2015年山东省淄博市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年山东省淄博市中考数学试卷
一.选择题（每小题4分，四个选项只有一个是正确的）
1．（4分）（2015•淄博）下列计算正确的是（　　）

A．
a6÷a3=a3
B．
（a2）3=a8
C．
a2•a3=a6
D．
a2+a2=a4
2．（4分）（2015•淄博）如图，是由四个相同的正方体组合而成的两个几何体，则下列表述正确的是（　　）

A．
图甲的主视图与图乙的左视图形状相同

B．
图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同

C．
图甲的俯视图与图乙的俯视图形状相同

D．
图甲的主视图与图乙的主视图形状相同

二.填空题（共5小题，满分20分）
3．（4分）（2015•淄博）计算﹣的结果是　　　　　　．
4．（4分）（2015•淄博）如图，在⊙O中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=　　　　　　度．

5．（4分）（2015•淄博）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字的概率是　　　　　　．
6．（4分）（2015•淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是　　　　　　度．

7．（4分）（2015•淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式　　　　　　（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．

三.解答题（共7小题，共52分）
8．（5分）（2015•淄博）计算：（+）×．

9．（5分）（2015•淄博）在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表：
序号
一
二
三
四
五
六
七
甲命中的环数（环）
7
8
8
6
9
8
10
乙命中的环数（环）
5
10
6
7
8
10
10
根据以上信息，解决一下问题：
（1）写出甲、乙两人命中环数的众数；
（2）已知通过计算器求得=8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？

10．（8分）（2015•淄博）在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．
（1）求a的值；
（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．

11．（8分）（2015•淄博）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．
（1）探究DE与DF的关系，并给出证明；
（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）

12．（8分）（2015•淄博）为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表：

小明家
爷爷家
屋顶收集雨水面积（m2）
160
120
蓄水池容积（m3）
50
13
蓄水池已有水量（m3）
34
11.5
气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？

13．（9分）（2015•淄博）如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC=2，S△ABC=1．设BP=x，平行四边形AFPE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．

14．（9分）（2015•淄博）如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．
（1）当PB=PC时，求tan∠APB的值；
（2）当P是上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB•tan∠DPC的值．

2015年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题（每小题4分，四个选项只有一个是正确的）
1．（4分）（2015•淄博）下列计算正确的是（　　）

A．
a6÷a3=a3
B．
（a2）3=a8
C．
a2•a3=a6
D．
a2+a2=a4

考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
分析：
根据同底数幂的除法和乘法、幂的乘方和同类项计算即可．
解答：
解：A、a6÷a3=a3，正确；
B、（a2）3=a6，错误；
C、a2•a3=a5，错误；
D、a2+a2=2a2，错误；
故选A
点评：
此题考查同底数幂的除法和乘法、幂的乘方和同类项，关键是根据法则进行计算．

2．（4分）（2015•淄博）如图，是由四个相同的正方体组合而成的两个几何体，则下列表述正确的是（　　）

A．
图甲的主视图与图乙的左视图形状相同

B．
图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同

C．
图甲的俯视图与图乙的俯视图形状相同

D．
图甲的主视图与图乙的主视图形状相同

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：
分别画出图甲、图乙的三视图即可作出判断．
解答：
解：图甲的三视图如下：

图乙的三视图如下：

因此图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同，
故选：B．
点评：
本题主要考查了三视图，能够根据实物画出三视图是解决问题的关键．

二.填空题（共5小题，满分20分）
3．（4分）（2015•淄博）计算﹣的结果是　　．

考点：
分式的加减法．菁优网版权所有
分析：
根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式．
解答：
解：原式=
=
=，
故答案为：．
点评：
本题考查了分式的加减，归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

4．（4分）（2015•淄博）如图，在⊙O中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=　28　度．

考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
分析：
首先根据=，可得；然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等，由∠DCB=28°，可得∠ABC=28度，据此解答即可．
解答：
解：∵=，
∴；
又∵∠DCB=28°，
∴∠ABC=28度．
故答案为：28．
点评：
此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

5．（4分）（2015•淄博）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字的概率是　　．

考点：
列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：
列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答：
解：列表得：

2
3
4
5
2
22
23
24
25
3
32
33
34
35
4
42
43
44
45
5
52
53
54
55
∵共有16种情况，第二次抽出的数字恰好能整除第一次抽出的数字的有5种，
∴P（第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字）=，
故答案为：．
点评：
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数是解决本题的关键．

6．（4分）（2015•淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是　120，150　度．

考点：
等腰直角三角形；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得出∠ABD=15°，利用全等三角形的判定和性质得出∠BAD=30°，再利用等腰三角形解答即可．
解答：
解：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，
故答案为：120，150
点评：
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得出∠ABD=15°．

7．（4分）（2015•淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式　y2=x2+3，y2=（x+）2+3　（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．

考点：
二次函数的性质．菁优网版权所有
专题：
开放型．
分析：
已知当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m，3），设出顶点式求解即可．
解答：
解：答案不唯一，
例如：y2=x2+3，
y2=（x+）2+3．
故答案为：y2=x2+3，y2=（x+）2+3．
点评：
考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．

三.解答题（共7小题，共52分）
8．（5分）（2015•淄博）计算：（+）×．

考点：
二次根式的混合运算．菁优网版权所有
分析：
首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．
解答：
解：（+）×
=×+×
=1+9
=10
点评：
此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．

9．（5分）（2015•淄博）在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表：
序号
一
二
三
四
五
六
七
甲命中的环数（环）
7
8
8
6
9
8
10
乙命中的环数（环）
5
10
6
7
8
10
10
根据以上信息，解决一下问题：
（1）写出甲、乙两人命中环数的众数；
（2）已知通过计算器求得=8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？

考点：
方差；众数．菁优网版权所有
分析：
（1）根据众数的定义解答即可；
（2）根据已知条件中的数据计算出乙的方差和平均数，再和甲比较即可．
解答：
解：（1）由题意可知：甲的众数为8，乙的众数为10；
（2）乙的平均数==8，
乙的方差为：S2乙=[（5﹣8）2+（10﹣8）2+…+（10﹣8）2]=≈3.71．
∵得=8，s甲2≈1.43，
∴甲乙的平均成绩一样，而甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定．
点评：
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

10．（8分）（2015•淄博）在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．
（1）求a的值；
（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．

考点：
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
（1）利用待定系数法解答解析式即可；
（2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可．
解答：
解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，5），B（3，﹣3）代入，
可得：，
解得：，
所以直线解析式为：y=﹣2x+3，
把P（﹣2，a）代入y=﹣2x+3中，
得：a=7；
（2）由（1）得点P的坐标为（﹣2，7），
令x=0，则y=3，
所以直线与y轴的交点坐标为（0，3），
所以△OPD的面积=．
点评：
此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法解解析式．

11．（8分）（2015•淄博）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．
（1）探究DE与DF的关系，并给出证明；
（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）

考点：
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．菁优网版权所有
分析：
（1）连接CD，首先根据△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点得到CD=AD，CD⊥AD，然后根据四边形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，从而得到△DCE≌△DAF，证得DE=DF，DE⊥DF；
（2）根据DE=DF，DE⊥DF，得到EF=DE=DF，从而得到当DE和DF同时最短时，EF最短得到此时点P与点D重合线段EF最短．
解答：
解：（1）DE=DF，DE⊥DF，
证明：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AD，CD⊥AD，
∵四边形PECF是矩形，
∴CE=FP，FP∥CB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AF=PF=EC，
∴∠DCE=∠A=45°，
∴△DCE≌△DAF，
∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，
∵∠CDA=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE=DF，DE⊥DF；

（2）∵DE=DF，DE⊥DF，
∴EF=DE=DF，
∴当DE和DF同时最短时，EF最短，
∴当DF⊥AC，DE⊥AB时，二者最短，
∴此时点P与点D重合，
∴点P与点D重合时，线段EF最短．

点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形及矩形的性质，解题的关键是能够证得两个三角形全等，难度不大．

12．（8分）（2015•淄博）为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表：

小明家
爷爷家
屋顶收集雨水面积（m2）
160
120
蓄水池容积（m3）
50
13
蓄水池已有水量（m3）
34
11.5
气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？

考点：
分式方程的应用．菁优网版权所有
分析：
由题意可知：屋顶收集雨水面积的比等于所收集雨水体积的比，由此设出未知数，列出方程解答即可．
解答：
解：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，由题意得
=，
解得：x=6，
经检验：x=6是所列方程的根．
答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池．
点评：
此题考查分式方程的实际运用，利用底面积的比与体积的比相同联立方程是解决问题的关键．

13．（9分）（2015•淄博）如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC=2，S△ABC=1．设BP=x，平行四边形AFPE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．

考点：
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析：
（1）由平行四边形的性质得出PF∥CA，证出△BFP∽△BAC，得出面积比等于相似比的平方，得出S△BFP=，同理：S△PEC=（）2，即可得出y与x的函数关系式；
（2）由﹣＜0得出y有最大值，把（1）中函数关系式化成顶点式，即可得出结果．
解答：
解：（1）∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF∥CA，
∴△BFP∽△BAC，
∴=（）2，
∵S△ABC=1，
∴S△BFP=，
同理：S△PEC=（）2，
∴y=1﹣﹣，
∴y=﹣+x；
（2）上述函数有最大值，最大值为；理由如下：
∵y=﹣+x=﹣（x﹣1）2+，﹣＜0，
∴y有最大值，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为．
点评：
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出关系式是解决问题的关键．

14．（9分）（2015•淄博）如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．
（1）当PB=PC时，求tan∠APB的值；
（2）当P是上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB•tan∠DPC的值．

考点：
全等三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有
分析：
（1）首先过点B作BE∥PC，与PA交于点E，根据AB=BC，可得，推得EB=PB；然后根据BC是⊙O的直径，求tan∠APB的值是多少即可．
（2）首先过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE△CBP，即可判断出BE=BP，AE=CP；最后推得tan∠APB=，tan∠DPC=，据此求出tan∠APB•tan∠DPC的值是多少即可．
解答：
解：（1）如图1，过点B作BE∥PC，与PA交于点E，
，
∵AB=BC，
∴，
∴EB=，
∵PB=，
∴EB=PB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，∠PBE=90°，
∴tan∠APB=．

（2）如图2，过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E，
，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，∠AEP=90°，
在△ABE和△CBP中，

∴△ABE△CBP，
∴BE=BP，AE=CP，
∴tan∠APB=，
∴tan∠DPC=，
∴tan∠APB•tan∠DPC=，
即tan∠APB•tan∠DPC的值为．
点评：
（1）此题主要考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（3）此题还考查了解直角三角形问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解直角三角形时要用到的关系．

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