2017年湖南省株洲市中考数学试卷（含解析版）.docx

2017年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算a2•a4的结果为（　　）
A．a2 B．a4 C．a6 D．a8
2．（3分）如图示，数轴上点A所表示的数的绝对值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对
3．（3分）如图示直线l1，l2△ABC被直线l3所截，且l1∥l2，则α=（　　）

A．41° B．49° C．51° D．59°
4．（3分）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（　　）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（　　）

A．145° B．150° C．155° D．160°
6．（3分）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．（3分）株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为（　　）

9：00﹣10：00
10：00﹣11：00
14：00﹣15：00
15：00﹣16：00
进馆人数
50
24
55
32
出馆人数
30
65
28
45
A．9：00﹣10：00 B．10：00﹣11：00 C．14：00﹣15：00 D．15：00﹣16：00
8．（3分）三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为（　　）
A．）19 B．）16 C．）14 D．）12
9．（3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（　　）

A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
10．（3分）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）

A．5 B．4 C．3+2 D．2+2

二、填空题（每小题3分，满分24分）
11．（3分）如图示在△ABC中∠B=　 　．

12．（3分）分解因式：m3﹣mn2=　 　．
13．（3分）分式方程4x﹣1x+2=0的解为　 　．
14．（3分）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是　 　．
15．（3分）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=　 　．

16．（3分）如图示直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为　 　．

17．（3分）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=k1x（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=k2x（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则k1k2=　 　．

18．（3分）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞5﹣1；以上结论中正确结论的序号为　 　．

三、解答题（本大题共有8个小题，满分66分）
19．（6分）计算：8+20170×（﹣1）﹣4sin45°．

20．（6分）化简求值：（x﹣y2x）•yx+y﹣y，其中x=2，y=3．

21．（8分）某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：
①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．
②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．
③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．

22．（8分）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．

23．（8分）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．

24．（8分）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=kx（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=tx（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．

25．（10分）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：3，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．

26．（12分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c=14b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足DEEF=13，求二次函数的表达式．

2017年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2017•株洲）计算a2•a4的结果为（　　）
A．a2 B．a4 C．a6 D．a8
【考点】46：同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解：原式=a2+4=a6．
故选C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

2．（3分）（2017•株洲）如图示，数轴上点A所表示的数的绝对值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．以上均不对
【考点】13：数轴；15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据数轴可以得到点A表示的数，从而可以求出这个数的绝对值，本题得以解决．
【解答】解：由数轴可得，
点A表示的数是﹣2，|﹣2|=2，
故选A．
【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，会求一个数的绝对值．

3．（3分）（2017•株洲）如图示直线l1，l2△ABC被直线l3所截，且l1∥l2，则α=（　　）

A．41° B．49° C．51° D．59°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴α=49°，
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

4．（3分）（2017•株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（　　）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【考点】C2：不等式的性质．菁优网版权所有
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选D．
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．

5．（3分）（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（　　）

A．145° B．150° C．155° D．160°
【考点】K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．

【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．

6．（3分）（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】MM：正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．

7．（3分）（2017•株洲）株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为（　　）

9：00﹣10：00
10：00﹣11：00
14：00﹣15：00
15：00﹣16：00
进馆人数
50
24
55
32
出馆人数
30
65
28
45
A．9：00﹣10：00 B．10：00﹣11：00 C．14：00﹣15：00 D．15：00﹣16：00
【考点】VA：统计表．菁优网版权所有
【分析】直接利用统计表中人数的变化范围得出馆内人数变化最大时间段．
【解答】解：由统计表可得：10：00﹣11：00，进馆24人，出馆65人，差之最大，
故选：B．
【点评】此题主要考查了统计表，正确利用表格获取正确信息是解题关键．

8．（3分）（2017•株洲）三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为（　　）
A．）19 B．）16 C．）14 D．）12
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】画树状图为（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）

共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3，
所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率=36=12．
故选D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

9．（3分）（2017•株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（　　）

A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
【考点】LN：中点四边形；L6：平行四边形的判定；LC：矩形的判定；P3：轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【解答】解：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，
当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
故选：C．

【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．

10．（3分）（2017•株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）

A．5 B．4 C．3+2 D．2+2
【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．菁优网版权所有
【分析】由△DQF∽△FQE，推出DQFQ=FQQE=DFEF=12，由此求出EQ、FQ即可解决问题．
【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴DQFQ=FQQE=DFEF=12，
∵DQ=1，
∴FQ=2，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+2，
故选D
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2017•株洲）如图示在△ABC中∠B=　25°　．

【考点】KN：直角三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；
故答案为：25°．
【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质；熟记直角三角形的性质是解决问题的关键．

12．（3分）（2017•株洲）分解因式：m3﹣mn2=　m（m+n）（m﹣n）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】先提取公因式m，再运用平方差公式分解．
【解答】解：m3﹣mn2，
=m（m2﹣n2），
=m（m+n）（m﹣n）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．

13．（3分）（2017•株洲）分式方程4x﹣1x+2=0的解为　x=﹣83　．
【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】根据解方式方程的步骤一步步求解，即可得出x的值，将其代入原方程验证后即可得出结论．
【解答】解：去分母，得4x+8﹣x=0，
移项、合并同类项，得3x=﹣8，
方程两边同时除以3，得x=﹣83．
经检验，x=﹣83是原方程的解．
故答案为：x=﹣83．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及步骤是解题的关键．

14．（3分）（2017•株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是　53＜x≤6　．
【考点】C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】根据题意列出不等式组，再求解集即可得到x的取值范围．
【解答】解：依题意有&3x＞5&12x-1≤2，
解得53＜x≤6．
故x的取值范围是53＜x≤6．
故答案为：53＜x≤6．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

15．（3分）（2017•株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=　80°　．

【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】连接EM，根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC，进而求出∠AMD=70°，于是得到结论．
【解答】解：连接EM，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ADM=∠AEM=90°，
∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°
∴∠EAM=40°，
∴∠EOM=2∠EAM=80°，
故答案为：80°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

16．（3分）（2017•株洲）如图示直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为　23π　．

【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】先利用一次函数的解析式可确定A（﹣1，0），B（0，3），再利用正切的定义求出∠BAO=60°，利用勾股定理计算出AB=2，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：当y=0时，3x+3=0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0），
当x=0时，y=3x+3=3，则B（0，3），
在Rt△OAB中，∵tan∠BAO=31=3，
∴∠BAO=60°，
∴AB=12+(3)2=2，
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度=60⋅π⋅2180=23π．
故答案为23π．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：熟练掌握旋转的性质，会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．

17．（3分）（2017•株洲）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=k1x（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=k2x（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则k1k2=　﹣13　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】设AC=a，则OA=2a，OC=3a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，相比即可．
【解答】解：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAC=60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ACO=90°，
∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC=3a，
∴A（3a，a），
∵A在函数y1=k1x（x＞0）的图象上，
∴k1=3a•a=3a2，
Rt△BOC中，OB=2OC=23a，
∴BC=OB2-OC2=3a，
∴B（3a，﹣3a），
∵B在函数y2=k2x（x＞0）的图象上，
∴k2=﹣3a⋅3a=﹣33a2，
∴k1k2=﹣13；
故答案为：﹣13．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出A、B两点的坐标是关键．

18．（3分）（2017•株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞5﹣1；以上结论中正确结论的序号为　①④　．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=12，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣b2a＞0，
∴﹣a-22a＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=12，
∴x2=2＞5﹣1，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

三、解答题（本大题共有8个小题，满分66分）
19．（6分）（2017•株洲）计算：8+20170×（﹣1）﹣4sin45°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】根据立方根的定义、零指数幂及特殊角的三角函数值求得各项的值，再计算即可．
【解答】解：
8+20170×（﹣1）﹣4sin45°
=22+1×（﹣1）﹣4×22
=22﹣1﹣22
=﹣1．
【点评】本题主要考查实数的计算及零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握立方根的计算、零指数幂的运算法则、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

20．（6分）（2017•株洲）化简求值：（x﹣y2x）•yx+y﹣y，其中x=2，y=3．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；513：分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=(x+y)(x-y)x•yx+y﹣y=y(x-y)x﹣xyx=﹣y2x，
当x=2，y=3时，原式=﹣32．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（8分）（2017•株洲）某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：
①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．
②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．
③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；X4：概率公式．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】①由图知1人6秒，3人7秒，小于8秒的爱好者共有4人，进入下一轮角逐的人数比例为4：30；
②因为其他赛区情况大致一致，所以进入下一轮的人数为：600×A区进入下一轮角逐的人数比例；
③由完成时间的平均值和A区30人，得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b，得到完成时间8秒的爱好者的概率．
【解答】解：①A区小于8秒的共有3+1=4（人）
所以A区进入下一轮角逐的人数比例为：430=215；
②估计进入下一轮角逐的人数为600×215=80（人）；
③因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，
所以（1×6+3×7+a×8+b×9+10×10）÷30=8.8
化简，得8a+9b=137
又∵1+3+a+b+10=30，即a+b=16
所以&8a+9b=137&a+b=16
解得a=7，b=9
所以该区完成时间为8秒的爱好者的概率为730．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．解决本题的关键是根据平均数和各个时间段的人数确定完成时间为8秒的人数．概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（8分）（2017•株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．

【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；553：图形的全等；55D：图形的相似．
【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
&DE=DF&∠ADE=∠CDF&DA=DC，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．

23．（8分）（2017•株洲）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα=AHHP，即可解决问题；
②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ=BCtan30°=1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；
【解答】解：①在Rt△AHP中，∵AH=5003，
由tan∠APH=tanα=AHHP=5003PH=23，可得PH=250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．

②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC=AH=5003，∠BQC=30°，
∴CQ=BCtan30°=1500米，
∵PQ=1255米，
∴CP=245米，
∵HP=250米，
∴AB=HC=250﹣245=5米．
答：这架无人机的长度AB为5米．

【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24．（8分）（2017•株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=kx（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=tx（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=12•PA•PB=12（4﹣t3）（3﹣t4），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣12t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；
（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax=32，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（3，4），
∴在y=tx中，当x=3时，y=t3，即点A（3，t3），
当y=4时，x=t4，即点B（t4，4），
则S△PAB=12•PA•PB=12（4﹣t3）（3﹣t4），
如图，延长PA交x轴于点C，

则PC⊥x轴，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=12×3×4﹣12t=6﹣12t，
∴w=6﹣12t﹣12（4﹣t3）（3﹣t4）=﹣124t2+12t；

（2）∵w=﹣124t2+12t=﹣124（t﹣6）2+32，
∴wmax=32，
则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+32=（a﹣12）2+54，
∴当a=12时，Tmin=54．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及二次函数的性质，熟练掌握反比例系数k的几何意义及配方法求二次函数的最值是解题的关键．

25．（10分）（2017•株洲）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：3，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理．菁优网版权所有
【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=12∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；
②证明△ADE∽△CBE，得出ADCB=35，证明△CBE∽△CDB，得出BDCB=BECE，求出CB=25，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=12AB=4，由勾股定理求出CG=CB2-BG2=2，即可得出△BCD的面积．
【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F=12∠AEB，
∵C是AB的中点，∴AC=BC，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC=12∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴ADCB=AECE，即ADCB=35，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴BDCB=BECE，即2CB=15，
∴CB=25，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG=12AB=4，
∴CG=CB2-BG2=2，
∴△BCD的面积=12BD•CG=12×2×2=2．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角形相似是解决问题的关键．

26．（12分）（2017•株洲）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c=14b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足DEEF=13，求二次函数的表达式．

【考点】HF：二次函数综合题；H3：二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=b2，即可得出答案；
②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（b2，4(c+1)+b24），y由二次函数的图象与x轴相切且c=14b2﹣2b，得出方程组&4(c+1)+b24=0&c=14b2-2b，求出b即可；
③由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OA•OB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1•x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出DEOM=BDOB，OMDF=OAAD，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1，由x1•x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组&x1⋅x2=-1&x2=-4x1，解方程组求出b的值即可．
【解答】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=b2，
当b=1时，b2=12，
∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=12．
②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（b2，4(c+1)+b24），
∵二次函数的图象与x轴相切且c=14b2﹣2b，
∴&4(c+1)+b24=0&c=14b2-2b，解得：b=2+2或b=2﹣2，
∴b为2+2或2﹣2时，二次函数的图象与x轴相切．
③∵AB是半圆的直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠OAM+∠OBM=90°，
∵∠AOM=∠MOB=90°，
∴∠