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2011年广西柳州市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1．（3分）在0，﹣2，3，四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣2 C．3 D．
2．（3分）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（　　）

A．∠2和∠3 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠1和∠2
3．（3分）方程x2﹣4＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝±2 D．x＝±4
4．（3分）如图的三个图形是某几何体的三视图，则该几何体是（　　）

A．正方体 B．圆柱体 C．圆锥体 D．球体
5．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
6．（3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB＝80°，则∠ACB的大小（　　）

A．40° B．60° C．80° D．100°
7．（3分）如图，阴影部分是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，则梯形另外两个底角的度数分别是（　　）

A．100°、115° B．100°、65° C．80°、115° D．80°、65°
8．（3分）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．正六边形
9．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，1）向左平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（0，1） C．（﹣4，1） D．（﹣4，﹣1）
10．（3分）袋子中装有2个红球和4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球，则这个球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（　　）

A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
12．（3分）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（　　）
A．17人 B．21人 C．25人 D．37人
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试题卷上答题无效．）
13．（3分）计算：2×（﹣3）＝　 　．
14．（3分）单项式3x2y3的系数是　 　．
15．（3分）把方程2x+y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，得y＝　 　．
16．（3分）不等式组的解集是　 　．
17．（3分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离　 　米．

18．（3分）如图，⊙O的半径为5，直径AB⊥CD，以B为圆心，BC长为半径作，则与围成的新月形ACDE（阴影部分）的面积为　 　．

三、解答题（本大题8小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．在草稿纸、试题卷上答题无效．）
19．（6分）化简：2a（a﹣）+a．
20．（6分）如图，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：△AFB≌△AEC．

21．（6分）某班“环卫小组”为了宣传环保的重要性，随机调查了本班10名同学的家庭在同一天内丢弃垃圾的情况．经统计，丢垃圾的质量如下（单位：千克）：
2 3 3 4 4 3 5 3 4 5
根据上述数据，回答下列问题：
（1）写出上述10个数据的中位数、众数；
（2）若这个班共有50名同学，请你根据上述数据的平均数，估算这50个家庭在这一天丢弃垃圾的质量．
22．（8分）在学习了解直角三角形的有关知识后，一学习小组到操场测量学校旗杆的高度．如图，在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE的大小为30°，量得仪器的高CD为1.5米，测点D到旗杆的水平距离BD为18米，请你根据上述数据计算旗杆AB的高度（结果精确到0.1米；参考数据≈1.73）．

23．（8分）某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等．
（1）求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？
24．（10分）如图，直线y＝kx+k（k≠0）与双曲线y＝在第一象限内相交于点M，与x轴交于点A．
（1）求m的取值范围和点A的坐标；
（2）若点B的坐标为（3，0），AM＝5，S△ABM＝8，求双曲线的函数表达式．

25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．

26．（12分）如图，一次函数y＝﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

2011年广西柳州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1．【分析】根据实数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解：∵在这四个数中3＞0，＞0，﹣2＜0，
∴﹣2最小．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，即正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．【分析】两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．
【解答】解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠2和∠3是对顶角，正确；
B、∠1和∠3是同旁内角，错误；
C、∠1和∠4是同位角，错误；
D、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．
故选：A．
【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
3．【分析】方程变形为x2＝4，再把方程两边直接开方得到x＝±2．
【解答】解：x2＝4，
∴x＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2＝a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．
4．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体，俯视图为圆就是圆锥．
5．【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．
6．【分析】认真观察图形，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得到答案．
【解答】解：∵∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理；应用圆周角定理时，注意在同圆或等圆中这一条件，本题比较简单，属于基础题．
7．【分析】由梯形的性质可知：∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°，继而可求出答案．
【解答】解：由题意得：∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，∠B＝115°，
∴∠D＝80°，∠C＝65°．
故选：D．
【点评】本题考查了梯形的知识，难度不大，熟练掌握梯形的性质是关键．
8．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
【解答】解：只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
9．【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．
【解答】解：由题意可知：平移后点的横坐标为﹣2﹣2＝﹣4；纵坐标不变，
∴平移后点的坐标为（﹣4，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．
10．【分析】由袋子中装有2个红球和4个白球，随机从袋子中摸出1个球，这个球是红球的情况有2种，根据概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵袋子中装有2个红球和4个白球共6种等可能的结果，
∴这个球是红球的概率是＝．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．【分析】根据平行四边形的定义即可求解．
【解答】解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定，本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
12．【分析】设这两种实验都做对的有x人，根据九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人可列方程求解．
【解答】解：设这两种实验都做对的有x人，
（40﹣x）+（31﹣x）+x+4＝50，
x＝25．
故都做对的有25人．
故选：C．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是以人数做为等量关系列方程求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试题卷上答题无效．）
13．【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘．同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，即可得到答案．
【解答】解：2×（﹣3）＝﹣（2×3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是熟练掌握法则，正确判断符号．
14．【分析】把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．
【解答】解：3x2y3＝3•x2y3，其中数字因式为3，
则单项式的系数为3．
故答案为：3．
【点评】确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．
15．【分析】本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可．
【解答】解：把方程2x+y＝3移项得：
y＝3﹣2x，
故答案为：y＝3﹣2x．
【点评】此题考查的是方程的基本运算技能，移项，合并同类项，系数化为1等，然后合并同类项，系数化1就可用含x的式子表示y．
16．【分析】首先分别解两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，写出公共解集即可．
【解答】解：，
由①得：x＜2，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜2，
故答案为：1＜x＜2．
【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是正确解不等式，再根据口诀取出公共解集．
17．【分析】根据E、F分别是线段AB、BC中点，利用三角形中位线定理，即可求出AC的长．
【解答】解：∵E、F分别是线段AB、BC中点，
∴FE是三角形ABC的中位线，
∴FE＝AC，
∴AC＝2FE＝23×2＝46米．
故答案为：46．
【点评】此题考查学生对三角形中位线定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握三角形中位线定理，为进一步学习奠定基础．
18．【分析】连接BC、BD，由直径AB⊥CD，根据圆周角定理和垂径定理得到△BCD为等腰直角三角形，则BC＝CD＝•10＝5，新月形ACED（阴影部分）的面积＝S半圆CD﹣S弓形CED，而S弓形CED＝S扇形BCD﹣S△BCD，然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：连BC、BD，如图，
∵直径AB⊥CD，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝CD＝•10＝5，
∴S弓形CED＝S扇形BCD﹣S△BCD＝﹣×10×5＝﹣25，
∴新月形ACDE（阴影部分）的面积＝S半圆CD﹣S弓形CED＝•π•52﹣（π﹣25）＝25．
故答案为：25．

【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝（n为圆心角的度数，R为半径）．也考查了圆周角定理和垂径定理以及等腰直角三角形的性质．
三、解答题（本大题8小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．在草稿纸、试题卷上答题无效．）
19．【分析】把原式的第一个加数利用单项式乘以多项式的法则：“用单项式乘以多项式的每一项，并把所得结果相加”计算后，合并同类项即可得到结果．
【解答】解：原式＝2a2﹣a+a＝2a2．
【点评】此题考查了单项式乘以多项式的法则，以及合并同类项的法则．学生在利用单项式乘以多项式法则时注意必须用单项式乘以多项式中的每一项，不能遗漏项．
20．【分析】根据中点的定义可知AE＝AB，AF＝AC，可知AE＝AF，根据SAS即可证明△AFB≌△AEC．
【解答】证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE＝AB，AF＝AC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AFB和△AEC中，
AB＝AC，
∠A＝∠A，
AE＝AF，
∴△AFB≌△AEC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
21．【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据本班10名同学的家庭在同一天内丢弃垃圾质量的平均数，即可求出．
【解答】解：（1）将该组数据按顺序排列：2，3，3，3，3，4，4，4，5，5，
故这10个数据的中位数为：＝3.5；
这10个数据中3出现次数最大，故众数为3．
（2）这50个家庭在这一天丢弃垃圾的质量＝（2+3+3+4+4+3+5+3+4+5）÷10×50＝180（千克）．
【点评】本题考查了加权平均数、用样本估计总体及中位数的知识，难度不大，关键是读懂题意并熟练掌握中位数和众数概念．
22．【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．
【解答】解：在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，CE＝BD＝18，
∴tan∠ACE＝，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝18•tan30°＝6，
∴AB＝AE+BE＝6+1.5≈10.4+1.5＝11.9（米）．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．【分析】（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，可列方程求解．
（2）根据用1000元再购进一批文学书和科普书，得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，
根据题意，得＝，
解得x＝8．
经检验得：（x+4）x＝12×8＝96≠0，
∴x＝8是方程的根，
x+4＝12．
答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元．

（2）设购进文学书55本后还能购进y本科普书，则
8×55+12y≤1000，
解得：y≤46．
答：购进文学书55本后至多还能购进46本科普书．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出单价，根据购进的数量相等做为等量关系列方程求解．
24．【分析】（1）根据反比例函数图象的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一三象限，列出不等式求解即可；令纵坐标y等于0求出x的值，也就可以得到点A的坐标；
（2）过点M作MC⊥AB于C，根据点A、B的坐标求出AB的长度，再根据S△ABM＝8求出MC的长度，然后在Rt△ACM中利用勾股定理求出AC的长度，从而得到OC的长度，也就得到点M的坐标，然后代入反比例函数解析式求出m的值，解析式可得．
【解答】解：（1）∵y＝在第一象限内，
∴m﹣5＞0，
解得m＞5，
∵直线y＝kx+k与x轴相交于点A，
∴令y＝0，
则kx+k＝0，
即 k（x+1）＝0，
∵k≠0，
∴x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴点A的坐标（﹣1，0）；

（2）过点M作MC⊥AB于C，
∵点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝4，AO＝1，
S△ABM＝×AB×MC＝×4×MC＝8，
∴MC＝4，
又∵AM＝5，
∴AC＝3，OA＝1，
∴OC＝2，
∴点M的坐标（2，4），
把M（2，4）代入y＝得
4＝，
解得m＝13，
∴y＝．

【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，一次函数图象的性质，以及勾股定理，待定系数法求函数解析式，综合性较强，但难度不大，审清题意是解题的关键．
25．【分析】（1）如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由AB＝2BO，AB＝2BE得到BO＝BE＝CO，设BO＝BE＝CO＝x，所以OE＝2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝2BO，AB＝2BE，
∴BO＝BE＝CO，
设BO＝BE＝CO＝x，
∴OE＝2x，
在Rt△OCE中，
根据勾股定理得：OC2+CE2＝OE2，即x2+（）2＝（2x）2
∴x＝1，
∴AE＝3，∠E＝30°，
∴AD＝．

【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，同时也利用了圆周角定理及勾股定理，首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的性质、勾股定理列出方程解决问题．
26．【分析】（1）求出A和C点的坐标，并将其代入抛物线的解析式，即可求出；
（2）S四边形ABDC＝S△EDB﹣S△ECA，通过求D、B和E点的坐标，根据三角形的面积公式，求出S△EDB和S△ECA．
（3）分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，②∠PNM＝90°，③∠MPN＝90°．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A （﹣1，0），C （0，﹣4），
把A （﹣1，0），C （0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得
∴，解得，
∴y＝x2﹣x﹣4；

（2）∵y＝x2﹣x﹣4＝（ x﹣1）2﹣，
∴顶点为D（1，﹣），
设直线DC交x轴于点E，
由D（1，﹣），C （0，﹣4），
易求直线CD的解析式为y＝﹣x﹣4，
易求E（﹣3，0），B（3，0），
S△EDB＝×6×＝16，
S△ECA＝×2×4＝4，
S四边形ABDC＝S△EDB﹣S△ECA＝12；

（3）设M、N的纵坐标为a，
由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为：y＝，
则M（，a），N（，a），
①当∠PMN＝90°，MN＝a+4，PM＝﹣a，因为是等腰直角三角形，则﹣a＝a+4，则a＝﹣2，则P的横坐标为﹣，
即P点坐标为（﹣，0）；
②当∠PNM＝90°，PN＝MN，同上，a＝﹣2，则P的横坐标为＝，
即P点坐标为（，0）；
③当∠MPN＝90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝﹣a，
又PM＝PN，∴PQ⊥MN，则MN＝2PQ，即：a+4＝﹣2a，
解得：a＝﹣，
点P的横坐标为：＝＝，
即P点的坐标为（，0）．

【点评】本题考查了二次函数的综合应用，难度较大，这就需要二次函数各部分知识的熟练掌握，以便灵活运用．
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