2021年湖南省永州市中考数学真题试卷（原卷版）.doc

2021年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．﹣|﹣2021|的相反数为（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（　　）

A． B．
C． D．
3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（　　）
A．24×103 B．2.4×104 C．2.4×105 D．0.24×105
4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（　　）
A．27 B．12 C．7 D．5
5．下列计算正确的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C．＝±2 D．a2•a3＝a6
6．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（　　）
A．5 B．2 C．1 D．0
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是 　 　个．
12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：　 　．
14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是 　 　．

15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　 　．

16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 　 　．

17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝　 　．
18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（ 　 　）x+y；
（2）+＝　 　．
三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
200名学生党史知识竞赛成绩的频数表
组别
频数
频率
A组（60.5～70.5）
a
0.3
B组（70.5～80.5）
30
0.15
C组（80.5～90.5）
50
b
D组（90.5～100.5）
60
0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝　 　，b＝　 　；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 　 　组；
（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

22．（10分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF的形状，并证明．

23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？
24．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．
26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．