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2010年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算﹣（﹣5）的结果是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（3分）如图，立体图形的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列等式成立的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．2a2﹣3a＝﹣a
C．a6÷a3＝a2 D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4
4．（3分）三根木条的长度如下，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，2cm，5cm B．2cm，2cm，4cm
C．2cm，3cm，5cm D．2cm，3cm，4cm
5．（3分）计算的结果为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
6．（3分）如图，小球从点A运动到点B，速度v（米/秒）和时间t（秒）的函数关系式是v＝2t．如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B的时间是（　　）

A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
7．（3分）四个班各选10名同学参加学校1500米长跑比赛，各班选手平均用时及方差如下表：
班
A班
B班
C班
D班
平均用时（分钟）
5
5
5
5
方差
0.15
0.16
0.17
0.14
各班选手用时波动性最小的是（　　）
A．A班 B．B班 C．C班 D．D班
8．（3分）甲箱装有40个红球和10个黑球，乙箱装有60个红球、40个黑球和50个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两箱中的球，从箱中分别任意摸出一个球．正确说法是（　　）
A．从甲箱摸到黑球的概率较大
B．从乙箱摸到黑球的概率较大
C．从甲、乙两箱摸到黑球的概率相等
D．无法比较从甲、乙两箱摸到黑球的概率
9．（3分）如图，直线y＝x+2与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（　　）

A．
B．若MN与⊙O相切，则
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．l1和l2的距离为2
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是　 　．
12．（3分）如图，▱ABCD中，点A关于点O的对称点是点　 　．

13．（3分）在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是　 　．
14．（3分）如果方程x2﹣4x+3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为　 　．
三、解答题（共8小题，满分58分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．

17．（6分）电视台在南充城市某居民小区对电视节目的收视情况进行抽样调查，每人只能在被调查的五类电视节目中选择一类“最喜欢”的电视节目，将统计结果绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答问题：
（1）这次抽样调查了多少人？
（2）在扇形统计图中，最喜欢娱乐节目对应的圆心角比最喜欢戏曲节目对应的圆心角大90°，调查中最喜欢娱乐节目比最喜欢戏曲节目的多多少人？
（3）估计南充城区有100万人中最喜欢体育节目的有多少人？
18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
19．（8分）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

20．（8分）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？

21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．

22．（8分）已知抛物线上有不同的两点E（k+3，﹣k2+1）和F（﹣k﹣1，﹣k2+1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

2010年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】根据相反数的定义求解．﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以等于5．
【解答】解：﹣（﹣5）＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，2，1，故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（a2）3＝a2×3＝a6；正确；
B、2a2和3a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a6÷a3＝a6﹣3＝a3；故本选项错误；
D、应为（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16；故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，平方差公式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
4．【分析】根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，从而得出答案D正确．
【解答】解：根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边：A、2+2＜5不成立，故A错误；B、2+2＝4，故B错误；C、2+3＝5，故C答案错误；D、2+3＞4，故D答案正确．
故选：D．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
5．【分析】根据分式加减法则进行运算．对于同分母的分式相加减分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式＝＝＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题比较容易，考查分式的运算．
6．【分析】直接将速度的值代入函数关系式即可．
【解答】解：把v＝6代入v＝2t中，
得t＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数在实际生活中的应用，比较简单．
7．【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：由于S2D＜S2A＜S2B＜S2C，故D班的方差小，波动小，
故选：D．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
8．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①各箱中符合条件的黑球数目；
②各箱中球的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小，算出相应概率后比较即可．
【解答】解：∵甲箱装有40个红球和10个黑球，
球的总个数为：40+10＝50个；
黑球的个数为：10个，
∵乙箱装有60个红球、40个黑球和50个白球，
球的总个数为：60+40+50＝150个，
黑球的个数为：40个，
于是：从甲箱摸到黑球的概率＝；
从乙箱摸到黑球的概率＝；
由此可得从乙箱摸到黑球的概率较大，
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
9．【分析】把A点的纵坐标代入直线解析式，即可求得A的坐标．再根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
【解答】解：在y＝x+2中令y＝3，得到：3＝x+2，
解得：x＝1，则A的坐标是（1，3）．
设反比例函数的解析式y＝，
把（1，3）代入得到：k＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，同学们要重点掌握．
10．【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．
【解答】解：A、平移MN使点B与N重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得，正确；
B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM＝或，错误；
C、若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确；
D、l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确．
故选：B．

【点评】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．【分析】根据二次根式的性质，即“被开方数大于等于0时二次根式才有意义”，解答即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，点A、C关于点O对称．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，且A、O、C三点共线，
∴点A关于点O的对称点是点C．
故答案为：C．
【点评】平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点．
13．【分析】随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率．
【解答】解：如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是接近．
【点评】实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．
14．【分析】先求出方程的两个根是1和3，再根据边长3是直角边和斜边两种情况讨论．
【解答】解：解方程x2﹣4x+3＝0得，
x1＝1，x2＝3，
①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA＝；
②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边＝＝2，
∴tanA＝＝；
所以tanA的值为或．
【点评】本题注意因为较长边是直角边还是斜边不明确，所以要分情况讨论．
三、解答题（共8小题，满分58分）
15．【分析】本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16．【分析】根据已知利用SAS判定△AMB≌△DMC，从而得到AB＝CD，两腰相等即得到四边形ABCD是等腰梯形．
【解答】证明：∵MA＝MD，
∴△MAD是等腰三角形．
∴∠DAM＝∠ADM．
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM．
∴∠AMB＝∠DMC．
∵点M是BC的中点，
∴BM＝CM．
∴△AMB≌△DMC．
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是等腰梯形．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法及等腰梯形的判定的理解及运用．
17．【分析】（1）喜欢新闻的有600人，占总体的20%，根据：这次抽样调查的总人数为：喜欢新闻节目的人数÷它所占的百分比；
（2）知道最喜欢娱乐节目对应的圆心角比最喜欢戏曲节目对应的圆心角大90°，则调查中最喜欢娱乐节目比最喜欢戏曲节目多的人数＝总人数×；
（3）先算出3000人中有多少喜欢体育节目，再估计南充城区有100万人中最喜欢体育节目的人数．
【解答】解：（1）这次抽样调查人数为：（人）；

（2）最喜欢娱乐节目比最喜欢戏曲节目的多：＝750（人）；

（3）估计南充城区最喜欢体育节目的有：100×25%＝25（万人）．
答：（1）这次抽样调查了3000人；
（2）最喜欢娱乐节目比最喜欢戏曲节目的多750人；
（3）估计南充城区最喜欢体育节目的有25万人
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；
（2）k取负整数，再解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得k＞﹣；
（2）当k＝﹣2时，方程为x2﹣3x+2＝0，
因式分解得（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．
19．【分析】（1）由于△ABC是等边三角形，易知∠A＝60°，∠ACF＝120°；而CE平分∠ACF，可得∠A＝∠DCE＝60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；
（2）由于△ABC是等边三角形，则AC＝BC＝6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM＝MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE＝BD+DE求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°；
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝60°；
∴∠BAC＝∠ACE；
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED；

（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6，在Rt△ABM中
∴AM＝CM＝3，BM＝AB•sin60°＝；
∵AD＝2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1；
在Rt△BDM中，BD＝＝；
由（1）△ABD∽△CED得，，，
∴ED＝，
∴BE＝BD+ED＝．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质；（2）题中能够正确的构建出直角三角形求出BD的长是解答此题的关键．
20．【分析】（1）以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式；
（2）由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．
【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）
设抛物线的解析式为y＝ax2+k，
抛物线过点M和点B，
则k＝5，．
∴抛物线解析式为：；
∴当x＝1时，y＝；
当x＝时，y＝．
∴P（1，），Q（，）在抛物线上；
当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝×5＝，
∵＜且＜，
∴网球不能落入桶内．

（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，≤m≤，
解得：≤m≤；
∵m为整数，
∴m的值为8，9，10，11，12．
∴当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．

【点评】研究抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．
21．【分析】（1）连接OB、OC，由垂径定理知E是BC的中点，而OE＝BC，可判定△BOC是直角三角形，则∠BOC＝90°，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得∠BAC的度数；
（2）由折叠的性质可得到的条件是：①AG＝AD＝AF，②∠GAF＝∠GAD+∠DAF＝2∠BAC＝90°，且∠G＝∠F＝90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，联立①的结论可证得四边形AGHF是正方形；
（3）设AD＝x，由折叠的性质可得：AD＝AF＝x（即正方形的边长为x），BG＝BD＝6，CF＝CD＝4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长．
【解答】（1）解：连接OB和OC；
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE；
∵OE＝BC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BAC＝45°；

（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°；
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴∠BAG+∠CAF＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝45°；
∴∠GAF＝∠BAG+∠CAF+∠BAC＝90°；
∴四边形AFHG是正方形；

（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；
设AD的长为x，则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4．
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102；
解得，x1＝12，x2＝﹣2（不合题意，舍去）；
∴AD＝12．

【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．
22．【分析】（1）求抛物线的解析式关键是求出b的值，根据E、F的坐标可发现，E、F关于抛物线的对称轴对称，由此可求出抛物线的对称轴方程，进而可求出b的值及抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标，可得到∠OAB＝∠OBA＝∠PMQ＝45°，可证△BCM∽△AMD，根据相似三角形得到的比例线段求出m、n的函数关系式；
（3）将点F的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出F点的坐标，进而可由待定系数法求出直线MF的解析式，然后根据直线MF与坐标轴的交点坐标求出m、n的值．（需注意的是此题要分MP、MQ过F的两种不同情况分类讨论）
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为；
∵抛物线上不同两个点E（k+3，﹣k2+1）和F（﹣k﹣1，﹣k2+1）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k≠﹣2；
∴抛物线的解析式为；

（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB＝，AM＝BM＝；
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC＝180°，即∠BMC+∠BCM＝135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD＝180°，即∠BMC+∠AMD＝135°；
∴∠BCM＝∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；
∴，即，；
故n和m之间的函数关系式为（m＞0）；

（3）∵F（﹣k﹣1，﹣k2+1）在上，
∴将F代入函数解析式得：，
化简得，k2﹣4k+3＝0，∴k1＝1，k2＝3；
即F1（﹣2，0）或F2（﹣4，﹣8）；
①MF过M（2，2）和F1（﹣2，0），设MF为y＝kx+b，
则，解得；
∴直线MF的解析式为；
直线MF与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，1）；
若MP过点F（﹣2，0），则n1＝4﹣1＝3，m1＝；
若MQ过点F（﹣2，0），则m2＝4﹣（﹣2）＝6，n2＝；
②MF过M（2，2）和F2（﹣4，﹣8），设MF为y＝kx+b，
则，解得；
∴直线MF的解析式为；
直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）；
若MP过点F（﹣4，﹣8），则n3＝4﹣（）＝，m3＝；
若MQ过点F（﹣4，﹣8），则m4＝4﹣＝，n4＝；
故当，，或时，∠PMQ的边过点F．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象与坐标轴交点坐标的求法等知识，需注意的是（3）题中，MP、MQ都有可能经过F点，要分类讨论，以免漏解．
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