（I）因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即

考点：三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．
试题解析：（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，
所以的斜率为或.
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时，；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，从而
，
因此
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
【结束】

一、选择题
1.D　由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故选D.
2.C　z=3-2i,所以z=3+2i,故选C.
3.A　由题图可知A=2,T2=π3--π6=π2,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点π3,2,所以2sin2×π3+φ=2,所以2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,即φ=2kπ-π6,k∈Z,当k=0时,φ=-π6,所以y=2sin2x-π6,故选A.
4.A　设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.
设球的半径为R,则2R=3a,即R=3,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A.
5.D　由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=kx(k>0)得k=1×2=2,故选D.
6.A　由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得|a×1+4-1|a2+1=1,解得a=-43,故选A.
易错警示　圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8).
7.C　由三视图知圆锥的高为23,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为12×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,
圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.
8.B　行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,故选B.
9.C　执行程序框图,输入a为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C.
10.D　函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D.
易错警示　利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
11.B　f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sinx-322+112,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.
思路分析　利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cosπ2-x转化为关于sin x的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1].
12.B　由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以∑i=1mxi=m,故选B.
疑难突破　关于直线x=1对称的两点横坐标之和为2,由题意得出f(x)与y=|x2-2x-3|的图象均关于直线x=1对称是解题的关键.
二、填空题
13.答案　-6
解析　因为a∥b,所以m3=4-2,解得m=-6.
易错警示　容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
14.答案　-5
解析　由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.

15.答案　2113
解析　由cos C=513,0<C<π,得sin C=1213.
由cos A=45,0<A<π,得sin A=35.
所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+sin Ccos A=6365,
根据正弦定理得b=asinBsinA=2113.
16.答案　1和3
解析　丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.
疑难突破　先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键.