2016年辽宁省铁岭市中考数学试卷（解析）.doc

2016年辽宁省铁岭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分）
1．【分析】根据绝对值的定义：数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．则﹣3的绝对值就是表示﹣3的点与原点的距离．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答．
【解答】解：左视图有只有1列，有2个小正方体．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．【分析】根据积的乘方法则、单项式除单项式、合并同类项法则、平方差公式进行计算，判断即可．
【解答】解：A、（a2）5＝a2×5，＝a10，本选项计算错误；
B、3a3b2÷a2b2＝3a，本选项计算错误；
C、4b3+2b3+b3＝7b3，本选项计算错误；
D、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，本选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是整式的混合运算，掌握积的乘方法则、单项式除单项式、合并同类项法则、平方差公式是解题的关键．
4．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、此图是轴对称图形，但不是中心对称图形；故此选项错误；
B、此图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图是轴对称图形，但不是中心对称图形；故此选项错误；
D、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．【分析】将数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：这组数据从小到大排列为35、36，36，36，37，38，38、40，
所以这组数据的众数为36，中位数为＝36.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
7．【分析】由作图知BA＝BC，利用等边对等角的性质即可得出答案．
【解答】解：由作图可知BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA＝63°，则∠BCN＝180°﹣∠BCA＝117°，
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边对等角的性质．
8．【分析】用阴影部分的面积除以所有部分的面积即可得到小虫停留在阴影区域内的概率．
【解答】解：由图知：小虫停留在阴影区域内的概率＝＝，
故选：B．
【点评】考查了几何概率的知识，解题的关键是了解阴影部分占总体的多少，难度不大．
9．【分析】先求得点P的横坐标，再写出直线y＝kx在直线y＝x+1下方时所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1的图象经过点P，点P的纵坐标是2，
∴2＝x+1，
∴x＝1，即P（1，2），
由图可得，不等式kx＜x+1的解集是x＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点P的坐标是解决问题的关键．
10．【分析】直接利用平行四边形的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABE和△EOD的面积，进而得出四边形ABCD的面积，即可得出反比例函数的解析式．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△EOD∽△BOC，
∵OE：EB＝1：2，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：S△EOD＝，
∵AB∥DO，
∴△ABE∽△DOE，
∵＝，
∴＝4，
∴S△ABE＝4×＝3，
∴四边形ABCD的面积为6+3＝9，
如图，过A作AF⊥x轴于F，则S矩形ABOF＝S平行四边形ABCD＝9，
即|k|＝9，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k＝﹣9，
即函数解析式为：y＝﹣．
故选：C．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识，正确得出四边形ABCD的面积是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数字2130000用科学记数法表示为2.13×106，
故答案为：2.13×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2．
故填：ab（a﹣b）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13．【分析】用总质量乘以这种种子的发芽率即可得．
【解答】解：100kg这种玉米种子中能够发芽的约有100×97%＝97（kg），
故答案为：97．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．【分析】由平均数的公式计算．
【解答】解：这次定点投篮的平均成绩＝（7×2+10×2+11）÷5＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了平均数，掌握平均数的计算是解题的关键．
15．【分析】求出b2﹣4ac，根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣kx+k﹣2＝0
Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣k）2﹣4×1×（k﹣2）
＝k2﹣4k+8
＝k2﹣4k+4+4
＝（k﹣2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查的是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系，①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
16．【分析】将代入方程组得到，再将方程组中①+②相加即可求解．
【解答】解：由已知可得，
①+②，得m+n＝16，
故答案为16．
【点评】本题考查二元一次方程组的解；理解方程组的解与方程组之间的关系是解题的关键．
17．【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的性质得到正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，求出点A′的坐标，得到A′B′＝2，根据正方形的性质解答即可．
【解答】解：以原点O为为位似中心，将正方形ABCD放大为正方形A′B′C′D′，点B的坐标为（﹣1，0）．点B′的坐标为（2，0），
∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴点A′的坐标为（4，0），
∴A′B′＝2，
∴OA′＝4，
∵四边形A′B′C′D′是正方形，
∴A′D′＝A′B′＝2，
∴点D′的坐标为（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、正方形的性质，掌握两个图形必须是相似形、相似多边形的性质是解题的关键．
18．【分析】先求出第一次到第六次旋转的路径的长分别是多少，探究规律后即可解决问题．
【解答】解：第一次旋转的路径长为＝π，
第二次旋转的路径长为＝π，
第三次旋转的路径长为0，
第四次旋转的路径长为π，
第五次旋转的路径长为π，
第六次旋转的路径长为0，
…
由此发现每三次旋转的路径和为π+π＝π．
2016÷3＝672，
∴完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为672×π＝560π．
故答案为560π
【点评】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由零指数幂、负整数指数幂及算术平方根得出a的值，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝，
∵a＝1+3﹣1＝3，
∴原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、负整数指数幂及算术平方根．
20．【分析】（1）用最喜爱文学的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）根据题意补全两幅统计图即可；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人所抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）60÷30%＝200人，
答：本次被调查学生的人数为200人；
（2）最喜爱艺术书籍的人数为：200×20%＝40人，最喜爱科普书籍的人数所占的百分比为：50÷200×100%＝25%，最喜爱体育书籍的人数所占的百分比为：30÷200×100%＝15%，
补全统计图如图所示；
（3）设2名最喜爱文学书籍的学生为A1，A2，2名最喜爱科普书籍的学生为B1，B2，
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的概率＝＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．【分析】（1）依据矩形的性质可知AD∥BE，AD＝BC，结合条件BE＝CB可得到AD＝BE，然后依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）依据矩形的性质可得到AC＝BD＝2OB＝4，由ADBE为平行四边形可知AE＝5，在Rt△ABE中，依据勾股定理可求得BE的长，最后依据平行四边形ADBE的周长＝2×（BE+DE）求解即可．
【解答】解：（1）∵ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
又∵BC＝BE，
∴BE＝AD．
∵AD∥BE，
∴四边形ADBE为平行四边形．
（2）∵ABCD为矩形，OB＝，
∴AC＝BD＝5，∠ABE＝90°
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE＝BD＝5．
在Rt△ABE中，依据勾股定理可知：BE＝＝＝3．
∴平行四边形ADBE的周长＝2×（BE+DE）＝2×（5+3）＝16．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质、平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．【分析】（1）连接OE；先证明OE∥BC，得出∠AEO＝∠ADB，再证明AD⊥BC，得出∠AEO＝90°，OE⊥AD，即可得出结论；
（2）先求出BD、AB，再证明△AOE∽△ABD，得出对应边成比例，即可求出半径，于是求得结论．
【解答】（1）证明：连接OE，如图所示：
则OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠0BE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠ADB，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AD，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝6，
设⊙O的半径为r，则OA＝6﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABD，∠EOF＝60°，
∴＝，
即＝，
解得：r＝2，
∴OE＝3，AO＝4，
∴AE＝2，
∴阴影部分的面积＝﹣＝2﹣π．

【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角函数的运用；熟练掌握切线的判定，并能进行有关推理计算是解决问题的关键．
23．【分析】过点C作C⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，构造直角三角形ACE和BDF，利用直角三角形中特殊角所对应的边角关系，求出AE、BF，进而求得BE、EF，由CD＝EF求得即可．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为点E．过点D作DF⊥AB，垂足为D点F．
∵甲船的速度为30海里/小时，时间为2小时，
∴AC＝30×2＝60海里，
又∵∠CAE＝45°，∴AE＝EC＝海里，
在△BDF中，∵DF＝CE＝，∠DBF＝60°，
∴BF＝＝10，
又∵BE＝AE﹣AB＝﹣33≈9.3，
∴EF＝BF﹣BE＝10﹣9.3≈10×2.45﹣9.3＝15.2海里，
∴CD＝EF＝15.2≈15（海里）
答：行至上午11：00时，两船之间的距离约为15海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．
24．【分析】（1）分x≤10和x＞10两种情况，根据“纯利润＝（售价﹣进价）×销售量﹣每天固定成本”可得函数解析式；
（2）当x≤10时，利用一次函数的增减性求解；当x＞10时将二次函数配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解；综合以上两种情况下的最值，从而得出答案．
【解答】解：（1）当每块月饼售价不超过10元，即x≤10时，y＝300（x﹣6）﹣200＝300x﹣2000；
当每块月饼售价超过10元，即x＞10时，y＝（x﹣6）[300﹣30（x﹣10）]﹣200＝﹣30x2+780x﹣3800；
故答案为：y＝300x﹣2000；y＝﹣30x2+780x﹣3800；

（2）①当x≤10时，y＝300x﹣2000中y随x的增大而增大，
∴当x＝10时，y取得最大值，最大值y＝3000﹣2000＝1000；
②当x＞10时，y＝﹣30x2+780x﹣3800＝﹣30（x﹣13）2+1270，
∵a＝﹣30，
∴当10＜x＜13时，y随x的增大而增大，
∵x≤12，
∴当x＝12时，y取得最大值1240；
综上，当x＝12时，y取得最大值1240；
答：当售价为12元时可使该食品连锁店每天销售这种月饼的纯收入最高，最高纯收入为1240元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式，熟练掌握一次函数和二次函数的性质．
25．【分析】（1）连接AC，如图①，根据全等三角形的性质得∠1＝∠2，OC＝OA，CD＝AB，然后根据等腰三角形的判定与性质进行证明；
（2）如图②，证明△ECB≌△EAD得到AD＝BC，∠ECB＝∠EAD，再根据直角三角形斜边上的中线性质得EF＝FC＝FB＝BC，所以EF＝AD，然后证明∠EAD+∠FEA＝90°，从而得到EF⊥AD；
（3）延长CE到G使EG＝CE，AD与BG相交于M，利用EF为△CBG的中位线得到EF∥BG，EF＝BG，再根据旋转的性质得∠CED＝∠AEB，BE＝DE，接着证明△AED≌△GEB得到AD＝GB，∠DAE＝∠G，所以EF＝AD，然后证明AD⊥BG，从而得到AD⊥EF．
【解答】（1）证明：连接AC，如图①，
∵△AOB≌△COD，
∴∠1＝∠2，OC＝OA，CD＝AB，
∵OC＝OA，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ECA＝∠EAC，
∴EC＝EA，
∴EC﹣CD＝EA﹣AB，
即DE＝BE；
（2）解：如图②，
在△ECB和△EAD中
，
∴△ECB≌△EAD，
∴AD＝BC，∠ECB＝∠EAD，
∵∠AEC＝90°，
而点F为BC的中点，
∴EF＝FC＝FB＝BC，
∴EF＝AD，
∵FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
而∠FEC+∠FEA＝90°，
∴∠EAD+∠FEA＝90°，
∴EF⊥AD；
故答案为EF＝AD，EF⊥AD；
（3）解：（2）中的结论成立．理由如下：
延长CE到G使EG＝CE，AD与BG相交于M，
∵点F为BC的中点，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF∥BG，EF＝BG，
∵图②中的线段EB，ED同时绕点E顺时针方向旋转到图③所示位置，
∴∠CED＝∠AEB，BE＝DE，
∴∠CED+∠CEA＝∠AEB+∠AEG，即∠BEG＝∠AED，
在△AED和△GEB中
，
∴△AED≌△GEB，
∴AD＝GB，∠DAE＝∠G，
∴EF＝AD，
∵∠BHA＝∠EHG，
∴∠AMH＝∠GEH＝90°，
∴AD⊥BG，
∴AD⊥EF．

【点评】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握全等三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线性质．
26．【分析】（1）根据已知条件列方程组即可得到结论；
（2）待定系数法求得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，根据D（t，﹣t+3），得到E（t，﹣t2+t+3），求得DF＝2DE＝﹣t2+6t，如图1，延长FD交OB于H，根据相似三角形的性质得到FG＝，DG＝，根据三角形的周长即可得到结论；
（3）如图2，根据已知条件得到PR＝3，∠PCB＝∠CBO，设PQ＝3m，CQ＝4m，根据勾股定理得到PC＝5m，求得P（5，3），当PR＝RQ时，设PQ＝3m，过R作RD⊥PQ于D，当PQ＝RQ时，过Q作QH⊥PR于于H，如图5，当PQ＝RQ＝3时，根据相似三角形的选择即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），
∴，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C的坐标为（0，3）；
（2）∵C（0，3），B（4，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∵点D的横坐标为t，
∴D（t，﹣t+3），
∵DE∥y轴交抛物线于点E，
∴E（t，﹣t2+t+3），
∴DE＝﹣t2+t+t＝﹣t2+3t，
∵EF＝DE，
∴DF＝2DE＝﹣t2+6t，
如图1，延长FD交OB于H，
∵FG⊥BC，
∴∠FGD＝∠BHD＝90°，
∵∠FDG＝∠BDH，
∴∠F＝∠CBO，
∵∠FGD＝∠BOC＝90°，
∴△FDG∽△BCO，
∴＝＝，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∴＝＝，
∴FG＝，DG＝，
∴L＝﹣t2+6t++，
∴L关于t的函数关系式为：L＝﹣t2+t；
（3）如图2，∵直线m经过点C，直线m∥x轴，PR⊥x轴，
∴PR＝3，∠PCB＝∠CBO，
∵PQ⊥直线BC，
∴tan∠PCB＝tan∠CBO，
∴＝，
∴设PQ＝3m，CQ＝4m，
∴PC＝5m，
当PQ＝PR＝3时，即3m＝3，
∴m＝1，
∴PC＝5，
∴P（5，3），
如图3，当PR＝RQ时，设PQ＝3m，
过R作RD⊥PQ于D，
∴PD＝m，
∵∠RPD+∠CPD＝∠PCB+∠CPD，
∴∠DPR＝∠PCB＝∠CBO，
∴△PDR∽△BOC，
∴＝，
∴＝，
∴m＝，
∴PC＝5m＝8，
∴P（8，3）；
如图4，当PQ＝RQ时，
过Q作QH⊥PR于于H，
∴PH＝PR＝，
同理得△PQH∽△BCO，
∴＝，
∴＝，
∴m＝，
∴PC＝，
∴P（，3），
如图5，当PQ＝RQ＝3时，
∵∠PQC＝∠BOC＝90°，∠PCQ＝∠OBC，
∵OC＝PQ＝3，
∴△CPQ≌△BCO（AAS），
∴CP＝BC＝5，
∴P（﹣5，3），
综上所述，若以三点P，Q，R为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（5，3）或（8，3）或（，3）或（﹣5，3）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，二次函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
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