2014年广东省广州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）a（a≠0）的相反数是（　　）
A．﹣a B．a2 C．|a| D．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．5ab﹣ab=4 B．+=
C．a6÷a2=a4 D．（a2b）3=a5b3
5．（3分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2=7cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．内切 D．相交
6．（3分）计算，结果是（　　）
A．x﹣2 B．x+2 C． D．
7．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．极差是7
8．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（　　）

A． B．2 C． D．2
9．（3分）已知正比例函数y=kx（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1﹣y2＞0 D．y1﹣y2＜0
10．（3分）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是　 　°．
12．（3分）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为　 　．
13．（3分）代数式有意义时，x应满足的条件为　 　．
14．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　 　．（结果保留π）

15．（3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：　 　，该逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
16．（3分）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　 　．

三、解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）解不等式：5x﹣2≤3x，并在数轴上表示解集．

18．（9分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．

19．（10分）已知多项式A=（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2=6，求A的值．

20．（10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：
自选项目
人数
频率
立定跳远
9
0.18
三级蛙跳
12
a
一分钟跳绳
8
0.16
投掷实心球
b
0.32
推铅球
5
0.10
合计
50
1
（1）求a，b的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；
（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率．

21．（12分）已知一次函数y=kx﹣6的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）判断点B所在象限，并说明理由．

22．（12分）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．

23．（12分）如图，△ABC中，AB=AC=4，cosC=．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：=；
②求点D到BC的距离．

24．（14分）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

25．（14分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．
（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；
（2）试用x表示，并写出x的取值范围；
（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求的值．

2014年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）a（a≠0）的相反数是（　　）
A．﹣a B．a2 C．|a| D．
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【分析】直接根据相反数的定义求解．
【解答】解：a的相反数为﹣a．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数：a的相反数为﹣a，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】R5：中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键．
3．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（　　）

A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】24：网格型．
【分析】在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．
【解答】解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴tanA==．
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．5ab﹣ab=4 B．+=
C．a6÷a2=a4 D．（a2b）3=a5b3
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；6B：分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
B、原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=4ab，故A选项错误；
B、原式=，故B选项错误；
C、原式=a4，故C选项正确；
D、原式=a6b3，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．（3分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2=7cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．内切 D．相交
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
【分析】由⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=7cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=7cm，
又∵3+2＜7，
∴两圆的位置关系是外离．
故选：A．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
6．（3分）计算，结果是（　　）
A．x﹣2 B．x+2 C． D．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法；66：约分．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；44：因式分解．
【分析】首先利用平方差公式分解分子，再约去分子分母中得公因式．
【解答】解：==x+2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了约分，关键是正确把分子分解因式．
7．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．极差是7
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数；W6：极差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意可知：总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取中间两个数的平均数为中位数，则中位数为8.5；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，则这组数据的众数为9；这组数据的平均数=（7+10+9+8+7+9+9+8）÷8=8.375；一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为3．
【解答】解：A、按从小到大排列为：7，7，8，8，9，9，9，10，中位数是：（8+9）÷2=8.5，故A选项错误；
B、9出现了3次，次数最多，所以众数是9，故B选项正确；
C、平均数=（7+10+9+8+7+9+9+8）÷8=8.375，故C选项错误；
D、极差是：10﹣7=3，故D选项错误．
故选：B．
【点评】考查了中位数、众数、平均数与极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．
8．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（　　）

A． B．2 C． D．2
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；KU：勾股定理的应用；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．
【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC===，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC=．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．
9．（3分）已知正比例函数y=kx（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1﹣y2＞0 D．y1﹣y2＜0
【考点】F4：正比例函数的图象；F8：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】根据k＜0，正比例函数的函数值y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵直线y=kx的k＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0．
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了正比例函数的增减性．
10．（3分）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．
【解答】证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；

②延长BG交DE于点H，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；

③∵四边形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴=，
∴=是错误的．
故③错误；

④∵DC∥EF，
∴∠GDO=∠OEF，
∵∠GOD=∠FOE，
∴△OGD∽△OFE，
∴=（）2=（）2=，
∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．
故④正确；

故选：B．

【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是　140　°．
【考点】K8：三角形的外角性质．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=80°，
∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．
故答案为：140．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
12．（3分）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为　10　．
【考点】KF：角平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=10．
故答案为：10．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
13．（3分）代数式有意义时，x应满足的条件为　x≠±1　．
【考点】62：分式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据分式有意义，分母等于0列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，|x|﹣1≠0，
解得x≠±1．
故答案为：x≠±1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
14．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　24π　．（结果保留π）

【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，即可得出表面积．
【解答】解：∵如图所示可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6，
∴圆锥的母线为：5，
∴根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×3×5=15π，
底面圆的面积为：πr2=9π，
∴该几何体的表面积为24π．
故答案为：24π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
15．（3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：　如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等　，该逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【解答】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．
【点评】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．
16．（3分）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　　．
【考点】AB：根与系数的关系；H7：二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；45：判别式法．
【分析】由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．
【解答】解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，
则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，
∴m≤，
∵x1（x2+x1）+x22
=（x2+x1）2﹣x1x2
=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
=3m2﹣3m+2
=3（m2﹣m+﹣）+2
=3（m﹣）2 +；
∴当m=时，有最小值；
∵＜，
∴m=成立；
∴最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

三、解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）解不等式：5x﹣2≤3x，并在数轴上表示解集．

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：5x﹣2≤3x，
移项，得5x﹣3x≤2，
合并同类项，得2x≤2，
系数化成1，x≤1，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．
18．（9分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．

【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，AB∥CD，推出∠EAO=∠FCO，证出△AOE≌△COF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是根据平行四边形的性质得出AO=CO．
19．（10分）已知多项式A=（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2=6，求A的值．
【考点】21：平方根；4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）先算乘法，再合并同类项即可；
（2）求出x+1的值，再整体代入求出即可．
【解答】解：（1）A=（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3
=x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2﹣3
=3x+3；

（2）∵（x+1）2=6，
∴x+1=±，
∴A=3x+3
=3（x+1）
=±3．
∴A=±3．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简和计算能力，题目比较好．
20．（10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：
自选项目
人数
频率
立定跳远
9
0.18
三级蛙跳
12
a
一分钟跳绳
8
0.16
投掷实心球
b
0.32
推铅球
5
0.10
合计
50
1
（1）求a，b的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；
（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率．
【考点】!6：简单的枚举法；VB：扇形统计图；X7：游戏公平性．菁优网版权所有
【专题】27：图表型．
【分析】（1）根据表格求出a与b的值即可；
（2）根据表示做出扇形统计图，求出“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）根据题意得：a=1﹣（0.18+0.16+0.32+0.10）=0.24；
b=×0.32=16；

（2）作出扇形统计图，如图所示：

根据题意得：360°×0.16=57.6°；

（3）男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，
由枚举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中DE为女女组合，
∴抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：．
【点评】此题考查了游戏公平性，扇形统计图，列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．（12分）已知一次函数y=kx﹣6的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）判断点B所在象限，并说明理由．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）先把x=2代入反比例函数解析式得到y=﹣k，则A点坐标表示为（2，﹣k），再把A（2，﹣k）代入y=kx﹣6可计算出k，从而得到A点坐标；
（2）由（1）得到一次函数与反比例函数的解析式分别为y=2x﹣6，y=﹣，根据反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组即可得到B点坐标．
【解答】解：（1）把x=2代入y=﹣，
得：y=﹣k，
把A（2，﹣k）代入y=kx﹣6，
得：2k﹣6=﹣k，
解得k=2，
所以一次函数与反比例函数的解析式分别为y=2x﹣6，y=﹣，
则A点坐标为（2，﹣2）；

（2）B点在第四象限．理由如下：
一次函数与反比例函数的解析式分别为y=2x﹣6，y=﹣，
解方程组，
得： 或 ，
所以B点坐标为（1，﹣4），
所以B点在第四象限．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
22．（12分）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】127：行程问题．
【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可；
【解答】解：（1）根据题意得：
400×1.3=520（千米），
答：普通列车的行驶路程是520千米；

（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：
﹣=3，
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5=300（千米/时），
答：高铁的平均速度是300千米/时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．
23．（12分）如图，△ABC中，AB=AC=4，cosC=．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：=；
②求点D到BC的距离．

【考点】KU：勾股定理的应用；N3：作图—复杂作图；SA：相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】13：作图题；14：证明题．
【分析】（1）先作出AC的中垂线，再画圆．
（2）边接AE，AE是BC的中垂线，∠DAE=∠CAE，得出=；
（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．
【解答】解：（1）如图

（2）如图，连接AE，

∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴=；

（3）如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，

∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC=4，cosC=．
∴EC=BE=4，
∴BC=8，
∵点A、D、E、C共圆
∴∠ADE+∠C=180°，
又∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BDE=∠C，
∴△BDE∽△BCA，
∴=，即BD•BA=BE•BC
∴BD×4=4×8
∴BD=，
∵∠B=∠C
∴cos∠C=cos∠B=，
∴=，
∴BM=，
∴DM===．
【点评】本题主要考查了复杂的作图，相似三角形以及勾股定理的应用，解题的关键是运用△BDE∽△BCA求出线段的长．
24．（14分）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题；41：待定系数法．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，
∴C（，﹣）．

（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．

∵P′是抛物线与y轴的交点，
∴OP′=2，
∴MP′==，
∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，﹣2），
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．

（3）方法一：
存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），

又∵C（，﹣）
∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），
∵AB=5，
∴P″（﹣2﹣t，﹣2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
，
解得
∴直线y=x+t+，
当P″、A、C″在一条直线上时，周长最小，
∴﹣+t+=0
∴t=．
故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
方法二：
∵AB、P′C′是定值，
∴A、B、P′、C′所构成的四边形的周长最短，只需AC′+BP′最小，
①若抛物线向左平移，设平移t个单位，
∴C′（﹣t，﹣），P″（﹣2﹣t，﹣2），
∵四边形P″ABP′为平行四边形，
∴AP″=BP′，
AC′+BP′最短，即AC′+AP″最短，
C′关于x轴的对称点为C″（﹣t，），
C″，A，P″三点共线时，AC′+AP″最短，
KAC′=KAP″，，
∴t=．
②若抛物线向右平移，同理可得t=﹣，
∴将抛物线向左平移个单位时，A、B、P′、C′所构成的多边形周长最短．

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标，二次函数的对称性，以及距离之和最小的问题，涉及考点较多，有一定的难度．
25．（14分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．
（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；
（2）试用x表示，并写出x的取值范围；
（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求的值．

【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】152：几何综合题；16：压轴题．
【分析】（1）利用梯形中位线的性质，证明△BCF是等边三角形；然后解直角三角形求出x的值；
（2）利用相似三角形（或射影定理）求出线段EG与BE的比，然后利用=求解；
（3）依题意作出图形，当△BFE的外接圆与AD相切时，线段BE的中点O成为圆心．作辅助线，如答图3，构造一对相似三角形△OMP∽△ADH，利用比例关系列方程求出x的值，进而求出的值．
【解答】解：（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，
如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．

由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=BC．
由轴对称性质，可知BF=BC，
∴BN=BF，
∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，
∴△BFC为等边三角形．
∴CF=BC=4，∠FCB=60°，
∴∠ECF=30°．
设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=CF=2，CF⊥BE．
在Rt△CEG中，x=CE===．
∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为．

（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．

∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，
∴∠GCE=∠CBE，
又∵∠CGE=∠ECB=90°，
∴Rt△BCE∽Rt△CGE，
∴，
∴CE2=EG•BE ①
同理可得：BC2=BG•BE ②
①÷②得：==．
∴====．
∴=（0＜x≤5）．

（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，依题意画出图形，如答图3所示．
设圆心为O，半径为r，则r=BE=．
设切点为P，连接OP，则OP⊥AD，OP=r=．

过点O作梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N，
则OM为梯形ABED的中位线，∴OM=（AB+DE）=（3+5﹣x）=（8﹣x）．
过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABCH为矩形，
∴AH=BC=4，CH=AB=3，∴DH=CD﹣CH=2．
在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD===2．
∵MN∥CD，
∴∠ADH=∠OMP，又∵∠AHD=∠OPM=90°，
∴△OMP∽△ADH，
∴，即，
化简得：16﹣2x=，
两边平方后，整理得：x2+64x﹣176=0，
解得：x1=﹣32+20，x2=﹣32﹣20（舍去）
∵0＜﹣32+20＜5
∴x=﹣32+20符合题意，
∴==139﹣80．
【点评】本题是几何综合题，考查了直角梯形、相似、勾股定理、等边三角形、矩形、中位线、圆的切线、解方程、解直角三角形等知识点，考查了轴对称变换与动点型问题，涉及考点较多，有一定的难度．

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