2005年北京市中考数学试题与答案.doc

2005年北京市高级中等学校招生考试卷
第I卷（机读卷 共44分）
一. 选择题（共11个小题，每小题4分，共44分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 菱形 C. 矩形 D. 等边三角形
5. 据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市。预计今年年底，北京市污水处理能力可以达到每日1684000吨。将1684000吨用科学记数法表示为（ ）
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
6. 如图，在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距OC等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
7. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B。如果OP＝4，，那么∠AOB等于（ ）

A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）

A. ∠AEF＝∠DEC B. FA:CD＝AE:BC C. FA:AB＝FE:EC D. AB＝DC
10. 李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期。收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量（千克）
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元。用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（ ）
A. 200千克，3000元 B. 1900千克，28500元 C. 2000千克，30000元 D. 1850千克，27750元
11. 如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）

第II卷（非机读卷 共76分）
二. 填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________。
13. 不等式组的解集是____________。
14. 如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为_______
_________________。
15. 如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是____________。
16. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为____________。
三. （共3个小题，共15分）
17. （本小题满分4分） 分解因式：
解：

18. （本小题满分5分） 计算：
解
19. （本小题满分6分） 用配方法解方程
解：

四. （本题满分5分） 20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE＝2EA，CF＝2FD。 求证：∠BEC＝∠CFB

证明：

五. （本题满分6分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。

解：

六. （本题满分6分） 22. 列方程或方程组解应用题：
夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
解：

七. （本题满分7分） 23. 已知：关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当时，求a的值。
解：（1）

（2）
八. （本题满分8分） 24. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）。
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。
（1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；
（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。
①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；
②若，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。

（1）连结__________________
求证：_________＝CE
证明：
（2）解：①

②_____________（）
九. （本题满分9分） 25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解：

（2）解：

（3）解答：

参考答案
第I卷（机读卷 共44分）
一. 选择题（共11个小题，每小题4分，共44分） 1. C 2. A 3. B 4. D 5. A 6. B 7. C8. D 9. B 10. 11. A
第II卷（非机读卷 共76分）
二. 填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 12. 13. 14. 15. 5 16. 65°或115°
三. （共3个小题，共15分） 17. （本小题满分4分） 分解因式：
解：
………………1分
………………3分
………………4分
18. （本小题满分5分） 计算：
解：
………………3分
………………4分
………………5分
19. （本小题满分6分） 用配方法解方程
解：移项，得：………………1分
配方，得：………………2分
………………4分
解这个方程，得：
即………………6分
四. （本题满分5分） 20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE＝2EA，CF＝2FD。
求证：∠BEC＝∠CFB

证明：在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB＝DC
∴∠ABC＝∠DCB………………1分
∵BE＝2EA，CF＝2FD

∴BE＝CF………………2分
在△EBC和△FCB中，
………………3分
∴△EBC≌△FCB………………4分
∴∠BEC＝∠CFB………………5分
五. （本题满分6分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。

解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°
∴AC＝2AB，DB＝AB………………2分
设，则
………………3分

………………4分
解得：………………5分
（米）………………6分
答：缆绳AC的长为米。
六. （本题满分6分） 22. 列方程或方程组解应用题：
夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
解法一：设只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度
………………1分
依题意，得：………………3分
解得：………………5分
答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。
………………6分
解法二：设只将温度调高1℃后，乙种空调每天节电x度………………1分
则甲种空调每天节电度………………2分
依题意，得：………………3分
解得：………………4分
………………5分
答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。
………………6分
七. （本题满分7分） 23. 已知：关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当时，求a的值。
（1）解法一：∵关于x的方程有两个不相等的实数根

解得：，且………………1分
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为、，且
∴α、β是关于x的方程的两个不相等的实数根

∴a为任意实数 <2>
由根与系数关系得：
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁

解得：………………2分
由<1>、<2>、<3>得 a的取值范围是………………3分
解法二：同解法一，得：，且………………1分
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且抛物线的开口向上
∴当时，

解得：………………2分
由<1>、<2>得 a的取值范围是………………3分
（2）解：∵和是关于x的方程的两个不相等的实数根

………………4分
不妨设
………………5分
，即

解这个方程，得：………………6分
经检验，都是方程的根
，舍去
为所求………………7分
八. （本题满分8分） 24. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）。
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。
（1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；
（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。
①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；
②若，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。

（1）连结AE
求证：AE＝CE………………1分
证法一：如图3，连结OD

∵∠ABC＝90°，CB的延长线交⊙O于点E
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
∵D是AC的中点，O是AE的中点

∴AE＝CE………………3分
证法二：如图4，连结BD

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
∵D是AC的中点
∴AD＝CD＝BD
∴∠1＝∠2
∵四边形AEBD内接于⊙O
∴∠1＝∠DAE
∴∠2＝∠DAE
∴AE＝CE………………3分
证法三：如图5，连结DE

同证法一，得AE是⊙O的直径
∴∠ADE＝90°
∵D是AC的中点
∴DE是线段AC的垂直平分线
∴AE＝CE………………3分
（2）①解法一：根据题意画出图形，如图6，连结DE。

∵EF是⊙O的切线
∴∠3＝∠4，且

设，则

∵AE是⊙O的直径
∴∠AEF＝90°
在Rt△AEF中，

………………6分
解法二：根据题意画出图形，如图7，连结DE。

∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线
∴∠ADE＝∠AEF＝90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF

设，则

在Rt△CDE中

………………6分
②（）………………8分
九. （本题满分9分）
25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点

………………1分
解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线

………………1分
（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为（）
①当时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切
∴点O为切点………………2分
∴D'O⊥OD
∴∠DOA＝∠D'OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形
………………3分
∴点D的纵坐标为

∴抛物线的解析式为………………4分
②当时，
同理可得：
抛物线的解析式为………………5分
综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或
（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线上时（如图2）

∵点B是⊙D的优弧上的一点

过点P作PE⊥x轴于点E

由解得：（舍去）
∴点P的坐标为………………7分
②当点P在抛物线上时（如图3）

同理可得，
由解得：（舍去）
∴点P的坐标为………………9分
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为
或