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2012年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．（﹣3）2＝﹣9 C．2﹣3＝8 D．20＝0
2．（3分）不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的中位线
3．（3分）如果两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是（　　）
A．内含 B．外离 C．相交 D．外切
4．（3分）由图中三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）已知，则a+b等于（　　）
A．3 B． C．2 D．1
6．（3分）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（3分）如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（　　）

A．3 B．4 C． D．5
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）﹣1，0，0.2，，3中正数一共有　 　个．
10．（4分）化简：6a6÷3a3＝　 　．
11．（4分）　 　．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12．（4分）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于　 　．

13．（4分）在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是　 　．（只要填写一种情况）
14．（4分）在某公益活动中，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图不完整的统计图．其中捐100元的人数占全班总人数的25%，则本次捐款的中位数是　 　元．

15．（4分）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a＝0有实数解，那么实数a的取值范围是　 　．
16．（4分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为　 　．

三、解答题（共7小题，满分64分）
17．（6分）已知：，，求的值．
18．（8分）解方程：．
19．（8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

20．（10分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．
（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；
（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．
21．（10分）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC＝2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．
（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）求线段AF的长．

22．（10分）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：

运往甲地（单位：吨）
运往乙地（单位：吨）
A
x

B

（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
23．（12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

2012年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】分别根据算术平方根、有理数的平方、负整数指数幂及0指数幂的运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、∵22＝4，∴＝2，故本选项正确；
B、（﹣3）2＝9，故本选项错误；
C、2﹣3＝＝，故本选项错误；
D、20＝1，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是算术平方根、有理数的平方、负整数指数幂及0指数幂的运算，熟知以上运算法则是解答此题的关键．
2．【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
【解答】解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的高在三角形的外部．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．
3．【分析】由两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，
又∵4+6＝10，
∴这两圆的位置关系是外切．
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
4．【分析】根据平移、旋转和轴对称的性质即可得出正确结果．
【解答】解：A、经过平移可得到上图，故A选项错误；
B、经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到上图，故B选项正确；
C、经过轴对称变换可得到上图，故C选项错误；
D、经过旋转可得到上图，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断．
5．【分析】①+②得出4a+4b＝12，方程的两边都除以4即可得出答案．
【解答】解：，
∵①+②得：4a+4b＝12，
∴a+b＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用巧妙的方法求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
6．【分析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案．
【解答】解：A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；
C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟悉其侧面展开图是解题的关键．
7．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据＝即可解答．
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③，因为△ABD∽△EFD可利用＝，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
8．【分析】设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB＝90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵点P在y＝上，
∴|xp|×|yp|＝|k|＝1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y＝﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y＝﹣上，
∴代入得：＝﹣，
解得：x＝﹣2a，
∴B的坐标是（﹣2a，），
∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB＝××3a＝．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
9．【分析】根据正、负数的定义对各数分析判断即可．
【解答】解：﹣1，0，0.2，，3中正数是0.2，，3共有3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了正负数的定义，是基础题，比较简单．
10．【分析】单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以相同字母作为结果的一个因式即可．
【解答】解：6a6÷3a3
＝（6÷3）（a6÷a3）
＝2a3．
故答案为：2a3．
【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则．
11．【分析】求出＞2，不等式的两边都减1得出﹣1＞1，不等式的两边都除以2即可得出答案．
【解答】解：∵＞2，
∴﹣1＞2﹣1，
∴﹣1＞1
∴＞．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了不等式的性质和实数的大小比较的应用，解此题的关键是求出的范围，题目比较好，难度不大．
12．【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴＝＝＝＝，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长＝++＝3×＝π．
故答案为：π
【点评】此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
13．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）
或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时，或∠B+∠C＝180°或∠A+∠D＝180°等时，四边形ABCD是平行四边形．
故此时是中心对称图象，
故答案为：AD＝BC或AB∥CD或∠B+∠C＝180°或∠A+∠D＝180°等．
【点评】本题考查了中心对称图形的定义和平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
14．【分析】根据捐款100元的人数占全班总人数的25%求得总人数，然后确定捐款20元的人数，然后确定中位数即可．
【解答】解：∵捐100元的15人占全班总人数的25%，
∴全班总人数为15÷25%＝60人，
∴捐款20元的有60﹣20﹣15﹣10＝15人，
∴中位数是第30和第31人的平均数，均为20元
∴中位数为20元．
故答案为20．
【点评】本题考查了中位数的求法，解题的关键是首先求得总人数和捐款20元的人数．
15．【分析】当a＝0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；
当a≠0时，方程是一元二次方程，只要有实数根，则应满足：△≥0，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可．
【解答】解：当a＝0时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0时，方程是一元二次方程，
若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a＝0有实数解，
则△＝[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，
解得：a≥﹣1．
故答案为：a≥﹣1．
【点评】此题考查了根的判别式，注意本题分a＝0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若有实数根则应有△≥0．
16．【分析】由于2012是4的倍数，故A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答．
【解答】解：∵2012是4的倍数，
∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∵2012÷4＝503…0
∴A2012在x轴上方，横坐标为2，
∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，
∴A2012的纵坐标为2012×＝1006．
故答案为：（2，1006）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．
三、解答题（共7小题，满分64分）
17．【分析】将原式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，将x与y的值代入，化简后即可得到原式的值．
【解答】解：
＝ …（2分）
＝，…（4分）
当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式时，应先将多项式分解因式后再约分，此外分式的化简求值题，要先将原式化为最简再代值．
18．【分析】本题的最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得：2+（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝2或﹣1，
经检验：x＝2是原方程的解．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
19．【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点．
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．
【解答】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置．

【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解．
20．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数；
（2）由（1），可求得胜与乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案．
【解答】解：（1）画树状图得：

所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432．…（5分）

（2）这个游戏不公平．
∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，
∴甲胜的概率为，
而乙胜的概率为，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．【分析】（1）求出弧AB＝弧AE＝弧EC，推出OA⊥BE，根据AG∥BE，推出OA⊥AG，根据切线的判定即可得出答案；
（2）求出等边三角形AOB，求出BD、AD长，求出∠EBC＝30°，在△FBD中，通过解直角三角形求出DF即可．
【解答】解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，
理由是：连接OA，

∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴弧AB＝弧AE＝弧EC，
∴点A是弧BE的中点，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG与⊙O相切．

（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB＝∠AOE＝∠EOC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△ABO为正三角形，
又∵AD⊥OB，OB＝1，
∴BD＝OD＝，AD＝，
又∵∠EBC＝∠EOC＝30°（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
在Rt△FBD中，FD＝BD•tan∠EBC＝BD•tan30°＝×＝，
∴AF＝AD﹣DF＝﹣＝．
答：AF的长是．
【点评】本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中．
22．【分析】（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解．
（2）根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案．
（3）首先求出x的取值范围，再利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可．
【解答】解：（1）如图所示：

运往甲地（单位：吨）
运往乙地（单位：吨）
A
x
14﹣x
B
15﹣x
x﹣1
（2）由题意，得
W＝50x+30（14﹣x）+60（15﹣x）+45（x﹣1）＝5x+1275（1≤x≤14）．

（3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，
∴，
解不等式组，得：1≤x≤14，
在W＝5x+1275中，
∵k＝5＞0，
∴W随x增大而增大，
∴当x最小为1时，W有最小值，
∴当x＝1时，A：x＝1，14﹣x＝13，
B：15﹣x＝14，x﹣1＝0，
即A向甲地运1吨，向乙地运13吨，B向甲地运14吨，向乙地运0吨才能使运费最少．
【点评】本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．
23．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2，利用二次函数的最值求出即可．
【解答】（1）证明：如图1，∵PE＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH．

（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB＝∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP＝QP，AB＝BQ．
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH＝QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8．

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM＝BC＝AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF＝∠ABP+∠BEF＝90°，
∴∠EFM＝∠ABP．
又∵∠A＝∠EMF＝90°，
∴△EFM≌△PBA（ASA）．
∴EM＝AP＝x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2．
解得，．
∴．
又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，
∴当x＝2时，S有最小值6．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
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