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2016年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．（3分）如图所示，是一个空心圆柱，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）某支青年排球队有12名队员，队员年龄情况如图所示，那么球队队员年龄的众数、中位数分别是（　　）

A．19，19 B．19，20 C．20，20 D．22，19
4．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）反比例函数y＝的图象上有两点（﹣2，y1）（1，y2），那么y1与y2的关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
6．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是（　　）

A．90° B．95° C．100° D．120°
7．（3分）如图，AD为△ABC的BC边上的中线，沿AD将△ACD折叠，C的对应点为C′，已知∠ADC＝45°，BC＝4，那么点B与C′的距离为（　　）

A．3 B．2 C．2 D．4
8．（3分）商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（　　）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
9．（3分）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（　　）

A．a＞0
B．b＞0
C．c＜0
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x2﹣3x＝　 　．
12．（3分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是　 　．
13．（3分）如图，直线a∥b，且被直线c所截，已知∠1＝110°，那么∠2的度数为　 　．

14．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么线段OA的长为　 　．

15．（3分）如图，在高出海平面120m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为　 　米．（结果用根号表示）

16．（3分）一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前　 　小时到达B地．

三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．（8分）（1）计算：|﹣1|+（﹣2016）0﹣2sin60°；
（2）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣3．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，6），B（﹣4，2），C（﹣1，2）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请画出△A2BC2，并求出线段AB在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．

19．（8分）我市某中学为了解学生的体质健康状况，随机抽取若干名学生进行测试，测试结果分为A：良好、B：合格、C：不合格三个等级．并根据测试结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了　 　人，扇形统计图中C部分圆心角的度数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1800名学生，请估计体质健康状况为“合格”的学生有多少人？

20．（8分）有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18t，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38t，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满．
（1）两种车型的载重量各是多少？
（2）若大卡车运送一次的费用为200元，小卡车运送一次的费用为60元，在第一次运送过程中怎样安排大小车辆，才能使费用最少？（直接写出派车方案）
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．
（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；
（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG＝FB．
①求证：DE⊥FG；
②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

22．（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2016年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．
2．【分析】俯视图是分别从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：它的俯视图为：
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．【分析】根据条形统计图可以的这组数据的中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由条形统计图可知，
某支青年排球队12名队员年龄的众数是19，中位数是19，
故选：A．
【点评】本题考查中位数和众数的定义，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的中位数和众数．
4．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解不等式组得：，再分别表示在数轴上即可得解．
【解答】解：由1﹣x≤0，得x≥1，又x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3．
A选项代表x≤1；
B选项代表1≤x＜3；
C选项代表x≤1或x＞3；
D选项代表x＞3．
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．【分析】直接把点（﹣2，y1）（1，y2）代入反比例函数y＝，求出y1与y2的值，并比较大小即可．
【解答】解：∵点（﹣2，y1）（1，y2）在反比例函数y＝上，
∴y1＝＝﹣3，y2＝＝6．
∵﹣3＜6，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝100°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．【分析】根据折叠前后角相等可知∠CDC′＝90°，从而得∠BDC′＝90°，在Rt△BDC′中，由勾股定理得BC′＝2．
【解答】解：∵把△ADC沿AD对折，点C落在点C′，
∴△ACD≌△AC′D，
∴∠ADC＝∠ADC′＝45°，DC＝DC′，
∴∠CDC′＝90°，
∴∠BDC′＝90°．
又∵AD为△ABC的中线，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2．
∴BD＝DC′＝2，即三角形BDC′为等腰直角三角形，
在Rt△BDC′中，由勾股定理得：BC′＝＝＝2．
故选：B．
【点评】本题考查图形的翻折变换以及勾股定理的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
8．【分析】利用打折是在标价的基础之上，利润是在进价的基础上，进而得出等式求出即可．
【解答】解：设原价为x元，根据题意可得：
80%x＝140+20，
解得：x＝200．
所以该商品的原价为200元；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键．
9．【分析】作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA＝OB＝4，AC＝OC＝2，∠BOA＝60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC＝2，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′＝∠BOB′＝60°，OA＝OB＝OA′＝OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．
【解答】解：作BC⊥x轴于C，如图，

∵△OAB是边长为4的等边三角形
∴OA＝OB＝4，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，
∴A点坐标为（﹣4，0），O点坐标为（0，0），
在Rt△BOC中，BC＝＝2，
∴B点坐标为（﹣2，2）；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′＝∠BOB′＝60°，OA＝OB＝OA′＝OB′，
∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为（﹣2，2），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
10．【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
【解答】解：①∵开口向下，∴a＜0，A错误；
②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；
③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；
④因为与x轴有两个交点，所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【分析】原式提取x即可得到结果．
【解答】解：原式＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据平角的定义即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝110°，
∴∠3＝∠1＝110°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
14．【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD＝AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴OA：OD＝AB：CD，即OA：2＝4：3，
∴OA＝．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
15．【分析】根据解直角三角形的应用，测得它的俯角为30°，得出tan30°＝，整理代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为30°，
∴tan30°＝，
∴船与观测者之间的水平距离BC＝＝120米．
故答案为：120．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出BC＝是解决问题的关键．
16．【分析】由题意可知汽车2小时形式的路程为160千米，从而可求得汽车行驶的速度，然后依据路程÷速度＝时间可求得按照原来速度形式所需要的时间，故此可求得提前的时间．
【解答】解：320﹣160＝160千米，
160÷2＝80千米/小时．
320÷80＝4小时．
6﹣4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据函数的图形求得汽车原来的速度是解题的关键．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．【分析】（1）分别根据绝对值的性质、0指数幂的运算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1﹣2×
＝﹣
＝0；

（2）原式＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
18．【分析】（1）分别画出A、B、C关于y轴对称点即可解决问题．
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，只要分别画出A2、C2即可，再根据线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝计算即可．
【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1图象如图1所示．

（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2图象如图2所示，

线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝•π•52＝．
【点评】本题考查旋转变换、轴对称变换、扇形的面积等知识，解题的关键是正确画好图形，记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．
19．【分析】（1）由B等级人数及百分比即可得被调查总人数，用360°乘以C等级所占比例可得其对应扇形圆心角度数；
（2）总人数减去B、C等级人数可得A等级人数即可补全统计图；
（3）用总人数乘以样本中B等级对应百分比即可得．
【解答】解：（1）此次调查共抽取了72÷60%＝120（人），扇形统计图中C部分圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：120，36°；

（2）A等级人数为：120﹣72﹣12＝36，
补全图形如下：

（3）1800×60%＝1080（人），
答：估计体质健康状况为“合格”的学生有1080人．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．【分析】（1）设大卡车的载重量为x吨，小卡车的载重量为y吨，根据一辆大卡车和5辆小卡车一次运货18吨以及两辆大卡车和11辆小卡车一次运货38吨，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一辆大卡车及一辆小卡车的载重量可得出一辆大卡车的载重量是小卡车的4倍，结合运费之间的关系即可得出运费最低的派车方案．
【解答】解：（1）设大卡车的载重量为x吨，小卡车的载重量为y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：大卡车的载重量为8吨，小卡车的载重量为2吨．
（2）∵8÷2＝4，60×4＝240＞200，
∴尽可能多的派大卡车．
当派3辆大卡车时，运费为200×3＝600（元）；
当派2辆大卡车、1辆小卡车时，运费为200×2+60＝460（元），
∵600＞460，
∴安排2辆大卡车1辆小卡车，才能使费用最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
21．【分析】（1）利用判定定理（SAS）可证；
（2）①利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG＝90°即可；
②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，
∴∠DCE＝∠BCE，CD＝CB
在△BCE与△DCE中，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
（2）①证明：∵由（1）可知△BCE≌△DCE，
∴∠FDE＝∠FBC
又∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠DFG＝∠BGF，∠CFB＝∠GBF，
又∵FG＝FB，
∴∠FGB＝∠FBG，
∴∠DFG＝∠CFB，
又∵∠FCB＝90°，
∴∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠EDF+∠DFG＝90°，
∴DE⊥FG
②解：如下图所示，

∵△BFG为等边三角形，
∴∠BFG＝60°，
∵由（1）知∠DFG＝∠CFB＝60°，
在Rt△FCB中，∠FCB＝90°，
∴FC＝CB•cot60°＝，DF＝2﹣，
又∵DE⊥FG，
∴∠FDE＝∠FED＝30°，OD＝OE，
在Rt△DFO中，
OD＝DF•cos30°＝﹣1，
∴DE＝2（﹣1）
【点评】本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学知识的能力．
22．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）先判断出四边形AOCP面积的最大值时，点P的位置，求出点P的坐标，再用面积差，求出四边形AOCP面积的最大值为16，
（3）①当AB平行四边形的边时，CQ∥AB，CQ＝AB，求出AB，从而得到CQ，求出点Q的坐标，
②当AB为对角线时，CQ必过AB中点，且被AB平分，先求出CQ解析式，利用对角线互相平分求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4，
（2）如图1，

由（1）有，二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，得x＝﹣4，或x＝1，
∴B（1，0）
连接AC，PA，PC，
∴点P是直线AC平移之后和抛物线只有一个交点时，点P到直线AC的距离最大，所以S△PAC最大，即：S四边形AOCP最大；
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴直线AC解析式为y＝x+4，
设直线AC平移后的直线解析式为y＝x+4+b，
∴，
∴x2+4x+b＝0，
∴△＝16﹣4b＝0，
∴b＝4，
∴点P（﹣2，6），
过点P作PD⊥y轴
∴PD＝2，OD＝4，
∵A（﹣4，0），C（0，4）
∴OA＝4，OC＝4，
∴CD＝2，
∴S四边形AOCP＝S梯形AODP﹣S△PCD＝（PD+OA）×OD﹣PD×CD＝（2+4）×6﹣×2×2＝16．
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，
理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ＝AB
过点C，平行于AB的直线l，
∵C（0，4），
∴直线l解析式为y＝4，
∴点Q在直线l上，
设Q（d，4），
∴CQ＝|d|
∵A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝5，
∴|d|＝5，
∴d＝±5，
∴Q（﹣5，4）或（5，4），
②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，
∵A（﹣4，0），B（1，0），
∴线段AB中点坐标为（﹣，0），
∵C（0，4），
∴直线CQ解析式为y＝x+4，
设点Q（m，m+4），
∴＝，
∴m＝0（舍）或m＝﹣3，
∴Q（﹣3，﹣4），
即：满足条件的点Q的坐标为Q（﹣5，4）或（5，4）或（﹣3，﹣4）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，平行四边形的性质，极值的确定，中点坐标，解本题的关键是确定出抛物线解析式，难点是分类讨论和点P的位置和坐标的确定．
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