2017年四川省雅安市中考数学试卷（含解析版）.docx

2017年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2017•雅安）﹣2017的绝对值是（　　）
A．﹣2017 B．2017 C．1 D．﹣1
2．（3分）（2017•雅安）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．等腰梯形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．菱形
3．（3分）（2017•雅安）平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是（　　）
A．P（﹣2，﹣3），Q（3，﹣2） B．P（2，﹣3）Q（3，2）
C．P（2，3），Q（﹣4，-32） D．P（﹣2，3），Q（﹣3，﹣2）
4．（3分）（2017•雅安）下面哪幅图，可以大致刻画出苹果成熟后从树上下落过程中（落地前），速度变化的情况（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）（2017•雅安）由若干个相同的小正方体，摆成几何体的主视图和左视图均为，则最少使用小正方体的个数为（　　）
A．9 B．7 C．5 D．3
7．（3分）（2017•雅安）一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
8．（3分）（2017•雅安）下列命题中的真命题是（　　）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．（3分）（2017•雅安）一次数学检测中，有5名学生的成绩分别是86，89，78，93，90．则这5名学生成绩的平均分和中位数分别是（　　）
A．87.2，89 B．89，89 C．87.2，78 D．90，93
10．（3分）（2017•雅安）下列计算正确的是（　　）
A．3x2﹣2x2=1 B．-x3=x-x C．x÷y⋅1y=x D．x2•x3=x5
11．（3分）（2017•雅安）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．332 B．3 C．23 D．4
12．（3分）（2017•雅安）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AB⊥BC，BC⊥CD，E为AD的中点，F为线段BE上的点，且FE=13BE，则点F到边CD的距离是（　　）

A．3 B．103 C．4 D．143

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在题中的横线上）
13．（3分）（2017•雅安）细胞的直径只有1微米，即0.000 001米，用科学记数法表示0.000 001为　 　．
14．（3分）（2017•巴中）分解因式：a3﹣9a=　 　．
15．（3分）（2017•雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是　 　．
16．（3分）（2017•雅安）分别从数﹣5，﹣2，1，3中，任取两个不同的数，则所取两数的和为正数的概率为　 　．
17．（3分）（2017•雅安）定义：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y=2x+1的反函数的解析式　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（10分）（2017•雅安）（1）计算：（12）﹣3+|3﹣2|﹣（﹣2017）0．
（2）先化简，再求值：已知：（1x-2+1）÷（x+1x-2），其中x=4﹣2sin30°．

19．（9分）（2017•雅安）某校开展对学生“劳动习惯”情况的调查，为了解全校500名学生“主动做家务事”的情况，随机抽查了该校部分学生一周“主动做家务事”的次数，制成了如下的统计表和统计图．
次数
0
1
2
3
4
人数
3
6
13

12
（1）根据以上信息，求在被抽查学生中，一周“主动做家务事”3次的人数；
（2）若在被抽查学生中随机抽取1名，则抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是多少？
（3）根据样本数据，估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数．

20．（9分）（2017•雅安）如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；
（2）求出∠A1BlC1的余弦值；
（3）以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2．

21．（10分）（2017•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为4，AE=2，求菱形BEDF的面积．

22．（9分）（2017•雅安）校园超市以4元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件．
（1）设售价为x元/件时，销售量为y件．请写出y与x的函数关系式；
（2）若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少元/件？

23．（10分）（2017•雅安）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BF=2，EF=13，求⊙O的半径长．

24．（12分）（2017•雅安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．

2017年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2017•雅安）﹣2017的绝对值是（　　）
A．﹣2017 B．2017 C．1 D．﹣1
【考点】15：绝对值．
【分析】原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：﹣2017的绝对值是2017，
故选B
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．

2．（3分）（2017•雅安）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
等腰梯形
B．
平行四边形
C．
等边三角形
D．
菱形
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．（3分）（2017•雅安）平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是（　　）
A．P（﹣2，﹣3），Q（3，﹣2） B．P（2，﹣3）Q（3，2） C．P（2，3），Q（﹣4，-32） D．P（﹣2，3），Q（﹣3，﹣2）
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据两点的横纵坐标的乘积是否相等即可得到结论．
【解答】解：A、∵（﹣2）×（﹣3）≠3×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；
B、∵2×（﹣3）≠3×2，故点P，Q不在同一反比例函数图象上；
C、∵2×3=（﹣4）×（-32），故点P，Q在同一反比例函数图象上；
D、∵（﹣2）×3≠（﹣3）×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．

4．（3分）（2017•雅安）下面哪幅图，可以大致刻画出苹果成熟后从树上下落过程中（落地前），速度变化的情况（　　）
A． B． C． D．
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据苹果下落过程中的速度是随时间的增大逐渐增大的，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：根据常识判断，苹果下落过程中的速度是随时间的增大逐渐增大的，
A、速度随时间的增大变小，故本选项错误；
B、速度随时间的增大而增大，故本选项正确；
C、速度随时间的增大变小，故本选项错误；
D、速度随时间的增大不变，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了函数图象的确认，根据速度随时间的增大而增大确定函数图象是解题的关键．

5．（3分）（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=﹣k﹣1，结合x1x2=﹣3可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，
∴x1x2=﹣k﹣1．
∵x1x2=﹣3，
∴﹣k﹣1=﹣3，
解得：k=2．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．

6．（3分）（2017•雅安）由若干个相同的小正方体，摆成几何体的主视图和左视图均为，则最少使用小正方体的个数为（　　）
A．9 B．7 C．5 D．3
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【解答】解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少为3个．
故选D．
【点评】此题根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．

7．（3分）（2017•雅安）一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．
【分析】通过解一元二次方程x2﹣7x+12=0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【解答】解：由一元二次方程x2﹣7x+12=0，得
（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得x=3，或x=4；
∴等腰三角形的两腰长是3或4；
①当等腰三角形的腰长是3时，3+3=6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；
②当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形，
所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14；
故选C．
【点评】本题综合考查了一元二次方程﹣﹣因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想．

8．（3分）（2017•雅安）下列命题中的真命题是（　　）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据对顶角的性质、矩形的性质、切线的判定、中点四边形的性质一一判断即可．
【解答】解：①相等的角是对顶角，错误．
②矩形的对角线互相平分且相等，正确．
③垂直于半径的直线是圆的切线，错误．
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，正确．
故选D．
【点评】本题考查对顶角的性质、矩形的性质、切线的判定、中点四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9．（3分）（2017•雅安）一次数学检测中，有5名学生的成绩分别是86，89，78，93，90．则这5名学生成绩的平均分和中位数分别是（　　）
A．87.2，89 B．89，89 C．87.2，78 D．90，93
【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．
【分析】根据平均数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：这5名学生的成绩重新排列为：78、86、89、90、93，
则平均数为：78+86+89+90+935=87.2，中位数为89，
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数和平均数，熟练掌握中位数和平均数的定义是解题的关键．

10．（3分）（2017•雅安）下列计算正确的是（　　）
A．3x2﹣2x2=1 B．-x3=x-x C．x÷y⋅1y=x D．x2•x3=x5
【考点】73：二次根式的性质与化简；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；6A：分式的乘除法．
【分析】直接利用二次根式的性质和同底数幂的乘法运算、分式的乘除运算化简得出答案．
【解答】解：A、3x2﹣2x2=x2，故此选项错误；
B、-x3=﹣x-x，故此选项错误；
C、x÷y•1y=xy2，故此选项错误；
D、x2•x3=x5，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质和同底数幂的乘法运算、分式的乘除运算，正确把握运算法则是解题关键．

11．（3分）（2017•雅安）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．332 B．3 C．23 D．4
【考点】KO：含30度角的直角三角形．
【专题】552：三角形．
【分析】延长BA，CD交于点E，构造直角三角形，根据已知角度和边的长度解直角三角形解出需要的边的长度，利用三角形面积公式计算三角形的面积，即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：如图所示，延长BA，CD交于点E，
∵∠A=∠C=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴Rt△ADE中，AE=ADtan30°=133=3，
Rt△BCE中，CE=tan60°×BC=3×2=23，
∴四边形ABCD的面积
=S△BCE﹣S△ADE
=12×2×23﹣12×1×3
=23﹣123
=323，
故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形以及根据三角形面积公式计算三角形面积的能力．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

12．（3分）（2017•雅安）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AB⊥BC，BC⊥CD，E为AD的中点，F为线段BE上的点，且FE=13BE，则点F到边CD的距离是（　　）

A．3 B．103 C．4 D．143
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】55D：图形的相似．
【分析】过E作EG⊥CD于G，过F作FH⊥CD于H，过E作EQ⊥BC于Q，依据平行线分线段成比例定理，即可得到HP=CQ=3，FP=13BQ=1，进而得出FH=1+3=4．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥CD于G，过F作FH⊥CD于H，过E作EQ⊥BC于Q，
则EG∥FH∥BC，AB∥EQ∥CD，四边形CHPQ是矩形，
∵AB∥EQ∥CD，
∴AEED=BQQC，
∵E是AD的中点，
∴BQ=CQ=3，
∴HP=CQ=3，
∵FP∥BQ，
∴EFEB=FPBQ，
∵FE=13BE，
∴FP=13BQ=1，
∴FH=1+3=4．
故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在题中的横线上）
13．（3分）（2017•雅安）细胞的直径只有1微米，即0.000 001米，用科学记数法表示0.000 001为　1×10﹣6　．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00 000 1=1×10﹣6，
故答案为：1×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

14．（3分）（2017•巴中）分解因式：a3﹣9a=　a（a+3）（a﹣3）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．
【解答】解：a3﹣9a=a（a2﹣32）=a（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

15．（3分）（2017•雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是　4≤OP≤5　．
【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM=52-32=4，
OM的长即为OP的最小值，
∴4≤OP≤5．
故答案为：4≤OP≤5．

【点评】此题考查了垂径定理的应用．解决本题的关键是确定OP的最小值，所以求OP的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（a2）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．

16．（3分）（2017•雅安）分别从数﹣5，﹣2，1，3中，任取两个不同的数，则所取两数的和为正数的概率为　13　．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】先依据题意画出树状图，然后依据树状图确定出所有情况，以及符合题意的情况，最后，再依据概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示：

由树状图可知，共有12中可能的情况，两个数的和为正数的共有4种情况，
所以所取两个数的和为正数的概率为412=13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查的是列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．

17．（3分）（2017•雅安）定义：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y=2x+1的反函数的解析式　y=12x﹣12　．
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
【分析】求出函数和x轴、y轴的交点坐标，求出对称的点的坐标，再代入函数解析式求出即可．
【解答】解：y=2x+1，
当x=0时，y=1，
当y=0时，x=﹣12，
即函数和x轴的交点为（﹣12，0），和y轴的交点坐标为（0，1），
所以函数关于直线y=x对称的点的坐标分别为（0，﹣12和（1，0），
设反函数的解析式是y=kx+b，
代入得：&b=-12&k+b=0，
解得：k=12，b=﹣12，
即y=12x﹣12，
故答案为：y=12x﹣12．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，能求出对称的点的坐标是解此题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（10分）（2017•雅安）（1）计算：（12）﹣3+|3﹣2|﹣（﹣2017）0．
（2）先化简，再求值：已知：（1x-2+1）÷（x+1x-2），其中x=4﹣2sin30°．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）首先化简（1x-2+1）÷（x+1x-2），然后把x的值代入化简后的算式即可．
【解答】解：（1）（12）﹣3+|3﹣2|﹣（﹣2017）0
=8+2﹣3﹣1
=9﹣3

（2）（1x-2+1）÷（x+1x-2）
=x-1x-2÷(x-1)2x-2
=1x-1
x=4﹣2sin30°=4﹣2×12=3
∴原式=13-1=12
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，以及实数的运算，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

19．（9分）（2017•雅安）某校开展对学生“劳动习惯”情况的调查，为了解全校500名学生“主动做家务事”的情况，随机抽查了该校部分学生一周“主动做家务事”的次数，制成了如下的统计表和统计图．
次数
0
1
2
3
4
人数
3
6
13

12
（1）根据以上信息，求在被抽查学生中，一周“主动做家务事”3次的人数；
（2）若在被抽查学生中随机抽取1名，则抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是多少？
（3）根据样本数据，估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数．

【考点】X4：概率公式；V5：用样本估计总体；VA：统计表；VB：扇形统计图．
【专题】54：统计与概率．
【分析】（1）先用一周“主动做家务事”0次的人数除以所占的百分比求出被抽查学生人数，再分别减去“主动做家务事”0、1、2、4次的人数即可求解；
（2）让一周“主动做家务事”不多于2次的人数除以被抽查学生人数即为所求的概率；
（3）用样本估计总体可求全校学生一周“主动做家务事”3次的人数．
【解答】解：（1）6÷12%=50（人），
50﹣（3+6+13+12）=16（人）．
答：一周“主动做家务事”3次的人数是16人；
（2）（3+6+13）÷50
=22÷50
=0.44．
答：抽到的学生一周“主动做家务事”不多于2次的概率是0.44；
（3）500×1650=160（人）．
答：估计全校学生一周“主动做家务事”3次的人数是160人．
【点评】本题考查了利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

20．（9分）（2017•雅安）如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；
（2）求出∠A1BlC1的余弦值；
（3）以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2．

【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换；T7：解直角三角形．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用余弦的定义结合勾股定理得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1BlC1，即为所求；

（2）∠A1BlC1的余弦值为：DB1B1C1=425=255；

（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换和解直角三角形，正确得出对应点位置是解题关键．

21．（10分）（2017•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为4，AE=2，求菱形BEDF的面积．

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；LA：菱形的判定与性质．
【分析】（1）连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；
（2）由正方形的边长可求得BD、AC的长，则可求得EF的长，利用菱形的面积公式可求得其面积．
【解答】（1）证明：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：
∵正方形边长为4，
∴BD=AC=42，
∵AE=CF=2，
∴EF=AC﹣22=22，
∴S菱形BEDF=12BD•EF=12×42×22=8．

【点评】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．

22．（9分）（2017•雅安）校园超市以4元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件．
（1）设售价为x元/件时，销售量为y件．请写出y与x的函数关系式；
（2）若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少元/件？
【考点】GA：反比例函数的应用．
【分析】（1）由“销售额=销售量×单价”列出函数关系式；
（2）设该物品的售价应定为x元/件，结合“利润=销售量×差价”列出函数式，并解答．
【解答】解：（1）依题意得：xy=50×6=300，
则y=300x；

（2）设该物品的售价应定为x元/件，
依题意得：60=300x（x﹣4），
解得x=5，
经检验，x=5是方程的根且符合题意．
答该物品的售价应定为5元/件．
【点评】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．

23．（10分）（2017•雅安）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BF=2，EF=13，求⊙O的半径长．

【考点】ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）连接OE，首先得出△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE=90°，即可得到结论；
（2）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB的长，即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
则∠BOE=2∠BDE，又∠A=2∠BDE，
∴∠BOE=∠A，
∵∠C=∠ABD，∠A=∠BOE，
∴△ABD∽△OCE
∴∠ADB=∠OEC，
又∵AB是直径，
∴∠OEC=∠ADB=90°
∴CE与⊙O相切；

（2）解：连接EB，则∠A=∠BED，
∵∠A=∠BOE，
∴∠BED=∠BOE，
在△BOE和△BEF中，
∠BEF=∠BOE，∠EBF=∠OBE，
∴△OBE∽△EBF，
∴EBEF=OBOE，则BEOB=BFBE，
∵OB=OE，
∴EB=EF，
∴EFOB=BFEF，
∵BF=2，EF=13，
∴13OB=213，
∴OB=132．

【点评】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（12分）（2017•雅安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15 ：综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出点E的坐标，利用待定系数法得出直线BD的解析式，利用PC=PE建立方程即可求出a即可得出结论；
（3）设出点M的坐标，进而得出点G，N的坐标，利用FM=MG建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴&1+b+c=0&9-3b+c=0，
∴&b=2&c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∴&-3m+n=0&-m+n=-4，
∴&m=-2&n=-6，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6，
设点P（a，﹣2a﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∵PC=PE，
∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∴a=﹣2，
∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），

（3）如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，
∴d=-1±212或d=-3±132，
∴点M的坐标为（-1+212，0），（-1-212，0），（-3+132，0），（-3-132，0）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的顶点坐标，勾股定理，正方形的性质，解（2）的关键是用PC=PE建立方程求解，解（3）的关键是解绝对值方程，是一道中等难度的中考常考题．

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