2020年辽宁省大连市中考数学试卷及解析.doc

2020年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）2020年6月23日，我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星驻守在我们上方36000公里的天疆．数36000用科学记数法表示为（　　）
A．360×102 B．36×103 C．3.6×104 D．0.36×105
4．（3分）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
7．（3分）在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（　　）

A．100m B．100m C．100m D．m
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（　　）

A．50° B．70° C．110° D．120°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式5x+1＞3x﹣1的解集是　 　．
12．（3分）某公司有10名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示．
部门
人数
每人所创年利润/万元
A
1
10
B
2
8
C
7
5
这个公司平均每人所创年利润是　 　万元．
13．（3分）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为　 　．
14．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝　 　°．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与D在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，点B的坐标为（0，2），则k的值为　 　．

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为　 　．

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算（+1）（﹣1）++．

18．（9分）计算﹣1．

19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE．求证：∠ADE＝∠AED．

20．（12分）某校根据《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录（2020版）》公布的初中段阅读书目，开展了读书活动．六月末，学校对八年级学生在此次活动中的读书量进行了抽样调查，如图是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
读书量
频数（人）
频率
1本
4

2本

0.3
3本

4本及以上
10

根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查学生中，读书量为1本的学生数为　 　人，读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为　 　%；
（2）被调查学生的总人数为　 　人，其中读书量为2本的学生数为　 　人；
（3）若该校八年级共有550名学生，根据调查结果，估计该校八年级学生读书量为3本的学生人数．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？

22．（10分）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．
（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；
（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB＝，BC＝1，求PD的长．

23．（10分）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，求上升的时间．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点B出发，沿边BA→AC以2cm/s的速度向终点C运动，过点D作DE∥BC，交边AC（或AB）于点E．设点D的运动时间为t（s），△CDE的面积为S（cm2）．

（1）当点D与点A重合时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

25．（11分）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．

（1）填空：与∠CAG相等的角是　 　；
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求的值．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为　 　；
（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为　 　；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t＝时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．

2020年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1，0＞﹣1，﹣＞﹣1，1＞﹣1，
∴四个数中，比﹣1小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边的一个小正方形．
故选：B．
3．（3分）
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：36000＝3.6×104，
故选：C．
4．（3分）
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质求出∠AED即可．
【解答】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠C＝80°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°，
故选：D．
5．（3分）
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣1）
故选：B．
6．（3分）
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
D．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项不合题意．
故选：C．
7．（3分）
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，
从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．
故选：D．
8．（3分）
【分析】根据题意求出∠AOB，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝OA＝100（m），
故选：A．
9．（3分）
【分析】根据抛物线的对称性和（﹣1，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标．
【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
10．（3分）
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）
【分析】先对不等式进行移项，合并同类项，再系数化1即可求得不等式的解集．
【解答】解：5x+1＞3x﹣1，
移项得，5x﹣3x＞﹣1﹣1，
合并得，2x＞﹣2，
即x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1．
12．（3分）
【分析】直接利用表格中数据，求出10人的总创年利润进而求出平均每人所创年利润．
【解答】解：这个公司平均每人所创年利润是：（10+2×8+7×5）＝6.1（万）．
故答案为：6.1．
13．（3分）
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形的宽为x，且宽比长少12，
∴矩形的长为（x+12）．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
14．（3分）
【分析】由菱形的性质得出AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，则∠ABC+∠BCD＝180°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣80°＝100°；
故答案为：100．
15．（3分）
【分析】连接BD，与AC交于点O，利用正方形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD＝2，从而得到点A坐标，代入反比例函数表达式即可．
【解答】解：连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，AC⊥x轴，
∴BD所在对角线平行于x轴，
∵B（0，2），
∴OC＝2＝BO＝AO＝DO，
∴点A的坐标为（2，4），
∴k＝2×4＝8，
故答案为：8．

16．（3分）
【分析】根据题干条件可证得△DEF∽△BCF，从而得到，由线段比例关系即可求出函数解析式．
【解答】解：在矩形 中，AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵BD＝＝10，BF＝y，DE＝x，
∴DF＝10﹣y，
∴，化简得：，
∴y关于x的函数解析式为：，
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）
【分析】原式利用平方差公式，立方根、算术平方根性质计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣2+3
＝2．
18．（9分）
【分析】直接利用分式的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝•﹣1
＝﹣1
＝
＝﹣．
19．（9分）
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到∠B＝∠C，然后证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等有AD＝AE，再根据等边对等角的性质即可证明．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE（全等三角形对应边相等），
∴∠ADE＝∠AED（等边对等角）．
20．（12分）
【分析】（1）直接根据图表信息可得；
（2）用4本及以上对应的频数除以所占百分比可得总人数，再乘以读书量为2本的频率即可；
（3）求出读书量为3本的人数，除以样本人数50，再乘以全校总人数550可得结果．
【解答】解：（1）由图表可知：
被调查学生中，读书量为1本的学生数为4人，
读书量达到4本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为20%，
故答案为：4；20；
（2）10÷20%＝50，
50×0.3＝15，
∴被调查学生的总人数为50人，其中读书量为2本的学生数为15人，
故答案为：50；15；
（3）（50﹣4﹣10﹣15）÷50×550＝231，
该校八年级学生读书量为3本的学生有231人．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据“第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，
依题意，得：，
解得：．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
22．（10分）
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACD，由圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠ADC＝180°，则可得出答案；
（2）由切线的性质得出∠ODP＝90°，由垂径定理得出∠DEC＝90°，由圆周角定理∠ACB＝90°，可得出四边形DECP为矩形，则DP＝EC，求出EC的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴∠ADC+2∠ACD＝180°，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：连接OD交AC于点E，

∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∴∠ODP＝90°，
又∵＝，
∴OD⊥AC，AE＝EC，
∴∠DEC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECP＝90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DP＝EC，
∵tan∠CAB＝，BC＝1，
∴，
∴AC＝，
∴EC＝AC＝，
∴DP＝．
23．（10分）
【分析】（1）根据图象中坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据分析可知：当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，可得方程x+5﹣（x+15）＝15，解之即可．
【解答】解：（1）设甲气球的函数解析式为：y＝kx+b，乙气球的函数解析式为：y＝mx+n，
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入，
，，
解得：，，
∴甲气球的函数解析式为：y＝x+5，乙气球的函数解析式为：y＝x+15；

（2）由初始位置可得：
当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，
且此时甲气球海拔更高，
∴x+5﹣（x+15）＝15，
解得：x＝50，
∴当这两个气球的海拔高度相差15m时，上升的时间为50min．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
当点D与点A重合时，BD＝AB＝10cm，
∴t＝＝5（s）；
（2）当0＜t＜5时，（D在AB上），
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴＝＝，
解得：DE＝，CE＝t，
∵DE∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴S＝DE•CE＝×t＝﹣t2+；
如图2，当5＜t＜8时，（D在AC上），
则AD＝2t﹣10，
∴CD＝16﹣2t，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝，
∴DE＝，
∴S＝DE•CD＝×（16﹣2t）＝﹣t2+t﹣，
综上所述，S关于t的函数解析式为S＝．

25．（11分）
【分析】（1）根据等腰三角形等边对等角回答即可；
（2）在CG上取点M，使GM＝AF，连接AM，EM，证明△AGM≌△GAF，得到AM＝GF，∠AFG＝∠AMG，从而证明四边形AMED为平行四边形，得到AD＝EM，AD∥EM，最后利用中位线定理得到结论；
（3）延长BA至点N，使AD＝AN，连接CN，证明△BCN为等腰三角形，设AD＝1，可得AB和BC的长，利用勾股定理求出AC，即可得到的值．
【解答】解：（1）∵CA＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
故答案为：∠CGA；
（2）AD＝BD，理由是：
如图，在CG上取点M，使GM＝AF，连接AM，EM，
∵∠CAG＝∠CGA，AG＝GA，
∴△AGM≌△GAF（SAS），
∴AM＝GF，∠AFG＝∠AMG，
∵GF＝DE，∠AFG＝∠CDE，
∴AM＝DE，∠AMG＝∠CDE，
∴AM∥DE，
∴四边形AMED为平行四边形，
∴AD＝EM，AD∥EM，
∵BE＝CE，即点E为BC中点，
∴ME为△BCD的中位线，
∴AD＝ME＝BD；
（3）延长BA至点N，使AD＝AN，连接CN，
∵∠BAC＝∠NAC＝90°，
∴AC垂直平分DN，
∴CD＝CN，
∴∠ACD＝∠ACN，
设∠ACD＝α＝∠ACN，则∠ABC＝2α，
则∠ANC＝90﹣α，
∴∠BCN＝180﹣2α﹣（90﹣α）＝90﹣α，
∴BN＝BC，即△BCN为等腰三角形，
设AD＝1，则AN＝1，BD＝2，
∴BC＝BN＝4，AB＝3，
∴AC＝，
∴．

26．（12分）
【分析】（1）根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，求出P、Q两点坐标，即可得到PQ；
（2）根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，求出P、Q两点坐标，根据PQ＝6得出方程，解出t值即可；
（3）①根据F1和F2关于y轴对称得出F2的解析式，将x＝代入解析式，求出P、Q两点坐标，从而得出△OPQ的面积；
②根据题意得出两个函数的解析式，再分当0＜c＜1时，当1≤c≤2时，当c＞2时，三种情况，分析两个函数的增减性，得出最值，相减即可．
【解答】解：（1）∵F1：y＝x+1，
F1和F2关于y轴对称，
∴F2：y＝﹣x+1，
分别令x＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，
∴P（2，3），Q（2，﹣1），
∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4，
故答案为：4；
（2）∵F1：，
可得：F2：，
∵x＝t，可得：P（t，），Q（t，），
∴PQ＝﹣＝＝6，
解得：t＝1，
经检验：t＝1是原方程的解，
故答案为：1；
（3）①∵F1：y＝ax2+bx+c，
∴F2：y＝ax2﹣bx+c，
∵t＝，分别代入F1，F2，
可得：P（，），Q（，），
∴PQ＝||＝，
∴S△OPQ＝＝1；
②∵函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），
而函数F1和F2的图象关于y轴对称，
∴函数F1的图象经过A（5，0）和（﹣1，0），
∴设F1：y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
则F2：y＝ax2+4ax﹣5a，
∴F1的图象的对称轴是直线x＝2，且c＝﹣5a，
∴a＝，
∵c＞0，则a＜0，c+1＞1，
而F2的图象在x＞0时，y随x的增大而减小，
当0＜c＜1时，
F1的图象y随x的增大而增大，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣8ac﹣8a，
又∵a＝，
∴h＝；
当1≤c≤2时，
F1的最大值为＝﹣9a，F2的图象y随x的增大而减小，
∴F2的最小值为：a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，
则h＝﹣9a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣4a＝﹣ac2﹣6ac﹣9a，
又∵a＝，
∴h＝，
当c＞2时，
F1的图象y随x的增大而减小，F2的图象y随x的增大而减小，
∴当x＝c时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为ac2﹣4ac﹣5a，
当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，
则h＝ac2﹣4ac﹣5a﹣[a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a]，
又∵a＝，
∴h＝2c2+c；
综上：h关于x的解析式为：．
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