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2012年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算：2﹣（﹣3）的结果是（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x6 B．m2•m3＝m6 C．3﹣＝3 D．×＝7
3．（3分）下列几何体中，俯视图相同的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．（3分）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝5x2+6 D．y＝﹣0.5x﹣1
5．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2＝0的解是（　　）
A．2 B．﹣2，1 C．﹣1 D．2，﹣1
6．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．1.65，1.70 B．1.70，1.70 C．1.70，1.65 D．3，4
8．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠ B．x≤ C．x＜ D．x≥
9．（3分）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（　　）
A．120° B．180° C．240° D．300°
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径长为1，点P（a，0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（　　）

A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）请将答案直接填在题中横线上
11．（3分）不等式x+2＞6的解集为　 　．
12．（3分）分解因式：x2﹣4x﹣12＝　 　．
13．（3分）如图，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为　 　．

14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积为24cm2，则AC长是　 　cm．

三、（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号的和等于4．
17．（6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD．
求证：∠B＝∠E．

四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分））
18．（8分）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．
19．（8分）矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值．

20．（8分）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
21．（8分）在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：MA＝MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

22．（8分）如图，⊙C的内接△AOB中，AB＝AO＝4，tan∠AOB＝，抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．

2012年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数计算．
【解答】解：2﹣（﹣3）＝2+3＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2．【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，进行计算，即可选出答案．
【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故A选项错误；
B、m2•m3＝m5，故B选项错误；
C、3﹣＝2，故C选项错误；
D、×＝＝7，故D选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的乘法，关键是熟练掌握各种计算的计算法则．
3．【分析】根据简单和几何体的三视图判断方法，判断圆柱、圆锥、圆柱与圆锥组合体、圆台的俯视图，得出满足题意的几何体即可．
【解答】解：①的三视图中俯视图是圆，但无圆心；
②的俯视图是圆，有圆心；
③的俯视图也都是圆，有圆心；
④的俯视图都是圆环．
故②③的俯视图是相同的；
故选：C．
【点评】本题考查了判断简单和几何体的三视图，注意简单几何体的三视图的特征，是中考中常考题型．
4．【分析】根据正比例函数的定义，y＝kx（k≠0），对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、y＝﹣8x是正比例函数，故本选项正确；
B、y＝，自变量x在分母上，不是正比例函数，故本选项错误；
C、y＝5x2+6，自变量x的指数是2，不是1，不是正比例函数，故本选项错误；
D、y＝﹣0.5x﹣1，是一次函数，不是正比例函数，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
5．【分析】先提取公因式x﹣2，然后利用因式分解法解一元二次方程求解．
【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
所以，x﹣2＝0，x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，把方程的左边正确进行因式分解是解题的关键．
6．【分析】根据矩形的面积得到y与x之间的函数关系式，根据x的范围以及函数类型即可作出判断．
【解答】解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y＝（x＞0）．
是反比例函数，且图象只在第一象限．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，注意x的取值范围x＞0，容易出现的错误是忽视取值范围，选择B．
7．【分析】根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答．
【解答】解：15名运动员，按照成绩从低到高排列，第8名运动员的成绩是1.70，
所以中位数是1.70，
同一成绩运动员最多的是1.65，共有4人，
所以，众数是1.65．
因此，中位数与众数分别是1.70，1.65．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数与众数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数；众数是出现次数最多的数据，众数有时不止一个．
8．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，1﹣2x≥0且x﹣≠0，
解得x≤且x≠，
所以x＜．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积＝πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2＝πrR，
∴R＝2r，
设圆心角为n，有＝2πr＝πR，
∴n＝180°．
故选：B．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
10．【分析】应分两个圆相内切和相外切两种情况进行讨论，求得P到O的距离，即可得到a的值．
【解答】解：当两个圆外切时，圆心距d＝1+2＝3，即P到O的距离是3，则a＝±3．
当两圆相内切时，圆心距d＝2﹣1＝1，即P到O的距离是1，则a＝±1．
故a＝±1或±3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系与数量关系，注意两圆相切时应分内切与外切两种情况进行讨论．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）请将答案直接填在题中横线上
11．【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项即可．
【解答】解：移项得，x＞6﹣2，
合并同类项得，x＞4．
故答案为：x＞4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，比较简单，注意移项要变号．
12．【分析】因为﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
13．【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．
【解答】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；
此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．
14．【分析】先根据四边形内角和定理判断出∠2+∠B＝180°，再延长至点E，使DE＝BC，连接AE，由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADE，故可得出△ACE是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积为24cm2即可得出结论．
【解答】解：延长CD至点E，使DE＝BC，连接AE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠2+∠B＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠B＝180°，
∴∠1＝∠B，
在△ABC与△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠EAD＝∠BAC，AC＝AE，S△AEC＝S四边形ABCD
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAC＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵四边形ABCD的面积为24cm2，
∴AC2＝24，解得AC＝4或﹣4，
∵AC为正数，
∴AC＝4．
故答案为：4．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形及等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式进行解答即可．
三、（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
15．【分析】首先把的分母分解因式，再约分，然后根据同分母分式加法法则：同分母的分式相加，分母不变，把分子相加，进行计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝
＝1．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，关键是熟练掌握计算法则，注意观察式子特点，确定方法后再计算．
16．【分析】（1）根据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的情况有4种，再计算概率；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
【解答】解：（1）如图：

两次取的小球的标号相同的情况有4种，
概率为P＝＝．

（2）如图，

随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率P＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率＝．
17．【分析】先根据等腰梯形的性质得出∠B＝∠BCD，再根据平行线的性质得出∠BCD＝∠CDE，∠B＝∠CDE，再根据CE＝CD即可得出∠CDE＝∠E，进而得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B＝∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴∠B＝∠CDE．
∵CE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形，
∴∠CDE＝∠E，
∴∠B＝∠E．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质及等腰梯形的性质，熟知等腰梯形的两底角相等是解答此题的关键．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分））
18．【分析】（1）因为方程有两个实数根，所以△≥0，据此即可求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1代入2（x1+x2）+x1x2+10＝0，解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴9﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤；

（2）∵x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，
又∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0，
∴2×（﹣3）+m﹣1+10＝0，
∴m＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，直接将两根之和与两根之积用m表示出来是解题的关键．
19．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A＝∠D＝90°，∠AFE＝∠DEC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，tan∠ECF＝，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵△AEF∽△DCE，
∴，
∵矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，
∴DC＝AB＝2AD＝4AE，
∴tan∠ECF＝＝．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
20．【分析】（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．根据题意：“租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元”；“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”；列出方程组，求解即可；
（2）根据汽车总数不能小于（取整为6）辆，即可求出共需租汽车的辆数；设租用大车m辆，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，由题意得出400m+300（6﹣m）≤2300，得出取值范围，分析得出即可．
【解答】解：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．
可得方程组，
解得．
答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元；

（2）由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；
又要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为6）辆，
综合起来可知汽车总数为6辆．
设租用m辆大型车，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，
即Q＝400m+300（6﹣m）；
化简为：Q＝100m+1800，
依题意有：100m+1800≤2300，
∴m≤5，
又要保证240名师生有车坐，45m+30（6﹣m）≥240，解得m≥4，
所以有两种租车方案，
方案一：4辆大车，2辆小车；
方案二：5辆大车，1辆小车．
∵Q随m增加而增加，
∴当m＝4时，Q最少为2200元．
故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解．
21．【分析】（1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME＝MF，再根据同角的余角相等可得∠AME＝∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，设OA＝x，表示出AE为2﹣x，即BF的长度，然后表示出OB＝2+（2﹣x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出AB的长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出△AOB的周长随AB的变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值，然后解答即可．
【解答】（1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O＝90°，∠MEO＝90°，∠OFM＝90°
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP＝OQ＝4，∠O＝90°，
∴ME＝OQ＝2，MF＝OP＝2，
∴ME＝MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF＝90°，∠BMF+∠AMF＝90°，
∴∠AME＝∠BMF，
在△AME和△BMF中，，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA＝MB；

（2）解：有最小值，最小值为4+2．
理由如下：根据（1）△AME≌△BMF，
∴AE＝BF，
设OA＝x，则AE＝2﹣x，
∴OB＝OF+BF＝2+（2﹣x）＝4﹣x，
在Rt△AME中，AM＝＝，
∵∠AMB＝90°，MA＝MB，
∴AB＝AM＝•＝，
△AOB的周长＝OA+OB+AB＝x+（4﹣x）+＝4+，
所以，当x＝2，即点A为OP的中点时，△AOB的周长有最小值，最小值为4+，
即4+2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，以及二次函数的最值问题，作出辅助线，把动点问题转化为固定的三角形，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
22．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；
（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．
如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），
∴，
解得
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x．

（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB．
过O点作OF⊥AD于F，
∴四边形OFAE是矩形，
∵tan∠AOB＝，
∴sin∠AOB＝，
∴AE＝OA•sin∠AOB＝4×＝2.4，
OD＝OA•tan∠OAD＝OA•tan∠AOB＝4×＝3．
当PQ⊥AD时，OP＝t，DQ＝2t．
在Rt△ODF中，
∵OD＝3，OF＝AE＝2.4，DF＝DQ﹣FQ＝DQ﹣OP＝2t﹣t＝t，
由勾股定理得：DF＝＝＝1.8，
∴t＝1.8秒；

（3）如答图2，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），
此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．
∵tan∠AOB＝，∴直线OB的解析式为y＝x，
由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y＝x+b．
∵点R既在直线l上，又在抛物线上，
∴x2﹣2x＝x+b，化简得：2x2﹣11x﹣4b＝0．
∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），
∴判别式△＝0，即112+32b＝0，解得b＝﹣，
此时原方程的解为x＝，即xR＝，
而yR＝xR2﹣2xR＝
∴点R的坐标为R（，）．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点．难点在于第（3）问，判定何时△ROB的面积最大是解决问题的关键．本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答．
本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨．
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