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2011年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一顶符合题意，每小题4分，共32分）
1．（4分）﹣的倒数是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．（4分）为了加快3G网络建设，我市电信运营企业将根据各自发展规划，今年预计完成3G投资2800万元左右，将2800万元用科学记数法表示为多少元时，下列记法正确的是（　　）
A．2.8×103 B．2.8×106 C．2.8×107 D．2.8×108
3．（4分）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（4分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　）

A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
5．（4分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（　　）

A．6 B．3 C． D．
6．（4分）定义一种运算☆，其规则为a☆b＝+，根据这个规则，计算2☆3的值是（　　）
A． B． C．5 D．6
7．（4分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（　　）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
8．（4分）如图为抛物线y＝ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系正确的是（　　）

A．a+b＝﹣1 B．a﹣b＝﹣1 C．b＜2a D．ac＜0
二、填空题：本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.
9．（3分）使有意义的x的取值范围是　 　．
10．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝　 　．
11．（3分）在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8，则这组数据的中位数是　 　．
12．（3分）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是　 　．

13．（3分）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是　 　．
14．（3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是　 　．

三、解答题：本大题共7小题，共78分；解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
15．（12分）（1）计算：﹣（4﹣π）0﹣6cos30°+|﹣2|；
（2）已知：如图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB＝DC．

16．（12分）（1）解方程：
（2）解不等式组．
17．（7分）（1）已知一次函数y＝x+2与反比例函数，其中一次函数y＝x+2的图象经过点P（k，5）．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．
（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．

18．（10分）如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4，
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF＝BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

19．（10分）2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了　 　名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？

20．（9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？
21．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

2011年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一顶符合题意，每小题4分，共32分）
1．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣×（）＝1，
∴﹣的倒数是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，需要掌握并熟练运用．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2800万元用科学记数法表示为2.8×107元．
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α＝∠1+30°＝75°．
故选：D．

【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4．【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．
【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，
5＜a＜10，
所以a﹣4＞0，
a﹣11＜0，
则，
＝a﹣4+11﹣a，
＝7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．
5．【分析】易得∠ABC＝60°，∠A＝30°．根据折叠的性质∠CBE＝∠D＝30°．在△BCE和△DCE中运用三角函数求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6，
∴sinA＝BC：AB＝1：2，
∴∠A＝30°，∠CBA＝60°．
根据折叠的性质知，∠CBE＝∠EBA＝∠CBA＝30°，
∴CE＝BCtan30°＝，
∴DE＝2CE＝2．
故选：C．

【点评】本题考查了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
6．【分析】由a☆b＝+，可得2☆3＝+，则可求得答案．
【解答】解：∵a☆b＝+，
∴2☆3＝+＝．
故选：A．
【点评】此题考查了新定义题型．解题的关键是理解题意，根据题意解题．
7．【分析】本题可设打x折，根据保持利润率不低于5%，可列出不等式：1200×﹣800≥800×5%，解出x的值即可得出打的折数．
【解答】解：设可打x折，则有1200×﹣800≥800×5%，
解得x≥7．
即最多打7折．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．
8．【分析】由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标（0，1）以及A的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．
【解答】解：A、由图象可知，当x＝1时，y＞0，即a+b+1＞0，所以a+b＞﹣1，故A不正确；
B、由抛物线与y轴相交于点C，可知道C点的坐标为（0，c），
又因为OC＝OA＝1，
所以C（0，1），A（﹣1，0），
把它代入y＝ax2+bx+c，
即a•（﹣1）2+b•（﹣1）+1＝0，
即a﹣b+1＝0，
所以a﹣b＝﹣1．
故B正确；
C、由图象可知，﹣＜﹣1，解得b＞2a，故C错误；
D、由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c＝1，所以ac＞0，故D错误．
故选：B．
【点评】解决本题的关键在于根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系．
二、填空题：本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.
9．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：4x﹣1≥0，
解得x≥．
故答案为：x≥．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：题目中数据共有8个，按从小到大排列后为：7、7、8、8、9、9、9、10．
故中位数是按从小到大排列后第4，第5两个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数是 ×（8+9）＝8.5．
故答案为：8.5．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
12．【分析】根据相对的面相隔一个面得到相对的2个数，相加后比较即可．
【解答】解：易得2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的2个面，
∵2+6＝8，3+4＝7，1+5＝6，
所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．【分析】所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式△＝b2﹣4ac的值大于0，然后解不等式求出k的取值范围，从而得到k的值，再计算出概率即可．
【解答】解：△＝b2﹣4ac＝1﹣4k＞0，
解得k＜，
所以，满足k的数值有：﹣2，﹣1，0共3个，
故概率为．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是14．
【解答】解：分析可得图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是14，
则m＝12×14﹣10＝158．
故答案为：158．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出阴影部分的数．
三、解答题：本大题共7小题，共78分；解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
15．【分析】（1）本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）根据全等三角形的判定定理，结合题意即可运用ASA进行全等的判断，然后即可得出结论．
【解答】（1）解：原式＝＝1；

（2）证明：∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝∠DCB，∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠CBD，
在△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
∴AB＝DC．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值及全等三角形的判断，属于基础题的综合运用，比较简单，关键还是基本知识的掌握．
16．【分析】（1）观察方程可得最简公分母是：6x，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答；
（2）先解得两个不等式的解集，再求公共部分．
【解答】（1）解：原方程两边同乘以6x，
得3（x+1）＝2x•（x+1）
整理得2x2﹣x﹣3＝0（3分）
解得x＝﹣1或
检验：把x＝﹣1代入6x＝﹣6≠0，
把x＝代入6x＝9≠0，
∴x＝﹣1或是原方程的解，
故原方程的解为x＝﹣1或（6分）
（若开始两边约去x+1由此得解可得3分）

（2）解：解不等式①得x＜2（2分）
解不等式②得x＞﹣1（14分）
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2（6分）
【点评】本题考查了分式方程和不等式组的解法，注：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）不等式组的解集的四种解法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
17．【分析】（1）①由一次函数y＝x+2的图象经过点P（k，5）可以得到5＝k+2，可以求出k，也就求出了反比例函数的表达式；
②由于点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组，解方程组即可求解；
（2）过点A作AG∥DC，然后证明四边形AGCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC＝AD，然后利用已知条件求出BG，再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG，又EF∥DC∥AG，利用平行线分线段成比例即可解决问题．
【解答】解：（1）①因一次函数y＝x+2的图象经过点P（k，5），
所以得5＝k+2，
解得k＝3，
所以反比例函数的表达式为；（3分）

②联立得方程组，
解得或，
经检验：都是原方程组的解，
故第三象限的交点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．

（2）解：过点A作AG∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，（2分）
∴GC＝AD，
∴BG＝BC﹣AD＝4﹣1＝3，
在Rt△ABG中，
AG＝＝，（4分）
∵EF∥DC∥AG，
∴，
∴EF＝＝．（6分）

【点评】此题的第一小题考查了待定系数法确定函数的解析式和函数图象的交点坐标与解析式的关系，第二小题考查了梯形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例的定理即平行四边形的性质与判定，有一定的综合性，难度不大．
18．【分析】（1）根据AB＝AC，可得∠ABC＝∠C，利用等量代换可得∠ABC＝∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．
（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．
（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD＝90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C（等边对等角），
∵∠C＝∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABC＝∠D（等量代换），
又∵∠BAE＝∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB2＝AD•AE＝（AE+ED）•AE＝（2+4）×2＝12，
∴AB＝．
（3）解：直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴＝4
BF＝BO＝，
∵AB＝，
∴BF＝BO＝AB，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AF，
∵AO是圆的半径，
∴直线FA与⊙O相切．

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．
19．【分析】（1）根据A级有50人，所占的比例是25%，据此即可求解；
（2）求得C级所占的比例，乘以总人数即可求解，进而作出条形图；
（3）利用360度，乘以C级所占的比例即可求解；
（4）总人数乘以A，B两级所占的比例的和即可求解．
【解答】解：（1）50÷25%＝200（名）；

（2）C级的人数是：200×（1﹣25%﹣60%）＝30（人）．；

（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）＝54°；

（4）80000×（25%+60%）＝68000（人）．

【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．
20．【分析】（1）设一次购买x只，才能以最低价购买，根据题意列出有关x的一元一次方程，解得即可；
（2）根据购买的数量的不同有不同的优惠方法，故本题时一个分段函数，注意自变量的取值范围；
（3）列出有关购买只数的二次函数求其最大值即可，可以采用配方法求其最值，也可以用公式求其最值．
【解答】解：（1）设一次购买x只，才能以最低价购买，
则有：0.1（x﹣10）＝20﹣16，
解这个方程得x＝50；
答一次至少买50只，才能以最低价购买．
（2）y＝．
（3）将
配方得，
∴店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元．
（也可用公式法求得）
【点评】本题考查了二次函数的应用，特别是题目中的分段函数，一定要注意自变量的取值范围．
21．【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
（2）根据直角三角形的性质，推出AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，即AC2+BC2＝25＝AB2，即可确定△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'＝2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得b＝
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
y＝x2﹣x﹣2
＝（ x2﹣3x﹣4 ）
＝（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标为 （，﹣）．

（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0）
∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2，
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴
∴，
∴m＝．

解法二：设直线C′D的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：．
∴．
∴当y＝0时，，．
∴．

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．
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