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2013年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共计24分）
1．（3分）﹣2013的绝对值是（　　）
A．﹣2013 B．2013 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．x8﹣x4＝x2
C． D．﹣（2x2y）3＝﹣8x6y3
3．（3分）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下面四个几何体中，俯视图不是圆形的几何体的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9
6．（3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形
7．（3分）下列事件中是必然事件的为（　　）
A．有两边及一角对应相等的三角形全等
B．方程x2﹣x+1＝0有两个不等实根
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：4
D．圆的切线垂直于过切点的半径
8．（3分）若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共计24分）
9．（3分）我国除了约960万平方千米的陆地面积外，还有约3000000平方千米的海洋面积，3000000用科学记数法表示为　 　．
10．（3分）若3，a，4，5的众数是4，则这组数据的平均数是　 　．
11．（3分）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是　 　．

12．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC＝40°，则∠BOD＝　 　．

13．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是　 　．

14．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3＝0有实数根，则k的非负整数值是　 　．
15．（3分）从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是　 　．
16．（3分）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，共计72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先简化，再求值：，其中x＝．
19．（6分）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．

20．（8分）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
21．（8分）某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班50名学生的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图．
组别
A
B
C
D
处理方式
迅速离开
马上救助
视情况而定
只看热闹
人数
m
30
n
5
请根据表图所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有2000名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？

22．（8分）国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：＝1.732，＝1.414）

23．（8分）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
24．（10分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD＝OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

2013年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共计24分）
1．【分析】计算绝对值要根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣2013|＝2013．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】A、合并同类项得到结果，即可作出判断；
B、本选项不能合并，错误；
C、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，本选项错误；
B、本选项不能合并，错误；
C、＝|﹣2|＝2，本选项错误；
D、﹣（2x2y）3＝﹣8x6y3，本选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
3．【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由②得：x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3，表示在数轴上，如图所示：
．
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．【分析】根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可．
【解答】解：俯视图不是圆的几何体只有正方体，
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
5．【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
6．【分析】根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．
【解答】解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E、F、G、H分别是各边的中点，
求证：四边形EFGH是菱形．
证明：连接AC、BD．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF＝AC．
同理FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．

【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．
7．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、只有两边及夹角对应相等的两三角形全等，而两边及其中一边的对角对应相等的两三角形不一定全等，是随机事件；
B、由于判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程无实数根，是不可能事件；
C、面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：2，是不可能事件；
D、圆的切线垂直于过切点的半径，是必然事件．
故选：D．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．【分析】根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y＝mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．
∴二次函数y＝mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共计24分）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3000000用科学记数法表示为3×106．
故答案为：3×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【分析】先根据众数的定义求出a的值，再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：∵3，a，4，5的众数是4，
∴a＝4，
∴这组数据的平均数是（3+4+4+5）÷4＝4；
故答案为：4．
【点评】此题考查了众数和算术平均数，关键是根据众数的定义求出a的值，用到的知识点是众数的定义、平均数的计算公式．
11．【分析】根据三角形内角和定理以及扇形面积公式直接求出即可．
【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，
∴阴影部分的面积是：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法，根据已知得出扇形圆心角的和是解题关键．
12．【分析】根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD＝2∠BAC，继而得出答案．
【解答】解：∵⊙O的直径AB与弦CD垂直，
∴＝，
∴∠BOD＝2∠BAC＝80°．
故答案为：80°．
【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．【分析】先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出△PAB的面积．
【解答】解：∵把x＝2分别代入、，得y＝1、y＝﹣．
∴A（2，1），B（2，﹣），
∴AB＝1﹣（﹣）＝．
∵P为y轴上的任意一点，
∴点P到直线x＝2的距离为2，
∴△PAB的面积＝AB×2＝AB＝．
故答案是：．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出AB的长度是解答本题的关键，难度一般．
14．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．
【解答】解：根据题意得：△＝16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤，
则k的非负整数值为1．
故答案为：1
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
15．【分析】首先列出树状图，可以直观的看出总共有几种情况，再找出都是奇数的情况，根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：如图所示：
取出的两个数字都是奇数的概率是：＝，
故答案为：．

【点评】此题主要考查了画树状图，以及概率公式，关键是正确画出树状图．
16．【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．
【解答】解：由勾股定理得：OP4＝＝，
∵OP1＝；得OP2＝；
依此类推可得OPn＝，
∴OP2012＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
三、解答题（本大题共9个小题，共计72分）
17．【分析】分别进行零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣4﹣2×+﹣1＝﹣4．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，属于基础题．
18．【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19．【分析】△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得出△A2B2C2即可．
【解答】解：如图所示：

【点评】此题主要考查了图形的旋转变换以及轴对称图形，根据已知得出对应点位置是解题关键．
20．【分析】设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，然后可得出方程，解出即可．
【解答】解：设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，
∵12×1.5＝18＜20，
∴x＜12
则1.5x+2.5（12﹣x）＝20，
解得：x＝10．
答：该市规定的每户每月标准用水量为10吨．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系得出方程．
21．【分析】（1）根据条形统计图可以求得m的值，然后利用50减去其它各组的人数即可求得n的值；
（2）根据（1）的结果即可作出统计图；
（3）利用总人数2000乘以所占的比例即可求解．
【解答】解：（1）根据条形图可以得到：m＝5，n＝50﹣5﹣30﹣5＝10（人）
故答案是：5，10；
（2）
；
（3）2000×＝1200（人）．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．【分析】设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC＝1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．
【解答】解：设CF＝x，
在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，
∴BC＝CF＝x，
＝tan30°，
即AC＝x，
∵AC﹣BC＝1200米，
∴x﹣x＝1200，
解得：x＝600（+1），
则DF＝h﹣x＝2001﹣600（+1）≈362（米）．
答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC的长度，难度一般．
23．【分析】（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；

（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①，
两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
②﹣①得：3S﹣S＝3n+1﹣1，即S＝（3n+1﹣1），
则1+3+32+33+34+…+3n＝（3n+1﹣1）．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．
24．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；

（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5；

（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键．
25．【分析】方法一：
（1）利用待定系数法求出直线解析式；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；
（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．
如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）分别求出C，Q，E三点坐标，从而证明△CEQ∽△CDO．
（4）分别找出点C关于直线QE的对称点坐标C’以及点C关于x轴的对称点C’’，当C’，P，F，C’’四点共线时，△PCF的周长存在最小值．
【解答】方法一：
解：（1）∵C（0，1），OD＝OC，∴D点坐标为（1，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将C（0，1），D（1，0）代入得：，
解得：b＝1，k＝﹣1，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+1．

（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
将C（0，1）代入得：1＝a×（﹣2）2+3，解得a＝．
∴y＝（x﹣2）2+3＝x2+2x+1．

（3）证明：由题意可知，∠ECD＝45°，
∵OC＝OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC＝45°，
∴∠ECD＝∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x＝2）对称，
∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x＝2）与CE交于点M，则M（2，1），
∴ME＝CM＝QM＝2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC＝∠QCE＝45°．
又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠QEC＝∠QCE＝∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴△CEQ∽△CDO．

（4）存在．
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长＝F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′＝4，NC″＝4+1+1＝6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″＝＝＝．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）∵OC＝OD，且OC⊥OD，
∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC＝45°，
∴∠ECD＝∠ODC，CE∥x轴，则点C，E关于对称轴对称，
∴E（4，1），QC＝，
QE＝，
∴QC＝QE，
∵KQC＝＝1，KQE＝＝﹣1，
∴KQC×KQE＝﹣1，∴QC⊥QE，
∴△CQE为等腰直角三角形，
∴△CEQ∽△CDO．

（4）过点C作关于x轴和直线QE的对称点C″，C′，
显然C″的坐标为（0，﹣1），
∵QC⊥QE，
∴点Q为CC′的中点，由中点公式，
∴，，
∴C′（4，5），
∵CF＝C″F，PC＝PC′，
∴当C′，P，F，C″四点共线时，周长最短．
∴CF+FP+PC＝C″F+FP+PC′＝C″C′，
∵C″（0，﹣1），C′（4，5），
∴C″C′＝，
∴△PCF的周长存在最小值，最小值为2．

【点评】本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．
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