2010年上海市中考数学试卷及答案.doc

2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
（满分150分，考试时间100分钟） 2010-6-20
一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.下列实数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，反比例函数 y = ( k＜0 ) 图像的量支分别在（ ）
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
3.已知一元二次方程 x + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C，20°C
5.下列命题中，是真命题的为（ ）
A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似
6.已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含
二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.计算：a 3 ÷ a 2 = __________.
8.计算：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____________.
9.分解因式：a 2 ─ a b = ______________.
10.不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是____________.
11.方程 = x 的根是____________.
12.已知函数 f ( x ) = ，那么f ( ─ 1 ) = ___________.
13.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.
14.若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“ 让 更美好”中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是__________
AB
AD
15.如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量 =， =，则向量
AO
=__________.（结果用、表示）
图1

图2

图4
图3

16.如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.
17.一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____________.
18.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.
三、解答题（本大题共7题，19 ~ 22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）
19.计算：

20.解方程：─ ─ 1 = 0

21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.
（本题参考数据：sin 67.4° = ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ）
图5

22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料
数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，
对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的
人数（万人）
饮料数量（瓶）
图6
数据整理后绘成图6.

（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的__________%.
（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？
（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表一所示 若C出口的被调查人数比B出口的被
出 口
B
C
人均购买饮料数量（瓶）
3
2
表 一
调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数为多少万？

23．已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.
（1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；
（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.

图7

24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

图8

25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

图9 图10(备用) 图11(备用)

2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
（满分150分，考试时间100分钟） 2010-6-20
一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.下列实数中，是无理数的为（ C ）
A. 3.14 B. C. D.
【解析】无理数即为无限不循环小数，则选C。
2.在平面直角坐标系中，反比例函数 y = ( k＜0 ) 图像的两支分别在（B ）
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
【解析】设K=-1，则x=2时，y=，点在第四象限；当x=-2时，y= ，在第二象限，所以图像过第二、四象限，即使选B
3.已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ B ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
【解析】根据二次方程的根的判别式：，所以方程有两个不相等的实数根，所以选B
4.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ D）
A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C，20°C
【解析】中位数定义：将所有数学按从小到大顺序排列后，当数字个数为奇数时即中间那个数为中位数，当数字的个数为偶数时即中间那两个数的平均数为中位数。
众数：出现次数最多的数字即为众数
所以选择D。
5.下列命题中，是真命题的为（ D ）
A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似
【解析】两个相似三角形的要求是对应角相等，A、B、C中的类型三角形都不能保证两个三角形对应角相等，即选D。
6.已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ A ）
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含
【解析】如图所示，所以选择A

二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.计算：a 3 ÷ a 2 = ___a____.
【解析】
8.计算：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = ____x2-1________.
【解析】根据平方差公式得：( x + 1 ) ( x ─ 1 ) = x2-1_
9.分解因式：a 2 ─ a b = _____a(a-b)_________.
【解析】提取公因式a，得：
10.不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是____x>2/3___.
【解析】

11.方程 = x 的根是______x=3______.
【解析】由题意得：x>0
两边平方得：，解之得x=3或x=-2（舍去）
12.已知函数 f ( x ) = ，那么f ( ─ 1 ) = ______1/2_____.
【解析】把x=-1代入函数解析式得：
13.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是____y=2x+1__________.
【解析】直线y = 2 x ─ 4与y轴的交点坐标为（0，-4），则向上平移5个单位后交点坐标为（0,1），则所得直线方程为y = 2 x +1
14.若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“ 让 更美好”中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是____1/2______
【解析】“生活”、“城市”放入后有两种可能性，即为：生活让城市更美好、城市让生活更美好。
则组成“城市让生活更美好”的可能性占所有可能性的1/2。
AB
AD
15.如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量 =， =，则向量
.（结果用、表示）
【解析】，则，所以
图3
图4
图2

图1

16.如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __3________.
【解析】由于∠ACD =∠ABC，∠BAC =∠CAD,所以△ADC∽△ACB，即：,所以，则AB=4,所以BD=AB-AD=3
17.一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____y=100x-40___.
【解析】在0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x-40
18.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__1或5_________.
【解析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：
顺时针旋转得到点，则C=1
逆时针旋转得到点，则,

三、 解答题（本大题共7题，19 ~ 22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）
19.计算：
解：原式

20.解方程：─ ─ 1 = 0
图5
解：

∴
代入检验得符合要求
21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.
（本题参考数据：sin 67.4° = ，cos 67.4° = ，tan 67.4° = ）
（1）解：过点O作OD⊥AB，则∠AOD+∠AON=,即：sin∠AOD=cos∠AON=
即：AD=AO×=5,OD=AO×sin 67.4° =AO× =12
又沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处
所以AB∥NS,AB⊥BC,所以E点位BC的中点，且BE=DO=12
所以BC=24
（2）解：连接OB，则OE=BD=AB-AD=14-5=9
又在RT△BOE中，BE=12,
所以
即圆O的半径长为15 人数（万人）
饮料数量（瓶）
图6

22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料
数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，
对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的
数据整理后绘成图6.
（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料
的游客人数占A出口的被调查游客人数的___60____%.
（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？
（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料
的数量如表一所示 若C出口的被调查人数比B出口的被
出 口
B
C
表 一
人均购买饮料数量（瓶）
3
2
调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区
内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数
为多少万？
9万
解：（1）由图6知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人）
而总人数为：1+3+2.5+2+1.5=10（万人）
所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的
（2）购买饮料总数位：3×1+2.5×2+2×3+1.5×4=3+5+6+6=20（万瓶）
人均购买=
（3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为（x+2）万人
则有3x+2(x+2)=49
解之得x=9
所以设B出口游客人数为9万人
23．已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.
（1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；
（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.
（1）解：分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，则连接AP，即AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E，
∵AB=AD，∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD
∵AD//BC, ∴∠OBE=∠ODA, ∠OAD=OEB
∴△BOE≌△DOA
∴BE=AD（平行且相等）
∴四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD，
∴四边形ADBE为菱形
（2）设DE=2a,则CE=4a，过点D作DF⊥BC
∵∠ABC＝60°，∴∠DEF=60°, ∴∠EDF=30°, ∴EF=DE=a，则DF=，CF=CE-EF=4a-a=3a，
∴
∴DE=2a，EC=4a,CD=,构成一组勾股数，
∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC

24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

图8
（1）解：将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：

解之得：b=4，c=0
所以抛物线的表达式为：
将抛物线的表达式配方得：
所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）
（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（4-m,-n），
则四边形OAPF可以分为：三角形OFA与三角形OAP，则
= + = =20
所以=5，因为点P为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5
代入抛物线方程得m=5
25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

图9 图10(备用) 图11(备用)
（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°
∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP
∴∠EPC＝30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=
（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB＝90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即，∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4，即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似，
∴，即AF=AC，即DF=EC=2,
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似
∴，即：BC=CP=4
∴tan∠BPD=
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a
∴且
∴
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：
即：，解之得
∵△ADQ与△ABC相似
∴
∴
∴三角形ABC的周长
即：，其中x>0

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