2009年上海市中考数学试卷及答案.doc

2009年上海市中考数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（2009•上海）抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（　　）
A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）

2．（2009•上海）下列正多边形中，中心角等于内角的是（　　）
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形

3．（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．计算（a3）2的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣1

5．（2009•上海）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．﹣3＜x＜1

6．（2009•上海）用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）
A．y2+y﹣3=0 B．y2﹣3y+1=0 C．3y2﹣y+1=0 D．3y2﹣y﹣1=0

二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（2009•上海）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是　_________　元（结果用含m的代数式表示）．

8．（2009•上海）如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是　_________　．

9．（2009•上海）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么=　_________　．

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离．

11．（2009•上海）在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA=　_________　．

12．（2009•上海）将抛物线y=x2﹣2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是　_________　．

13．（2009•上海）方程的根是x=　_________　．

14．（2009•上海）分母有理化：=　_________　．

15．（2009•上海）如果关于x的方程x2﹣x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=　_________　．

16．反比例函数图象的两分支分别在第　_________　象限．

17．（2009•上海）已知函数f（x）=，那么f（3）=　_________　．

18．（2009•上海）在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是　_________　．

三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（2009•上海）已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）．
（1）添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．
（2）分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是　_________　命题，命题2是　_________　命题（选择“真”或“假”填入空格）．

20．（2009•上海）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

21．（2009•上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，连接AP．当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

22．（2009•上海）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图所示（其中六年级相关数据未标出）．
次数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
1
1
2
2
3
4
2
2
2
0
1
根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：
（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是　_________　；
（2）在所有被测试者中，九年级的人数是　_________　；
（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是　_________　；
（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是　_________　．

23．（2009•上海）计算：

24．（2009•上海）解方程组：

25．（2009•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，∠B=60°，BC=12，连接AC．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．

2009年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（2009•上海）抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（　　）
A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）
考点：二次函数的性质。
专题：配方法。
分析：本题比较容易，考查根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标．
解答：解：因为抛物线y=2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（﹣m，n）．
故选B．
点评：抛物线的顶点式定义的应用．

2．（2009•上海）下列正多边形中，中心角等于内角的是（　　）
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形
考点：多边形内角与外角。
分析：正n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，则它的内角是等于，n边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值．
解答：解：根据题意，得=，
解得：n=4，即这个多边形是正四边形．
故选C．
点评：本题比较容易，考查正多边形的中心角和内角和的知识，也可以对每个结果分别进行验证．

3．（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
考点：平行线分线段成比例。
分析：已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
解答：解：∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选A．
点评：本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．

4．计算（a3）2的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣1
考点：幂的乘方与积的乘方。
分析：根据幂的乘方（am）n=amn，即可求解．
解答：解：原式=a3×2=a6．
故选B．
点评：本题主要考查了幂的乘方法则，正确理解法则是解题关键．

5．（2009•上海）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．﹣3＜x＜1
考点：解一元一次不等式组。
分析：本题比较容易，考查不等式组的解法．
解答：解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＜3，所以不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故选C．
点评：本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

6．（2009•上海）用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）
A．y2+y﹣3=0 B．y2﹣3y+1=0 C．3y2﹣y+1=0 D．3y2﹣y﹣1=0
考点：换元法解分式方程。
专题：换元法。
分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设=y，换元后整理即可求得．
解答：解：把=y代入方程+1=0，得：y﹣+1=0．
方程两边同乘以y得：y2+y﹣3=0．故选A．
点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（2009•上海）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是　100（1﹣m）2　元（结果用含m的代数式表示）．
考点：列代数式。
分析：现在的价格=第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）．
解答：解：第一次降价后价格为100（1﹣m），第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1﹣m）（1﹣m），
即100（1﹣m）2．
点评：本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100（1﹣m）2．

8．（2009•上海）如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是　　．
考点：概率公式。
分析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
解答：解：因为从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，可能出现的结果有6种，选中小明的可能性有一种，所以小明被选中的概率是．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

9．（2009•上海）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么=　　．

考点：*平面向量。
分析：此题主要用到了平行四边形法则，在向量AB，BC已知的情况下，可求出向量AC，又题中AD为中线，所以只要准确把CD表示出来，向量AD即可解决．
解答：解：因为向量，根据平行四边形法则，可得：，，又因为在△ABC中，AD是BC边上的中线，所以，用向量a，b表示向量，那么=．
故答案为：a+b．
点评：本题难度中等，考查向量的知识．

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离．

考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：操作型。
分析：利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可．
解答：解：∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B′，
作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分别为N，D．
又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，
∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，
S△BAC=S△BAM+S△MAC=×3×6
=×MD×3+×6×MN，
∴解得：MD=2，
所以点M到AC的距离是2．

点评：此题主要考查了图形的翻折问题，发现DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．

11．（2009•上海）在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA=　5　．
考点：垂径定理；勾股定理。
分析：作出图象，先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求出．
解答：解：作OC⊥AB，垂足为C，
可得：OC=4，AC=AB=3，
根据勾股定理可得：OA===5．

点评：本题难度中等，考查根据垂径定理求圆的半径．

12．（2009•上海）将抛物线y=x2﹣2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是　y=x2﹣1　．
考点：二次函数图象与几何变换。
分析：根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”．
解答：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2﹣2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x2﹣2+1，即y=x2﹣1．
故答案为：y=x2﹣1．
点评：本题比较容易，考查二次函数图象的平移．

13．（2009•上海）方程的根是x=　2　．
考点：无理方程。
分析：1的算术平方根是1，故x﹣1=1，解得x=2．
解答：解：由题意知x﹣1=1，解得x=2．
点评：算术平方根的被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．

14．（2009•上海）分母有理化：=　　．
考点：分母有理化。
分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以．
解答：解：==．
点评：本题比较容易，考查分母有理化的方法．

15．（2009•上海）如果关于x的方程x2﹣x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=　　．
考点：根的判别式。
分析：根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k的值．
解答：解：∵a=1，b=﹣1，c=k，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×k=1﹣4k=0，解得k=．
点评：本题比较容易，考查一元二次方程根的判别式为零时有两个相等的实数根的应用．

16．反比例函数图象的两分支分别在第　一、三　象限．
考点：反比例函数的性质。
分析：根据反比例函数y=（k≠0）的性质进行解答，当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
解答：解：∵反比例函数的系数k=6＞0，
∴图象两个分支分别位于第一、三象限，
故答案为一、三．
点评：本题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．

17．（2009•上海）已知函数f（x）=，那么f（3）=　　．
考点：函数值。
专题：计算题。
分析：把x=3直接代入函数f（x）=即可求出函数值．
解答：解：因为函数f（x）=，
所以当x=3时，f（x）==﹣．
点评：本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．

18．（2009•上海）在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是　AC=BD或有个内角等于90度　．
考点：矩形的判定。
专题：开放型。
分析：因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
解答：解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD或有个内角等于90度．
点评：矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（2009•上海）已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）．
（1）添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．
（2）分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是　　命题，命题2是　　命题（选择“真”或“假”填入空格）．

考点：全等三角形的判定与性质。
专题：证明题；开放型。
分析：（1）要证AB=DC，可考虑证△AOB≌△DOC．
（2）根据已知及全等三角形的判定方法对两个命题进行分析，从而判断其真假．
解答：证明：（1）∵E为OB的中点，F为OC的中点，
∴OB=2OE，OC=2OF．
∵∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF．
∴OB=OC．
在△AOB与△DOC中，
∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△AOB≌△DOC（AAS）．
∴AB=DC．

（2）对于命题1，可证△AOB≌△DOC得到OB=OC，再得OE=OF，从而能得到∠OEF=∠OFE，故其是真命题；
对于命题2，由所给的条件不能证明△AOB≌△DOC，因此其是假命题．
点评：本题考查的是全等三角形的判定，要牢记全等三角形的判定条件，要记住SSA和AAA是不能证得两三角形全等的．

20．（2009•上海）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
专题：综合题；分类讨论。
分析：（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；
（2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可；
（3）结合（2），可知⊙O的半径也需根据点P的不同位置进行分类讨论．
解答：解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称
∴B（﹣1，0）
∵y=x+b过点B
∴﹣1+b=0，b=1
∴y=x+1
当y=4时，x+1=4，x=3
∴D（3，4）；

（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，
∴OD=．
若△POD为等腰三角形，则有以下三种情况：
①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则OP1=OD=5，
∴P1（5，0）．
②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则DP2=DO=5，
∵DE⊥OP2
∴P2E=OE=3，
∴OP2=6，
∴P2（6，0）．
③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则OP3=DP3，
易知△ONP3∽△DCO．
∴=．
∴=，OP3=．
∴P3（，0）．
综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．

（3）①当P1（5，0）时，P1E=OP1﹣OE=5﹣3=2，OP1=5，
∴P1D=．
∴⊙P的半径为．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为5﹣2．
②当P2（6，0）时，P2D=DO=5，OP2=6，
∴⊙P的半径为5．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为1．
③当P3（，0）时，P3D=OP3=，
∴⊙P的半径为．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为0，即此圆不存在．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，注意到分情况讨论是解决本题的关键．

21．（2009•上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．
（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，连接AP．当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

考点：解直角三角形；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：动点型；数形结合。
分析：（1）当AD=2时，AD=AB，此时△ABD为等腰直角三角形，易证△BPC也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求；
（2）易知点P到AB的距离与到BC的距离的比与BA、AD长度的比相等，即△APQ中AQ边上的高与△PBC中BC边上的高的比可求；AQ=2﹣x，BC=3，则△APQ与△BPC的面积可表示出来，利用其面积比为y，可得函数关系式；
（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知条件可证Rt△PCF∽Rt△PQE，则∠EPQ=∠FPC，利用角的和差关系可求得∠QPC=90°．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°．
当AD=2时，AD=AB，
∴∠D=∠ABD=45°，
∴∠PBC=∠D=45°．
∵，
∴PQ=PC，
∴∠C=∠PQC=45°，
∴∠BPC=90°．
∴PC=BC•sin45°=3×．

（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE．
又∠A=90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴．
设BE=4k，则PE=3k，
∴PF=BE=4k．
∵BQ=x，
∴AQ=AB﹣BQ=2﹣x．
∴S△AQP=AQ•PE=（2﹣x）•3k，S△BPC=BC•PF=×3×4k=6k．
∵，
∴，
即y=﹣x+．
当P在D点时，x最大，过D作BC的垂线，可计算出PC=，而，得DQ=，利用勾股定理得到AQ=，所以此时BQ=
∴0≤x≤．

（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF=BE，∠EPF=90°．
又∠A=90°，
∴PE∥AD．
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴Rt△PCF∽Rt△PQE，
∴∠EPQ=∠FPC．
∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，
∴∠FPC+∠QPF=90°．
即∠QPC=90°．

点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

22．（2009•上海）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图所示（其中六年级相关数据未标出）．
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2
2
0
1
根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：
（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是　20%　；
（2）在所有被测试者中，九年级的人数是　6　；
（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是　35%　；
（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是　5　．

考点：扇形统计图；众数。
专题：应用题。
分析：（1）由所有百分比之和等于1计算六年级占的比例；
（2）由表格中得到总测试人数，乘以九年级的百分比即为九年级的测试人数；
（3）从表格中得到不小于6的人数，除以总测试人数即为不小于6的人数所占的百分率；
（4）由众数的概念知，众数是5．
解答：解：
（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率=1﹣25%﹣25%﹣30%=20%；
（2）从表格中得到总测试人数=1+1+2+2+3+4+2+2+2+1=20人，九年级的人数=20×30%=6人；
（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数7人，故所占的百分率=7÷20=35%；
（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，做5次的人数为4人，故众数是5．
故填20%；6；35%；5．
点评：读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

23．（2009•上海）计算：
考点：分式的混合运算。
专题：计算题。
分析：分式分母能约分的先约分，然后把除法运算转化成乘法运算，再进行加减运算．
解答：解：

．
点评：点拨：本题按照分式化简的步骤，本着化除为乘、先分解后约分、化异为同的思想来解答．

24．（2009•上海）解方程组：
考点：高次方程。
专题：计算题。
分析：本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y，求出未知数x的值后，进而求得这个方程组的解．
解答：解：由①得：y=x+1③
把③代入②，得2x2﹣x（x+1）﹣2=0
解这个方程，得x1=﹣1，x2=2．
当x1=﹣1时，y1=﹣1+1=0
当x2=2时，y2=2+1=3
∴原方程组的解为．
点评：二元一次方程组有两组解，在解答时不要漏解．

25．（2009•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，∠B=60°，BC=12，连接AC．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．

考点：解直角三角形；全等三角形的判定；三角形中位线定理。
专题：计算题；压轴题。
分析：（1）作梯形的一条高AE，发现30°的直角三角形ABE，根据锐角三角函数求得BE，AE的长，再进一步求得CE的长，从而完成求解过程；
（2）显然MN是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可．再作梯形的另一条高，根据全等三角形和矩形的性质求得梯形的上底．
解答：解：（1）如图，作AE⊥BC于点E．
在Rt△ABE中，
BE=AB•cosB=8×cos60°=4，
AE=AB•sinB=8×sin60°=4，
∴CE=BC﹣BE=12﹣4=8．
在Rt△ACE中，
tan∠ACB=．

（2）作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
∴AD=EF，DF=AE．
∵AB=DC，∠AEB=∠DFC=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）
∴CF=BE=4，
EF=BC﹣BE﹣CF=12﹣4﹣4=4，
∴AD=4．
又∵M、N分别是AB、DC的中点，
∴MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN=（AD+BC）=（4+12）=8．

点评：（1）结合等腰梯形的特点，构造直角三角形，然后根据三角函数的定义来求∠ACB的正切值．
（2）在等腰梯形上添加辅助线，将等腰梯形划分为两个全等的直角三角形和一个矩形，然后求得AD的长，再由梯形的中位线的性质求线段MN的长．

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