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2012年湖南省永州市中考数学试卷
一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣（﹣2012）＝　 　．
2．（3分）2012年4月27日国家统计局发布经济统计数据，我国2011年国内生产总值（GDP）约为7298000000000美元，世界排位第二．请将7298000000000用科学记数法表示为　 　．
3．（3分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对称图形的概率是　 　．

4．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝45°，则∠2＝　 　度．

5．（3分）一次函数y＝﹣x+1的图象不经过第　 　象限．
6．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为　 　．

7．（3分）如图，已知圆O的半径为4，∠A＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为　 　．

8．（3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是　 　．
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器进行计算，则按键的结果为（　　）
A．16 B．33 C．37 D．36
10．（3分）如图所示，下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（3分）永州市5月下旬11天中日最高气温统计如下表：
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
最高气温（℃）
22
22
20
23
22
25
27
30
26
24
27
则这11天永州市日最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．22，25 B．22，24 C．23，24 D．23，25
12．（3分）已知a为实数，则下列四个数中一定为非负实数的是（　　）
A．a B．﹣a C．|﹣a| D．﹣|﹣a|
13．（3分）下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（　　）
A．2+x＝x﹣1 B．2﹣x＝1 C．2+x＝1﹣x D．2﹣x＝x﹣1
14．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．
B．a3•a﹣2＝a（a≠0）
C．不等式2﹣x＞1的解集为x＞1
D．当x＞0时，反比例函数y＝的函数值y随自变量x取值的增大而减小
15．（3分）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（　　）

A．朝阳岩
B．柳子庙
C．迴龙塔
D．朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置
16．（3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：6tan30°﹣|﹣|+（﹣1）2012+．
18．（6分）解方程：（x﹣3）2﹣9＝0．
19．（6分）先化简，再求代数式的值，其中a＝2．
20．（8分）为保证学生上学安全，学校打算在今年下期采购一批校车，为此，学校安排学生会在全校300名走读学生中对购买校车的态度进行了一次抽样调查，并根据抽样调查情况绘制了如图统计图．

走读学生对购买校车的四种态度如下：
A．非常希望，决定以后就坐校车上学
B．希望，以后也可能坐校车上学
C．随便，反正不会坐校车上学
D．反对，因家离学校近不会坐校车上学
（1）由图①知A所占的百分比为　 　，本次抽样调查共调查了　 　名走读学生，并完成图②；
（2）请你估计学校走读学生中至少会有多少名学生乘坐校车上学（即A态度的学生人数）．
21．（8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE＝GF＝GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．

22．（8分）某公司计划2012年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告，已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．该公司的广告总费用为9万元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益？
23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC＝10，PA＝6．
求：（1）⊙O的半径；
（2）cos∠BAC的值．

24．（10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．

（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；
（2）求∠B的度数；
（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．
25．（10分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m＝0，m＝2和m＝4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2012年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义，得﹣2012的相反数是2012．故答案为2012．
【点评】本题主要考查相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7298000000000有13位，所以可以确定n＝13﹣1＝12．
【解答】解：7 298 000 000 000＝7.298×1012．
故答案为：7.298×1012．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
3．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，即B、C，所以摸出的图形是中心对称图形的纸牌的概率是：＝．
故答案：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
4．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝45°，
∴∠1＝∠3＝45°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5．【分析】先根据一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣1，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．
6．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为10，
即CD+DE+EC＝10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×10＝20．
故答案为：20．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
7．【分析】首先求得扇形的圆心角BOC的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底面周长求得圆锥的底面圆的半径即可．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°
∴扇形BOC的弧长为＝2π，
设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π
解得r＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关元素之间的转化．
8．【分析】由于3﹣1＝2，7﹣3＝4，13﹣7＝6，…，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8．
【解答】解：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x，
则x﹣13＝8，解得x＝21，即第五个数为21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定等差数列的公差为2．
二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】利用科学记算器按照按键顺序进行计算即可．
【解答】解：按照5、x2、+、2、yx、3的按键顺序计算后显示结果为33，
故选：B．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能，会用科学记算器进行计算．
10．【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，仔细观察各个简单几何体，便可得出选项．
【解答】解：A、圆柱的俯视图为矩形，故本选项正确；
B、圆锥的俯视图为圆，故本选项错误；
C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；
D、三棱锥的俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．本题比较简单．
11．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：将图表中的数据按从小到大排列：20，22，22，22，23，24，25，26，27，27，30，
其中数据22出现了三次，出现的次数最多，为众数；24处在第6位，为中位数．
所以这组数据的众数是22，中位数是24．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这些概念掌握不清楚而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
12．【分析】根据绝对值非负数的性质解答．
【解答】解：根据绝对值的性质，为非负实数的是|﹣a|．
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值非负数的性质，是基础题，熟记绝对值非负数是解题的关键．
13．【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1），得
2﹣x＝x﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的项．
14．【分析】分别根据二次根式的乘法、同底数幂的乘法、解一元一次不等式及反比例函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、当a＜0，b＜0时，＝•，故本选项错误；
B、符合同底数幂的乘法法则，故选项正确；
C、不等式2﹣x＞1的解集为x＜1，故本选项错误；
D、当x＞0时，反比例函数y＝的函数值y随自变量x取值的增大而增大，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法、同底数幂的乘法、解一元一次不等式及反比例函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
15．【分析】设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距离朝阳岩的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．
【解答】解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距离朝阳岩的路程为13，
A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13＝18；
B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8＝13；
C、当旅游车停在迴龙塔时，总路程为13+8＝21；
D、当旅游车停在朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．
故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，
故选：B．
【点评】本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来．
16．【分析】因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤10，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．【分析】分别进行绝对值、零指数幂，然后代入tan30°的值，继而合并运算即可．
【解答】解：原式＝6×﹣2+1+1
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
18．【分析】这个式子先移项，变成（x﹣3）2＝9，从而把问题转化为求9的平方根．
【解答】解：移项得：（x﹣3）2＝9，
开平方得：x﹣3＝±3，
则x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
解得：x1＝6，x2＝0．
【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，运用整体思想，会把被开方数看成整体．
19．【分析】将第一个因式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，约分化为最简分式，然后通分并利用同分母分式的加法法则计算，第二个因式的分子利用完全平方公式分解因式，约分后得到最简结果，将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【解答】解：（+1）•
＝[+1]•
＝（+）•
＝•
＝a﹣1，
当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
20．【分析】（1）用1减去B、C、D的百分比，得出A所占的百分比，用A的人数÷A的百分比，得出调查的走读生数；
（2）用300×A所占的百分比，得出学校走读学生中乘坐校车上学的人数．
【解答】解：（1）A所占的百分比为1﹣30%﹣20%﹣10%＝40%，
调查的走读生数为20÷40%＝50人，
其中态度B为50﹣20﹣10﹣5＝15，
故答案为：40%，50；

（2）估计学校走读学生中乘坐校车上学的人数至少为：300×40%＝120人．

【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B＝∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C＝∠GFC，所以∠B＝∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE＝GF即可得出结论．
【解答】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B＝∠C，
∵GF＝GC，
∴∠GFC＝∠C，
∴∠GFC＝∠B，
∴AB∥GF，
又∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意得出AB∥GF是解答此题的关键．
22．【分析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，则根据广告总时长及总费用可得出x和y的值，继而代入也可得出总收益．
【解答】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，
由题意得，，
解得：，
即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告．
此时公司收益为100×0.3+200×0.2＝70万元．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来70万元的总收益．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，关键是仔细审题，得出题意中的两个等量关系，然后运用方程的思想进行解题．
23．【分析】（1）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC＝90°，又由PC＝10，PA＝6，利用勾股定理即可求得AC的值，继而求得⊙O的半径；
（2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC＝∠PAC＝90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC＝∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值．
【解答】解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴CA⊥PA，
即∠PAC＝90°，
∵PC＝10，PA＝6，
∴AC＝＝8，
∴OA＝AC＝4，
∴⊙O的半径为4；

（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴∠ABC＝∠PAC＝90°，
∴∠P+∠C＝90°，∠BAC+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠P，
在Rt△PAC中，cos∠P＝＝＝，
∴cos∠BAC＝．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
24．【分析】（1）当x取0时，y的值即是AB的长度，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值．
（2）当点P运动到点H时，此时BP（H）＝1，AH＝，在RT△ABH中，可得出∠B的度数．
（3）分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y的值即是AB的长度，故AB＝2；
图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH＝；
（2）在RT△ABH中，AH＝，BH＝1，tan∠B＝，
故∠B＝60°．
（3）①当∠APB为钝角时，此时可得0＜x＜1；
②当∠BAP为钝角时，过点A作AP⊥AB，

则BP＝＝4，
即当4＜x≤6时，∠BAP为钝角．
综上可得0＜x＜1或4＜x≤6时△ABP为钝角三角形．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合图象及函数图象得出AB、AH的长度，第三问需要分类讨论，注意不要漏解．
25．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）令y＝ax2+bx﹣1＝0，解出x的值，进而求出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）分别求出当m＝0，m＝2和m＝4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再进行证明；
（4）由（3）知OP＝PH，只要OH＝OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
∴，
解得a＝，b＝0，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣1；

（2）令y＝x2﹣1＝0，
解得x＝﹣2或x＝2，
由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0；

（3）当m＝0时，|PO|2＝1，|PH|2＝1；
当m＝2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2＝4，|PH|2＝4，
当m＝4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2＝25，|PH|2＝25，
由此发现|PO|2＝|PH|2，
设P点坐标为（m，n），即n＝m2﹣1
|OP|＝，
|PH|2＝n2+4n+4＝n2+m2，
故对于任意实数m，|PO|2＝|PH|2；

（4）由（3）知OP＝PH，只要OH＝OP成立，△POH为正三角形，
设P点坐标为（m，n），|OP|＝，
|OH|＝，
|OP|＝|OH|，即n2＝4，解得n＝±2，
当n＝﹣2时，n＝m2﹣1不符合条件，
故n＝2，m＝±2时可使△POH为正三角形．

【点评】本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般．
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