2013年四川省南充市中考数学试卷.doc

2013年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号涂在相应的答题卡内，涂写正确记3分，不涂、涂错或涂出的代号超过一个记0分．
1．（3分）计算﹣2+3的结果是（　　）
A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．5
2．（3分）0.49的算术平方根的相反数是（　　）
A．0.7 B．﹣0.7 C．±0.7 D．0
3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是（　　）

A．70° B．55° C．50° D．40°
4．（3分）“一方有难，八方支援”2013年4月20日四川芦山县遭遇强烈地震灾害，我市某校师生共为地震灾区捐款135000元用于灾后重建，把135000用科学记数法表示为（　　）
A．1.35×106 B．13.5×105 C．1.35×105 D．13.5×104
5．（3分）不等式组的整数解是（　　）
A．﹣1，0，1 B．0，1 C．﹣2，0，1 D．﹣1，1
6．（3分）下列图形中，∠2＞∠1的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，函数y1＝与y2＝k2x的图象相交于点A（1，2）和点B，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞1 B．﹣1＜x＜0
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
9．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．12 B．24 C．12 D．16
10．（3分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，y＝t2；③直线NH的解析式为y＝﹣t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒，
其中正确结论的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（3分）﹣3.5的绝对值是　 　．
12．（3分）分解因式：x2﹣4（x﹣1）＝　 　．
13．（3分）点A，B，C是半径为15cm的圆上三点，∠BAC＝36°，则的长为　 　cm．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝　 　．

三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
15．（6分）计算：（﹣1）2013+（2sin30°+）0﹣+（）﹣1．
16．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．
求证：OE＝OF．

17．（6分）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行体能测试，成绩分别记为A、B、C、D共四个等级，其中A级和B级成绩为“优”，将测试结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．
（1）求抽取参加体能测试的学生人数．
（2）估计该校九年级全体学生参加体能测试成绩为“优”的学生共有多少人？
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
18．（8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

19．（8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于E．
（1）求证：△APB∽△PEC；
（2）若CE＝3，求BP的长．

五、（满分8分）
20．（8分）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
六、（满分8分）
21．（8分）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据；sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）．
（1）求M，N两村之间的距离；
（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．

七、（满分8分）
22．（8分）如图，二次函数y＝x2+bx﹣3b+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b﹣2，2b2﹣5b﹣1）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F．若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．

2013年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号涂在相应的答题卡内，涂写正确记3分，不涂、涂错或涂出的代号超过一个记0分．
1．【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：﹣2+3＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的加法法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．【分析】先算出0.49的算术平方根，然后求其相反数即可．
【解答】解：0.49的算术平方根为＝0.7，
则0.49的算术平方根的相反数为：﹣0.7．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根及相反数的知识，属于基础题，掌握各知识点概念是解题的关键．
3．【分析】根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣2∠B＝180°﹣2×70°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将135000用科学记数法表示为1.35×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：，
由不等式①，得x＞﹣2，
由不等式②，得x≤1.5，
所以不等组的解集为﹣2＜x≤1.5，
因而不等式组的整数解是﹣1，0，1．
故选：A．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．【分析】根据对顶角相等、平行四边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质求解，即可求得答案．
【解答】解：A、∠1＝∠2（对顶角相等），故本选项错误；
B、∠1＝∠2（平行四边形对角相等），故本选项错误；
C、∠2＞∠1（三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），故本选项正确；
D、如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2．
故本选项错误．
故选：C．

【点评】此题考查了对顶角相等、平行四边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用
7．【分析】由在五张形状、质地、大小完全相同的卡片上，正面分别画有：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵五张形状、质地、大小完全相同的卡片上，正面分别画有：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆，卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段、圆，
∴从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是：．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及轴对称图形、中心对称图形的知识．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．【分析】把A的坐标代入函数的解析式求出函数的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，得出B的坐标，根据A、B的坐标，结合图象即可得出答案．
【解答】解：∵把A（1，2）代入y1＝得：k1＝2，
把A（1，2）代入y2＝k2x得：k2＝2，
∴y1＝，y2＝2x，
解方程组得：，，
即B的坐标是（﹣1，﹣2），
∴当y1＜y2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1，
故选：C．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的交点问题等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力．
9．【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折叠的性质可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，
由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．
在Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝2，即AB＝2，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝2×8＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
10．【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
【解答】解：①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，
∴BC＝BE＝5cm，
∴AD＝BE＝5（故①正确）；

②如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2（故②正确）；

③根据5﹣7秒面积不变，可得ED＝2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC＝11，
故点H的坐标为（11，0），
设直线NH的解析式为y＝kx+b，
将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：，
解得：．
故直线NH的解析式为：y＝﹣t+，（故③错误）；

④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：
∵tan∠PBQ＝tan∠ABE＝，
∴＝，即＝，
解得：t＝．（故④正确）；
综上可得①②④正确，共3个．
故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．
【解答】解：﹣3.5的绝对值是3.5，
故答案为：3.5．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
12．【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．
【解答】解：x2﹣4（x﹣1）
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2．
故答案为：（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解的能力，要会熟练运用完全平方公式分解因式．
13．【分析】做出图形，根据∠BAC＝36°，求出圆心角∠BOC的度数，然后根据弧长公式：l＝即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝36°，
∴圆心角∠BOC＝72°，
则弧长l＝＝＝6π．
故答案为：6π．

【点评】本题考查了弧长的计算公式，属于基础题，解答本题的关键是根据圆周角的度数求出圆心角，要求同学们熟练掌握弧长公式．
14．【分析】延长CA使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，根据题干条件证明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在Rt△BGF中，求出tanF的值，进而求出tanE的值．
【解答】解：延长CA使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠BAF＝135°，
∵AE⊥AC，
∴∠BAE＝135°，
∴∠BAF＝∠BAE，
∵在△BAF和△BAE中，
，
∴△BAF≌△BAE（SAS），
∴∠E＝∠F，
∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，
∴G是AC的中点，
∴BG＝AG＝2，
在Rt△BGF中，
tanF＝＝，
即tanE＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题能正确作出辅助线也是解答关键所在，此题是一道不错的中考试题．
三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
15．【分析】原式第一项表示2013个﹣1的乘积，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用立方根的定义化简，最后一项利用负指数幂法则计算，即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣2+3＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，平方根的定义，绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，AB∥CD，又由∠AOE＝∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出抽取参加体能测试的学生人数；
（2）由抽取人数乘以C等级所占的百分比求出C等级的人数，进而求出等级B的人数，A等级与B等级人数之和除以50求出成绩为“优”的学生所占的百分比，再乘以总人数即可求出所求．
【解答】解：（1）参加体能测试的学生人数为60÷30%＝200（人）；

（2）C等级人数为200×20%＝40（人），
则B等级的人数为200﹣（60+15+40）＝85（人），
“优”生共有人数为1200×＝870（人）．
【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
18．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；
（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，
，
解得．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；

（2）∵y＝﹣x+180，
∴W＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣x+180）
＝﹣x2+280x﹣18000
＝﹣（x﹣140）2+1600，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝140时，W最大＝1600，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键．
19．【分析】（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，可得∠B＝∠C＝60°，又由∠APE+∠EPC＝∠B+∠BAP，∠APE＝∠B，可证得∠BAP＝∠EPC，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△APB∽△PEC；
（2）首先过点A作AF∥CD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，又由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC＝∠B+∠BAP，
∵∠APE＝∠B，
∴∠BAP＝∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：过点A作AF∥CD交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠AFB＝∠C＝∠B＝60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴CF＝AD＝3，AB＝BF＝7﹣3＝4，
∵△APB∽△PEC，
∴，
设BP＝x，则PC＝7﹣x，
∵EC＝3，AB＝4，
∴，
解得：x1＝3，x2＝4，
经检验：x1＝3，x2＝4是原分式方程的解，
∴BP的长为：3或4．

【点评】此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
五、（满分8分）
20．【分析】（1）利用求根公式x＝解方程；
（2）利用（1）中x的值来确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意，得m≠1．
∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，
则x1＝＝，
x2＝1；

（2）由（1）知，x1＝＝1+，
∵方程的两个根都为正整数，
∴是正整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，
解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．
六、（满分8分）
21．【分析】（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度．
（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，求出MG的长度即可．
【解答】解：（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，如图：

在Rt△ACM中，∠CAM＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°＝＝0.6，
∴CM＝3，AC＝＝4km，
在Rt△ANE中，∠NAE＝90°﹣53.5°＝36.5°，AN＝10km，
∵sin36.5°＝＝0.6，
∴NE＝6，AE＝＝8km，
∴MD＝CD﹣CM＝AE﹣CM＝5km，ND＝NE﹣DE＝NE﹣AC＝2km，
在Rt△MND中，MN＝＝km．

（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，
此时PM+PN＝PM+PG＝MG，
在Rt△MDG中，MG＝＝＝5km．
答：最短距离为5km．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大．
七、（满分8分）
22．【分析】（1）将点（b﹣2，2b2﹣5b﹣1）代入抛物线解析式，求出未知数，从而得到抛物线的解析式；
（2）利用垂径定理及勾股定理，求出点M的坐标；
（3）首先，证明△AME≌△DMF，从而将“△DMF为等腰三角形”的问题，转化为“△AME为等腰三角形”的问题；其次，△AME为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，逐一分析计算．
【解答】解：（1）把点（b﹣2，2b2﹣5b﹣1）代入抛物线解析式，得：
2b2﹣5b﹣1＝（b﹣2）2+b（b﹣2）﹣3b+3
解得b＝2，
故抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．

（2）由x2+2x﹣3＝0，得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，圆心M在直线x＝﹣1上，
∴设M（﹣1，n），作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，连接MC，MB．
∴MH＝1，BG＝2．
∵MB＝MC，∴BG2+MG2＝MH2+CH2，
∴4+n2＝1+（3+n）2
解得n＝﹣1，
∴点M（﹣1，﹣1）．

（3）如图，由M（﹣1，﹣1），得MG＝MH．
∵MA＝MD，
∴Rt△AMG≌Rt△DMH，∴∠1＝∠2．
由旋转可知∠3＝∠4，
∴△AME≌△DMF．
若△DMF为等腰三角形，则△AME必为等腰三角形．
设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况：
①AE＝AM＝，则x＝﹣3，∴E（﹣3，0）；
②∵点M在AB的垂直平分线上，
∴MA＝ME＝MB，∴E（1，0）；
③点E在AM的垂直平分线上，则AE＝ME．
AE＝x+3，ME2＝MG2+EG2＝1+（﹣1﹣x）2
∴（x+3）2＝1+（﹣1﹣x）2
解得：x＝，∴E（，0）．
∴所求点E的坐标为（﹣3，0），（1，0），（，0）．

【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、全等三角形、旋转等知识点，是代数与几何的综合题．第（3）问中，注意转化思想以及分类讨论思想的运用．
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