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2010年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）给出四个数0，，﹣，0.3其中最小的是（　　）
A．0 B． C．﹣ D．0.3
2．（4分）把不等式x+2＞4的解表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）计算a2•a4的结果是（　　）
A．a8 B．a6 C．a4 D．a2
4．（4分）某班学生参加课外兴趣小组情况的统计图如图所示，则参加人数最多的课外兴趣小组是（　　）

A．书法 B．象棋 C．体育 D．美术
5．（4分）直线y＝x+3与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，1） C．（3，0） D．（1，0）
6．（4分）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（　　）

A． B． C． D．
7．（4分）下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．三角形三个内角的和等于180°
B．两直线平行，同位角相等
C．矩形的对角线相等
D．相等的角是对顶角
8．（4分）如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于（　　）

A． B． C．2 D．2
10．（4分）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形（提供的火柴棒全部用完），下列根数的火柴棒不能围成梯形的是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）分解因式：m2﹣2m＝　 　．
12．（5分）在“情系玉树献爱心”捐款活动中，某校九（1）班同学人人拿出自己的零花钱，现将同学们的捐款数整理成统计表，则该班同学平均每人捐款元　 　．
捐款数（元）
5
10
20
50
人数
4
15
6
5
13．（5分）当x＝　 　时，分式的值等于2．
14．（5分）若一个反比例函数的图象位于二、四象限，则它的解析式可能是　 　（写出一个即可）．
15．（5分）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了　 　支．
16．（5分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．作△PQR使得∠R＝90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于　 　．

三、解答题（共8小题，满分80分）
17．（10分）（1）计算：+﹣；
（2）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+a（2b﹣a），其中a＝1.5，b＝2．
18．（6分）由3个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的主视图和俯视图．

19．（8分）2010年上海世博会某展览馆展厅东面有两个入口A，B，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开．
（1）她从进入到离开共有多少种可能的结果？（要求画出树状图）
（2）她从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是多少？

20．（8分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．
（1）求⊙O1的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

21．（10分）如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE＝BP．
求证：（1）∠E＝∠F；（2）▱ABCD是菱形．

22．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．

23．（12分）在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测．
（1）下图是小芳家2009年全年月用电量的条形统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
①2009年小芳家月用电量最小的是　 　月，四个季度中用电量最大的是第　 　季度；
②求2009年5月至6月用电量的月增长率；
（2）今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2009年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？
24．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB′，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

2010年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【分析】由于负数小于正数和0，由此即可确定最小的数．
【解答】解：因为负数小于正数和0，所以最小的是．
故选：C．
【点评】本题主要考查了比较实数的大小，利用知识点为：负数小于所有正数和0，比较简单．
2．【分析】利用解不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1，进行解方程．
【解答】解：移项得，x＞4﹣2，
合并同类项得，x＞2，
把解集画在数轴上，
故选：B．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错
3．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算后直接选取答案．
【解答】解：a2•a4＝a6．
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
4．【分析】根据扇形统计图各部分所占的百分比，则参加人数最多的课外兴趣小组即为所占百分比最大的部分．
【解答】解：根据扇形统计图，知
参加人数最多的课外兴趣小组是所占百分比最大的，即为体育．
故选：C．
【点评】读懂扇形统计图，扇形统计图反映的是各部分所占总体的百分比．
5．【分析】根据y轴上点的横坐标为0进行解答即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝3．
故直线y＝x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
6．【分析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．
【解答】解：如图；
在Rt△ABC中，AC＝l＝10米，BC＝h＝6米；
根据勾股定理，得：AB＝＝8米；
∴tanθ＝＝；
故选：A．

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力．
7．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、三角形三个内角的和等于180°，是三角形的内角和定理，正确，是真命题；
B、两直线平行，同位角相等，是平行线的性质，正确，是真命题；
C、矩形的对角线相等，是矩形的性质，正确，是真命题；
D、应为“有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角是对顶角”，是假命题．
故选：D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS）；
②∵在△ABC和△DBC中
，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；

③∵在△ABC和△ABD中
，
∴△ABC≌△ABD（SAS）；
④∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵在△ABC和△DCE中

∴△ABC≌△DCE（AAS）．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
9．【分析】首先由切线的性质判定△ABC是直角三角形，进而可根据勾股定理求出AC的长．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，且切点为B，
∴∠ABC＝90°，
故△ABC是等腰直角三角形；
由勾股定理，得：AC＝＝＝2；故选C．
【点评】此题主要考查的是切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用．
10．【分析】梯形的上下底不相等，腰可以相等，据此判断．
【解答】解：设梯形的一条对角线为x，如图，
A、5根时，可以上底1根，下底2根，腰各1根，如图，梯形ABCD中，AD＝BC＝CD，
∠A＝∠B＝60°，于是有1＜x＜3，0＜x＜2，那么1＜x＜2，所以能围成；
B、6根时，若上底1根，下底3根，腰各1根，于是有2＜x＜4，0＜x＜2，那么就有2＜x＜2，无解，不能围成，若上底1根，下底2根，腰分别为1，2根，如图，
，则△BCE不符合三边关系，所以不能围成；
C、7根时，可以上底2根，下底3根，腰各1根，于是有2＜x＜4，1＜x＜3，那么2＜x＜3，所以能围成；
D、8根时，可以上底2根，下底4根，腰各1根，于是有3＜x＜5，1＜x＜3，那么3＜x＜3，所以不能围成，但是也可以是上底1根，下底3根，腰各2根，于是有1＜x＜5，1＜x＜3，那么1＜x＜3，所以能围成．
故选：B．

【点评】本题利用了三角形三边之间的关系：任意一边大于剩余两边之差小于两边之和．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．【分析】直接把公因式m提出来即可．
【解答】解：m2﹣2m＝m（m﹣2）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
12．【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：（5×4+10×15+20×6+50×5）÷30＝18元，
∴该班同学平均每人捐款18元．
故填18．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
13．【分析】由题意列分式方程，再把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：由题意得＝2，
方程的两边同乘（x﹣1），得
x+3＝2（x﹣1），
解得x＝5，
检验：把x＝5代入（x﹣1）＝4≠0，
故原方程的解为：x＝5．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
14．【分析】根据反比例函数的性质可列式子．答案不唯一，要注意符合题意，只写一个即可．
【解答】解：反比例函数的图象位于二、四象限，k＜0，
则它的解析式可能是y＝﹣．
【点评】反比例函数（k≠0）的图象是双曲线．
（1）k＞0时，图象是位于一、三象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而减小．
（2）k＜0时，图象是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而增大．
15．【分析】根据“所付金额大于26元，但小于27元”作为不等关系列不等式组求其整数解即可求解．
【解答】解：设签字笔购买了x支，则圆珠笔购买了15﹣x支，根据题意得

解不等式组得
7＜x＜9
∵x是整数
∴x＝8．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
16．【分析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．
【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．
∵AC＝GC，BC＝FC，∠ACB＝∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF＝∠BAC＝30°，
∴∠HGQ＝60°，
∵∠HAC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAH＝180°，
又AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH＝180°，
∴∠RHA＝∠BAC＝30°，
∴∠QHG＝60°，
∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC＝AB•cos30°＝4×＝2．
则QH＝HA＝HG＝AC＝2．
在直角△HMA中，HM＝AH•sin60°＝2×＝3．AM＝HA•cos60°＝．
在直角△AMR中，MR＝AD＝AB＝4．
∴QR＝2+3+4＝7+2．
∴QP＝2QR＝14+4．
PR＝QR•＝7+6．
∴△PQR的周长等于RP+QP+QR＝27+13．
故答案为：27+13．

【点评】正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．【分析】（1）二次根式的化简，零指数幂和负指数幂的计算；
（2）多项式与单项式的乘法，代入数据求值即可．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣2＝2﹣1，
（2）原式＝a2﹣b2+2ab﹣a2＝﹣b2+2ab
当a＝1.5，b＝2时，
原式＝﹣22+2×1.5×2＝2．
故答案为2﹣1、2．
【点评】本题考查了二次根式的化简，零指数幂和负指数幂的计算；以及代数式的求值．
18．【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有2列，每列小正方形数目分别为1，1．
【解答】解：

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
19．【分析】（1）用树状图即可列举出所有情况；
（2）看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）树状图如图：
所有情况有6种；

（2）她从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是＝．

【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，注意本题是不放回实验．
20．【分析】（1）利用正方形的性质根据勾股定理可得半径．
（2）连接O1E，从图中看出阴影部分的面积等于4倍的扇形面积减三角形面积，依面积公式计算即可．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，
∴BD＝＝4
∴BO1＝BD＝
∴⊙O1的半径＝．

（2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接O1E
∵BD为正方形ABCD的对角线
∴∠ABO＝45°
∵O1E＝O1B
∴∠BEO1＝∠EBO1＝45°
∴∠BO1E＝90°
∴S1＝S扇形O1BE﹣S△O1BE＝＝﹣1
根据图形的对称性得：S1＝S2＝S3＝S4
∴S阴影＝4S1＝2π﹣4．

【点评】本题综合考查了正方形的性质和勾股定理的应用及扇形的面积公式．
21．【分析】（1）四边形ABCD是平行四边形，则BC∥AF，可得同位角∠BPE＝∠F；在等腰△BEP中，∠E＝∠BPE，等量代换后即可证得所求的结论；
（2）由EF∥BD，可得同位角∠ABD＝∠E，∠ADB＝∠F；由（1）知∠E＝∠F，等量代换后可证得∠ABD＝∠ADB，即AB＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，BC∥AF，
∴∠1＝∠F，
∵BE＝BP，
∴∠E＝∠1，
∴∠E＝∠F；

（2）∵BD∥EF，
∴∠2＝∠E，∠3＝∠F，
∵∠E＝∠F，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
22．【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出抛物线的解析式；
（2）过B作BC⊥x轴于C，根据A、B的坐标易求得OC＝BC＝AC＝2，由此可证得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可证得△OAB是等腰直角三角形；
（3）当△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°时，OB′正好落在y轴上，易求得OB、AB的长，即可得到OB′、A′B′的长，从而可得到A′、B′的坐标，进而可得到A′B′的中点P点的坐标，然后代入抛物线中进行验证即可．
【解答】解：（1）方法一：
由题意得，
解得；
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x；
方法二：∵B（2，2）
∴设抛物线方程为：y＝a（x﹣2）2+2；
将A（4，0）代入得：
a（4﹣2）2+2＝0，
∴a＝，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2＝﹣x2+2x；

（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC＝BC＝AC＝2；
∴∠BOC＝∠OBC＝∠BAC＝∠ABC＝45°；
∴∠OBA＝90°，OB＝AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；

（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA＝4，
∴OB＝AB＝2；
由题意得：点A′坐标为（﹣2，﹣2）
∴A′B′的中点P的坐标为（﹣，﹣2）；
当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）2+2×（﹣）≠﹣2；
∴点P不在二次函数的图象上．

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定、图形的旋转变化等知识．
23．【分析】（1）①根据图中提供的信息，得出2009年小芳家月用电量最小的月和四个季度中用电量最大的季度；
②2009年5月至6月用电量的月增长率＝×100%；
（2）设今年5月至6月用电量月增长率为1.5x，则6月至7月用电量月增长率为x，根据题意列方程，求解即可．
【解答】解：（1）①由小芳家2009年全年月用电量的条形统计图得：2009年小芳家月用电量最小的是5月，四个季度中用电量最大的是第三季度；
②×100%＝65%，答：2009年5月至6月用电量的月增长率为65%；

（2）设今年5月至6月用电量月增长率为1.5x，则6月至7月用电量月增长率的x，
根据题意列方程得：120（1+x）（1+1.5x）＝240，
化简得3x2+5x﹣2＝0，解得x1＝，x2＝﹣2（不合题意舍去），
∴120×（1+1.5x）＝120×（1+1.5×）＝180（千瓦时），
答：预计小芳家今年6月份的用电量是180千瓦时．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE＝AE﹣AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE＝DH：GE，②AH：EG＝DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）
（3）①根据轴对称的性质知：DH分别垂直平分AA′、CC′，则AA′∥CC′，显然AA′≠CC′，因此四边形ACC′A′是梯形；首先用t表示出AD，易证得△ACB∽△AHD，根据得到的比例线段可求得AH、DH的表达式，在Rt△COD中，通过解直角三角形，可求得OD、OC的长，进而可求得梯形的高OH的值，而梯形的上下底分别是AH、OC的2倍，可根据梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；
②此题只需考虑两种情况即可：
一、A′落在BB′上时，此时A′、B重合，AA′＝AB＝5，根据①所得AA′的表达式即可求得t的值；
二、C′落在BB′上时，在①已证得AB∥CC′，那么四边形ACC′B为平行四边形，即AB＝CC′，根据①所得CC′的表达式即可求得t的值；
综合上面两种情况所得的t值，即可求得t的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
∵AD＝5t，CE＝3t，
∴当AD＝AB时，5t＝5，即t＝1；
∴AE＝AC+CE＝3+3t＝6，DE＝6﹣5＝1．

（2）∵EF＝BC＝4，G是EF的中点，
∴GE＝2．
当AD＜AE（即t＜）时，DE＝AE﹣AD＝3+3t﹣5t＝3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，
∴t＝或t＝；
当AD＞AE（即t＞）时，DE＝AD﹣AE＝5t﹣（3+3t）＝2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，
解得t＝或t＝；
综上所述，当t＝或或或时，△DEG与△ACB相似．

（3）①由轴对称的性质变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，则AA′∥CC′；
易知OC≠AH，故AA′≠CC′，
∴四边形ACC′A′是梯形；
∵∠A＝∠A，∠AHD＝∠ACB＝90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴＝＝，
∴AH＝3t，DH＝4t．
∵sin∠ADH＝sin∠CDO，
∴，即＝，
∴CO＝3t﹣．
∴AA′＝2AH＝6t，CC′＝2CO＝6t﹣．
∵OD＝CD•cos∠CDO＝（5t﹣3）×＝4t﹣，
∴OH＝DH﹣OD＝．
∴S＝（AA′+CC′）•OH＝（6t+6t﹣）×＝t﹣；
②≤t≤；
当A′落在射线BB′上时（如图甲），AA′＝AB＝5，
∴6t＝5，∴t＝；
当点C′落在射线BB′上时（如图乙），易知CC′∥AB；
故四边形ACC′B为平行四边形，

∴CC′＝AB＝5，
∴6t﹣＝5，t＝．
故≤t≤．

【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．
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