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2015年湖南省湘西州中考数学试卷
一、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）﹣2015的绝对值是　 　．
2．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝40°，则∠2＝　 　度．

3．（4分）分解因式：x2﹣4＝　 　．
4．（4分）每年的5月31日为世界无烟日，开展无烟日活动旨在提醒世人吸烟有害健康，呼吁全世界吸烟者主动放弃吸烟，全世界每年因吸烟而引发疾病死亡的人数大约为5400000人，数据5400000人用科学记数法表示为　 　人．
5．（4分）掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别标有1，2，3，4，5，6；则出现点数为1的概率为　 　．
6．（4分）函数y＝的自变量取值范围是　 　．
7．（4分）如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为　 　．

8．（4分）如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2cm，则弦AB的长为　 　cm．

二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a+2a＝2a2 B．+＝
C．（x﹣3）2＝x2﹣9 D．（x2）3＝x6
10．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
11．（4分）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（　　）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．长方体
12．（4分）湘西土家族苗族自治州6月2日至6月8日最高气温（℃）统计如下表：
日期
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
最高气温℃
28
25
25
30
32
28
27
则这七天最高气温的中位数为（　　）
A．25℃ B．27℃ C．28℃ D．30℃
13．（4分）下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣4x+4＝0 B．x2﹣2x+5＝0 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
14．（4分）式子2+的结果精确到0.01为（可用计算器计算或笔算）（　　）
A．4.9 B．4.87 C．4.88 D．4.89
15．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
16．（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．60° C．72° D．108°
17．（4分）已知k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
18．（4分）下列说法中，正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）
19．（5分）计算：32﹣20150+tan45°．
20．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

21．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．

22．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B（1，m），C（3，n）在该函数的图象上，试比较m与n的大小．

23．（8分）某教研机构为了了解初中生课外阅读名著的现状，随机抽取了某校50名初中生进行调查，依据相关数据绘制成了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
类别
重视
一般
不重视
人数
a
15
b
（1）求表格中a，b的值；
（2）请补全统计图；
（3）若某校共有初中生2000名，请估计该校“重视课外阅读名著”的初中生人数．

24．（8分）湘西自治州风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元．
（1）请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格；
（2）该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需多少元？
25．（12分）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．
（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？
（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

26．（24分）如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

2015年湖南省湘西州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．【分析】根据相反数的意义，求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．
【解答】解：∵﹣2015的绝对值等于其相反数，
∴﹣2015的绝对值是2015；
故答案为：2015．
【点评】此题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的意义是本题的关键，解题时要细心．
2．【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补得出∠2的度数．
3．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将5400000用科学记数法表示为：5.4×106．
故答案为：5.4×106．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据概率公式知，6个数中有1个数为1，故掷一次骰子，向上一面的点数为1的概率是．
【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有1种为向上一面的点数是1，
故其概率是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
6．【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2．
故答案是：x≠2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
7．【分析】根据三角形的中位线得出EF＝BC，DE∥BC，推出△EF∽△ABC，根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
8．【分析】首先由垂径定理可知：AE＝BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE＝OE＝2，从而可求得弦AB的长．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB
在Rt△AOE中，∠OAB＝45°，
∴tan∠OAB＝，
∴AE＝OE＝2．
∴AB＝2AE＝2×2＝4．
故答案为：4cm．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．
二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．【分析】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【解答】解：A、a+2a＝2a≠2a2，故本选项错误；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故本选项错误；
D、（x2）3＝x6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
10．【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．
【解答】解：∵点A坐标为（﹣2，1），
∴点B的坐标为（2，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
11．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到主视图、左视图和俯视图完全相同的选项即可．
【解答】解：A、球的主视图、左视图与俯视图均是圆形，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意；
D、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，考查常见立体图形的三视图和学生的空间想象能力．解决本题的关键是找到几何体的三视图，掌握完全相同的含义．
12．【分析】首先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数解答即可．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列（25，25，27，28，28，30，32），处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13．【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．
【解答】解：A、x2﹣4x+4＝0，△＝16﹣16＝0有相同的根；
B、x2﹣2x+5＝0，△＝4﹣20＜0没有实数根；
C、x2﹣2x＝0，△＝4﹣0＞0有两个不等实数根；
D、x2﹣2x﹣3＝0，△＝4+12＞0有两个不等实数根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．
14．【分析】首先得出≈1.732，≈1.414，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵≈1.732，≈1.414，
∴2+≈2×1.732+1.414＝4.878≈4.88．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用计算器求数的开方运算，解题首先注意要让学生能够熟练运用计算器计算实数的四则混合运算，同时也要求学生会根据题目要求取近似值．
15．【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
16．【分析】根据∠A＝36°，AB＝AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，
∴∠1＝∠A+∠ABD＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
17．【分析】根据k、b的符号确定直线的变化趋势和与y轴的交点的位置即可．
【解答】解：∵k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣b的图象从左到右是上升的，
∵b＜0，一次函数y＝kx﹣b的图象交于y轴的正半轴，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大．
18．【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一组对边平行且另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以C选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）
19．【分析】分别进行乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后合并．
【解答】解：原式＝9﹣1+1
＝9．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
20．【分析】首先根据解一元一次不等式组的方法，求出不等式组中每个不等式的解集；然后找出每个不等式的解集的公共部分，求出不等式组的解集；最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵，
∴
∴﹣1≤x≤3，
把不等式组的解集在数轴上表示出来为：
．
【点评】（1）此题主要考查了解一元一次不等式组问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确一元一次不等式组的解法以及解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
（2）此题还考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
21．【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD＝BC，对角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵∠DEB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
22．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的性质先判定图象在一、三象限，y随x的增大而减小，根据0＜1＜3，可以确定B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，从而判定m，n的大小关系．
【解答】解：（1）因为反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，﹣2），
把x＝﹣3，y＝﹣2代入解析式可得：k＝6，
所以解析式为：y＝；
（2）∵k＝6＞0，
∴图象在一、三象限，y随x的增大而减小，
又∵0＜1＜3，
∴B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，
∴m＞n．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）由总人数结合条形统计图求出a与b的值即可；
（2）补全条形统计图，如图所示；
（3）求出“重视课外阅读名著”的初中生人数占的百分比，乘以2000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：b＝5，a＝50﹣（15+5）＝30；
（2）补全条形统计图，如图所示：

（3）根据题意得：2000×＝1200（人），
则该校“重视课外阅读名著”的初中生人数约有1200人．
【点评】此题考查了条形统计图，统计表，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
24．【分析】（1）设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元，根据若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元，列出方程组，求解即可；
（2）将（1）中的每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格代入解得即可．
【解答】解：（1）设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元，
可得：，
解得：，
答：每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格分别为30元，45元；
（2）把每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格分别为30元，45元代入，
可得：4×30+2×45＝210（元），
答：该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需210元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
25．【分析】（1）过点A作AH⊥OD于点H，可求得AH的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响；
（2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
【解答】解：（1）作AH⊥OC，易知台风中心O与A市的最近距离为AH的长度，
∵由题意得：∠HOA＝45°，OA＝60km，
∴AH＝HO＝60÷＝60km，
∵60＞50，
∴A市不会受到此台风的影响；
（2）作BG⊥OC于G，
∵由题意得：∠BOC＝30°，OB＝80km，
∴BG＝OB＝40km，
∵40＜50，
∴会受到影响，
如图：BE＝BF＝50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，
∴EG＝＝30km，
∴EF＝2EG＝60km，
∵风速为40km/h，
∴60÷40＝1.5小时，
∴影响时间约为1.5小时．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
26．【分析】（1）先由直线AB的解析式为y＝﹣x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP＝45°，设运动时间为t秒，则QA＝，PA＝3﹣t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；
（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP＝3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ＝3t﹣t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP＝FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t＝1代入即可求得点F的坐标；
（4）设运动时间为t秒，则OP＝t，BQ＝（3﹣t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y＝0时，x＝3，即A点坐标为（3，0），
当x＝0时，y＝3，即B点坐标为（0，3），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵OA＝OB＝3，∠BOA＝90°，
∴∠QAP＝45°．

如图①所示：∠PQA＝90°时，设运动时间为t秒，则QA＝，PA＝3﹣t．
在Rt△PQA中，，即：，解得：t＝1；
如图②所示：∠QPA＝90°时，设运动时间为t秒，则QA＝，PA＝3﹣t．
在Rt△PQA中，，即：，解得：t＝．
综上所述，当t＝1或t＝时，△PQA是直角三角形；
（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP＝3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ＝3t﹣t2．
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴EP＝FQ．即：3﹣t＝3t﹣t2．
解得：t1＝1，t2＝3（舍去）．
将t＝1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）．
（4）如图④所示：

设运动时间为t秒，则OP＝t，BQ＝（3﹣t）．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点M的坐标为（1，4）．
∴MB＝＝．
当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t2﹣3t+3＝0，
△＝32﹣4×1×3＜0，无解：
当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t＝．
∴当t＝时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．
【点评】本题主要考查的是二次函数、锐角三角函数、平行四边形、相似三角形的综合应用，利用含字母t的式子表示出相关线段的长度，根据图形的性质建立关于字母t的方程是解题的关键．
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