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2012年湖南省邵阳市中考数学试卷
一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
2．（3分）如图所示，已知点O是直线AB上一点，∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．70° C．110° D．130°
3．（3分）分式方程的解是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．（3分）把2a2﹣4a因式分解的最终结果是（　　）
A．2a（a﹣2） B．2（a2﹣2a） C．a（2a﹣4） D．（a﹣2）（a+2）
5．（3分）在实验操作技能检测中，学生通过随机抽取卡片的方式确定检测题目，现将分别印有题号“①、②、③、④”的4张卡片（卡片的形状、大小一样，质地相同）放入盒中，小明同学从中随机抽取一张卡片，题号是“①”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图所示，圆柱体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）2011年，某县通过推广超级稻“种三产四”丰产工程，粮食产量平均每亩增产167.1公斤，为全县农户新增纯收入8063.6万元，其中8063.6万元可以用科学记数法表示为（　　）
A．8063.6×104元 B．80.636×106元
C．8.0636×107元 D．0.80636×108元
8．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是（　　）

A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形
二．填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：|﹣3|＝　 　．
10．（3分）3月12日某班50名学生到郊外植树，平均每人植树a棵，则该班一共植树　 　棵．
11．（3分）某地5月1日至7日的每日最高气温如图所示，这组数据的极差是　 　．

12．（3分）已知点（1，﹣2）在反比例函数y＝（k常数，k≠0）的图象上，则k的值是　 　．
13．（3分）不等式4﹣2x＞0的解集是　 　．
14．（3分）如图所示，直线AB是⊙O的切线，切点为A，OB＝5，AB＝4，则OA的长是　 　．

15．（3分）如图所示，在正方形网格中（网格中每个小正方形的边长均为1），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，得到△OCD，则∠AOC的度数是　 　．

16．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是　 　．

三．解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝2012．
19．（8分）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：AD∥BC．

四、应用题（本大题共3个小题，第20、21题每小题8分，第22题10分，共26分）
20．（8分）为配合全市“倡导低碳绿色生活，推进城镇节水减排”的宣传活动，某校数学课外活动小组把用水习惯分为“很注意解决用水（A）”、“较注意解决用水（B）”、“不注意解决用水（C）”三类情况，设计了调查问卷在中学生中开展调查，并将调查结果分析整理后，制成如图所示的两个统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）这次调查问卷调查共调查了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，“B”所对应的扇形的圆心角度数是多少？
（3）如果设该校共有学生3000人，试估计“不注意解决用水”的学生人数．
21．（8分）2012年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划﹣﹣“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量为60克．
（1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？
（2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
22．（10分）某村为方便村民夜间出行，计划在村内公路旁安装如图所示的路灯，已知路灯灯臂AB的长为1.2m，灯臂AB与灯柱BC所成的角（∠ABC）的大小为105°，要使路灯A与路面的距离AD为7m，试确定灯柱BC的高度．（结果保留两位有效数字）

五、探究题（本大题10分）
23．（10分）如图所示，已知抛物线C0的解析式为y＝x2﹣2x
（1）求抛物线C0的顶点坐标；
（2）将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、∁n（n为正整数）
①求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标；
②试确定抛物线∁n的解析式．（直接写出答案，不需要解题过程）

六、综合题（本大题12分）
24．（12分）如图所示，直线y＝与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM＝∠BAC
①求证：△PBC∽△MPA；
②是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2012年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据题意画出数轴，然后把已知数据在数轴对应点找出，然后利用数形结合的思想便可直接解答．
【解答】解：由数轴上各数的位置可知＞1＞0＞﹣1．
故选：D．

【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键是根据题意画出数轴，由数轴上右边的数总比左边的大的特点解答．
2．【分析】直接根据两角互补的定义进行解答即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
【点评】本题考查的是余角和补角，熟知两角互补的定义是解答此题的关键．
3．【分析】方程两边乘最简公分母x，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘x，得
2+x﹣1＝2x，
解得x＝1．
检验：把x＝1代入x＝1≠0．
∴原方程的解为：x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
4．【分析】2a2﹣4a中两项的公因式是2a，提取公因式即可分解．
【解答】解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．
5．【分析】根据概率公式用1除以卡片总数4即为所求的答案．
【解答】解：因为小明同学从中随机抽取一张卡片共有4种取法，
所以题号是“①”的概率是，
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．【分析】根据俯视图是从上面看到的视图进而得出答案即可．
【解答】解：竖直放置的圆柱体，从上面看是圆，
所以，俯视图是圆．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握圆柱体的三视图是解题的关键．
7．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：8063.6万＝8063 6000＝8.0636×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．【分析】首先根据三角形中位线定理证得四边形AFDE是平行四边形，然后由等腰三角形的性质证得该平行四边形的邻边相等．
【解答】解：∵边BC、CA的中点分别是D、E，
∴线段DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，DE∥AC．
同理，DF＝AC，DF∥AC．
又AB＝AC，∠A＜90°，
∴DE∥AF，DF∥AE，DE＝DF，
∴四边形AFDE是菱形．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
二．填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．
10．【分析】先根据平均每人植树a棵，得出50名学生植树的棵树，即可得出答案．
【解答】解：∵每人植树a棵，
∴50名学生植树50a棵，
∴该班一共植树50a棵；
故答案为：50a．
【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，列出代数式，是一道基础题．
11．【分析】由于极差是一组数据中最大值与最小值的差，所以找出最大值与最小值即可求出极差．
【解答】解：根据图象得这组数据的最大值为29，最小值为25，
故极差为29﹣25＝4（℃）．
故答案为：4℃．
【点评】此题主要考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，利用极差定义得出是解题关键．
12．【分析】将点（1，﹣2）代入反比例函数y＝（k常数，k≠0），即可得到关于k的方程，解答即可求出k的值．
【解答】解：将点（1，﹣2）代入反比例函数y＝得，
k＝xy＝1×（﹣2）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
13．【分析】根据一元一次方程的解法，移项，系数化为1即可得解．
【解答】解：移项得，﹣2x＞﹣4，
系数化为1得，x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，本题系数化为1时不等式的方向要改变．
14．【分析】根据切线的性质推知△OAB是直角三角形，然后在直角三角形OAB中由勾股定理来求OA的长度．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°．
又OB＝5，AB＝4，
∴OA＝＝＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理．解题时利用了切线的性质﹣﹣圆的切线垂直于经过切点的半径．
15．【分析】根据网格图得到OD＝OB＝2，OC＝OA＝2，∠DOB＝90°，由于△OAB绕点O按逆时针方向旋转，得到△OCD，则有OB与OD是对应边，OA与OC是对应边，根据旋转的性质得到∠COA与∠DOB都等于旋转角，则∠COA＝∠DOB＝90°．
【解答】解：∵OD＝OB＝2，OC＝OA＝2，∠DOB＝90°
而△OAB绕点O按逆时针方向旋转，得到△OCD，
∴OB与OD是对应边，OA与OC是对应边，
∴∠COA＝∠DOB＝90°．
故答案为90°．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．
16．【分析】由ED是BC的垂直平分线，可得BE＝CE，BD＝CD，又由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，易证得△AEC是等边三角形，即可得AE＝EC＝AC＝BE．
【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，BD＝CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠ECB＝∠B＝30°，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴AE＝EC＝AC，
∴AE＝AC＝EC＝BE．
∴图中两条相等的线段是：BE＝CE＝AC＝BE或BD＝CD．
故答案为：此题答案不唯一，如BD＝CD等．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
17．【分析】根据乘方的意义、二次根式的化简、负整数次幂的运算法则计算．
【解答】解：原式＝﹣4﹣3×
＝﹣4﹣1
＝﹣5．
【点评】本题考查了实数运算，解题的关键是注意掌握有关运算法则．
18．【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将x的值代入化简后的式子中计算，即可求出值．
【解答】解：原式＝x2+x﹣（x2﹣1）＝x2+x﹣x2+1＝x+1，
当x＝2012时，原式＝2012+1＝2013．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．【分析】根据SAS证△AOD≌△COB，推出∠A＝∠C，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明：∵AC、BD交于点O，
∴∠AOD＝∠COB，
在△AOD和△COB中，
∵
∴△AOD≌△COB（SAS）
∴∠A＝∠C，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
四、应用题（本大题共3个小题，第20、21题每小题8分，第22题10分，共26分）
20．【分析】（1）根据A组有150人，占总人数的50%，据此即可求得总人数；
（2）360°乘以B组所占的比例即可求得圆心角；
（3）用3000人乘以C组所占的比例即可求解．
【解答】解：（1）150÷50%＝300（名）．
答：这次调查问卷调查共调查了300名学生．

（2）360°×30%＝108°．
答：在扇形统计图中，“B”所对应的扇形的圆心角度数是108°．

（3）3000×（1﹣50%﹣30%）＝600（人）．
答：估计该校“不注意解决用水”的学生人数为600人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】（1）鸡蛋中蛋白质的质量＝鸡蛋的重量×鸡蛋的蛋白质含量就可以直接求出答案；
（2）设每份营养餐中牛奶的质量为x克，则饼干的质量为（300﹣60﹣x）克，根据题意列出方程求出其解就可以
【解答】解：（1）由题意得：
60×15%＝9（克）．
答：一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9克．

（2）设每份营养餐中牛奶的质量为x克，则饼干的质量为（300﹣60﹣x）克，由题意得：
5%x+12.5%（300﹣60﹣x）+60×15%＝300×8%
解得：x＝200．
故饼干的质量为：300﹣60﹣x＝40（克）．
答：每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为200克和40克．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，根据各种食品的蛋白质的和加起来等于总蛋白质就可以建立方程，在解答时确定等量关系是关键．
22．【分析】如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，则四边形BCDE为矩形，根据矩形的性质和解直角三角形求解即可．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，则四边形BCDE为矩形．
∴DE＝BC，∠CBE＝90°．
∵∠ABC＝105°，∴∠ABE＝15°．
在△ABE中，AB＝1.2，∠ABE＝15°，
∴sin15°＝＝，
∴AE＝1.2×sin15°≈1.2×0.26＝0.312
∴BC＝DE＝AD﹣AE＝7﹣0.312＝6.688≈6.7．
答：灯柱BC的高度约为6.7m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，将求灯柱高的问题转化为解直角三角形的问题解答．
五、探究题（本大题10分）
23．【分析】（1）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后即可得到顶点坐标；
（2）①先求出原抛物线与x轴的交点坐标，再根据向右平移横坐标加，纵坐标不变求出交点A1、A2的坐标即可；
②根据原抛物线的顶点坐标求出抛物线∁n的顶点坐标，然后利用顶点式解析式的形式写出即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线C0的顶点坐标为（1，﹣1）；

（2）①当y＝0时，则有x2﹣2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，
则O（0，0），A1（2，0），
∵将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，
∴此时抛物线C0与x轴的交点O（0，0）、A1（2，0）也随之向右平移2个单位，
∴抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：A1（2，0）、A2（4，0）；
②抛物线∁n的顶点坐标为（1+2n，﹣1），
则抛物线∁n的解析式为：y＝[x﹣（1+2n）]2﹣1，
即y＝x2﹣（4n+2）x+4n2+4n．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的坐标的移动解答图象的移动是解题的关键，平移规律为“左加右减，上加下减”．
六、综合题（本大题12分）
24．【分析】（1）A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；
（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC＝BA，则∠BCP＝∠MAP，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA＝∠BPC，从而证得两个三角形相似；
②首先求得B的坐标，当∠PBM＝90°时，则有△BPO∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标；
当∠PMB＝90°时，则∠PMA═90°时，BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．
【解答】（1）解：∵A（4，0），且点C与点A关于y轴对称，∴C（﹣4，0）．

（2）①证明：∵∠BPM＝∠BAC，且∠PMA＝∠BPM+∠PBM，∠BPC＝∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA＝∠BPC．
又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM＝∠BAC，
∴∠BCP＝∠MAP．
∴△PBC∽△MPA．
②存在．
解：∵直线y＝﹣x+b与x轴相交于点A（4，0），
∴把A（4，0）代入y＝﹣x+b，得：b＝3．∴y＝﹣x+3．∴B（0，3）．
当∠PBM＝90°时，则有△BPO∽△ABO
∴＝，即＝．∴PO＝ 即：P1（﹣，0）．
当∠PMB＝90°时，则∠PMA═90°（如图）．
∴∠PAM+∠MPA＝90°．
∵∠BPM＝∠BAC，
∴∠BPM+∠APM＝90°．
∴BP⊥AC．
∵过点B只有一条直线与AC垂直，
∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．
∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（﹣，0），P2（0，0）．

【点评】本题是一次函数与相似三角形的性质与判定的综合应用，正确证明△PBC∽△MPA是关键．
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