2012年山西省中考数学试题及答案.doc

山西省2012年高中阶段教育学校招生统一考试
数学试题

一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）
1．计算：﹣2﹣5的结果是（　　）

A．
﹣7
B．
﹣3
C．
3
D．
7

2．如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（　　）

A．
35°
B．
40°
C．
45°
D．
50°

3．下列运算正确的是（　　）

A．

B．

C．
a2•a4=a8
D．
（﹣a3）2=a6

4．（2分）（2012•山西）为了实现街巷硬化工程高质量"全覆盖"，我省今年1﹣4月公路建设累计投资92.7亿元，该数据用科学记数法可表示为（　　）

A．
0.927×1010
B．
92.7×109
C．
9.27×1011
D．
9.27×109

5．如图，一次函数y=（m﹣1）x﹣3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则m的取值范围是（　　）

A．
m＞1
B．
m＜1
C．
m＜0
D．
m＞0

6．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．如图所示的工件的主视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）

A．
40°
B．
50°
C．
60°
D．
70°

10．已知直线y=ax（a≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（　　）

A．
（﹣2，6）
B．
（﹣6，﹣2）
C．
（﹣2，﹣6）
D．
（6，2）

11．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）

A．

B．

C．

D．

12．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（　　）

A．
（10π﹣）米2
B．
（π﹣）米2
C．
（6π﹣）米2
D．
（6π﹣）米2

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．不等式组的解集是　 ．

14．化简的结果是　 　．

15．某市民政部门举行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这些彩票中，设置如下奖项：
奖金（元）
10000
5000
1000
500
100
50
数量（个）
1
4
20
40
100
200
如果花2元钱购买1张彩票，那么所得奖金不少于1000元的概率是　 　．

16．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是　_________　．

17．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是　 　cm3．

18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是　 ．

三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（1）计算：．
（2）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣．

20．（7分）（2012•山西）解方程：．

21．实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．

（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．
（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．

22．今年太原市提出城市核心价值观：“包容、尚德、守法、诚信、卓越”．某校德育处为了了解学生对城市核心价值观中哪一项内容最感兴趣，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如图统计图．请你结合图中信息解答下列问题：

（1）填空：该校共调查了　 　名学生（2分）．
（2）请你分别把条形统计图和扇形统计图补充完整．
(3)若该校共有3000名学生，请你估计全校对“诚信”最感兴趣的人数。

23．如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A、B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）

24．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

25．问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：　_______ __　
依据2：　 　
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．

拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

26．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

2012年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）
1．A 2.B 3.D 4.D　5.B 6.A 7.B 8.C 9.B 10.C 11.D 12.C

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．　﹣1＜x≤3　．
14．　　．　
15．　（或0.00025）　．
16．　4n﹣2（或2+4（n﹣1））个　．
17．　1000　cm3．

18．　（2，）　．

三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（1）解：（1）原式=1+2×﹣3
=1+3﹣3=1；

（2）原式= 4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
= x2﹣5．
当x=﹣ 时，原式=（﹣）2﹣5=3﹣5=﹣2．
20．
解：方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3，
化简，﹣6x=﹣3，解得x=．
检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠0
所以，x=是原方程的解．
21．解：（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．
（2）在图4中画出符合题目要求的图形．
评分说明：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题目要求即可给分．

22． 解：
（1）∵ 有条形统计图可知对包容一项感兴趣的人数为150人，有扇形统计图可知此项所占的比例为30%，
∴ 总人数=150÷30%=500；

（2） 补全条形统计图（如图1），补全扇形统计图（如图2）．

23．解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵ AB∥ CD，
∴ ∠ AEF=∠ EFB=∠ ABF=90°，
∴ 四边形ABFE为矩形．
∴ AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．…2分
在Rt△AEC中，∠ C=60°，AE=100米．
∴ CE= = = （米）． …4分
在Rt△ BFD中，∠ BDF=45°，BF=100．
∴ DF= = =100（米）．…6分
∴ AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣ ≈ 600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）． …8分
答：岛屿两端A、B的距离为542.3米． …9分

24．（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）=2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分

（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． …8分
此时，售价为：60﹣6=54（元），． …9分
答：该店应按原售价的九折出售． …10分

25． （1）解：依据一：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），
依据二：角平分线上的点到角的两边距离相等．
（2）证明：∵ CA=CB，
∴ ∠ A=∠ B，
∵ O是AB的中点，
∴ OA=OB．
∵ DF⊥ AC，DE⊥ BC，
∴ ∠ AMO=∠ BNO=90°，
∵ 在△ OMA和△ ONB中
，
∴ △ OMA≌ △ ONB（AAS），
∴ OM=ON．

（3）解：OM=ON，OM⊥ ON．理由如下：
连接OC，
∵∠ ACB=∠ DNB，∠ B=∠ B，
∴ △ BCA∽ △ BND，
∴ = ，
∵ AC=BC，
∴ DN=NB．
∵ ∠ ACB=90°，
∴ ∠ NCM=90°=∠ DNC，
∴ MC∥ DN，
又∵ DF⊥ AC，
∴ ∠ DMC=90°，
即∠ DMC=∠ MCN=∠ DNC=90°，
∴ 四边形DMCN是矩形，
∴ DN=MC，
∵∠ B=45°，∠ DNB=90°，
∴ ∠ 3=∠ B=45°，
∴ DN=NB，
∴ MC=NB，
∵∠ ACB=90°，O为AB中点，AC=BC，
∴ ∠ 1=∠ 2=45°=∠ B，
在△ MOC和△ NOB中
，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．
26．解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．
∵点A在点B的左侧，
∴A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）抛物线上有三个这样的点Q，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．

（3）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC于点M，则点M为所求，
过点B′作B′E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴，
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4．
∴，
∴BF=，
∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴，
∴，即．
∴B′E=，BE=，
∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）．
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
∴，
解得，
∴直线B'D的解析式为：y=x+，
联立B'D与AC的直线解析式可得：，
解得，
∴ M点的坐标为（，）．

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