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2010年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．20＝0 B．3﹣1＝﹣3 C． D．
2．（3分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（　　）

A．30° B．40° C．60° D．70°
3．（3分）德州市2009年实现生产总值（GDP）1545.35亿元，用科学记数法表示应是（结果保留3个有效数字）（　　）
A．1.54×108元 B．1.545×1011元
C．1.55×1010元 D．1.55×1011元
4．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）某游泳池的纵切面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）为了了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中50名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），进行整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（注：15～20包括15，不包括20，以下同），请根据统计图计算成绩在20～30次的频率是（　　）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
7．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　）

A． B． C．abπ D．acπ
8．（3分）已知三角形的三边长分别为：3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（　　）
A．0，1，2，3 B．0，1，2，4 C．0，1，2，3，4 D．0，1，2，4，5
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）﹣3的倒数是　 　．
10．（4分）不等式组的解集为　 　．
11．（4分）袋子中装有3个红球和5个白球，这些球除颜色外均相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，则摸出白球的概率是　 　．
12．（4分）方程的解为x＝　 　．
13．（4分）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是　 　（只要写出一种即可）．
14．（4分）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　 　m．

15．（4分）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3＝BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为　 　．

16．（4分）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD），已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为　 　mm．（，结果精确到1mm）

三、解答题（共7小题，满分64分）
17．（7分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．

19．（8分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
92
80
95
90
80
85
75
（1）请你计算这两组数据的平均数、中位数；
（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC＝120°时，求∠EFG的度数．

21．（10分）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
22．（10分）探究：
（1）在图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A（﹣1，0），B（3，0），则E点坐标为　 　；
②若C（﹣2，2），D（﹣2，﹣1），则F点坐标为　 　；
（2）在图中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．

归纳：
无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x＝　 　，y＝　 　．（不必证明）

运用：
在图中，一次函数y＝x﹣2与反比例函数的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

23．（11分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）．
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

2010年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】分别根据零指数幂、负指数幂、二次根式的定义及加法运算法则计算．
【解答】解：A、20＝1，故选项错误；
B、3﹣1＝，故选项错误；
C、正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了零指数幂、负指数幂、二次根式的定义及加法运算法则，所以学生对所学的知识要能够灵活运用．
2．【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；有效数字要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
【解答】解：1545.35亿元＝154 535 000 000元≈1.55×1011元．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．【分析】根据先往深水区注水，和浅水区高度相持平时，往整个泳池内注水判断．
【解答】解：随着注水时间的变化，先往深水区注水，由于深水区形状是梯状，此时h将随时间的增大变化为：快，慢，表现在函数图象上就是平滑的陡，缓曲线；往整个泳池内注水时，变为均匀的长方体，h将随时间的增大而均匀增高，此时函数图象为一条直线．
故选：A．
【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．注意本题应是泳池的主视图．
6．【分析】根据频率的求法，频率＝，计算可得答案．
【解答】解：（15+20）÷（5+10+15+20）＝0.7，
故选：D．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
7．【分析】易得此几何体为圆锥，侧面积＝．
【解答】解：由题意得底面直径为a，母线长为c，
∴几何体的侧面积为acπ，
故选：B．
【点评】本题需先确定几何体的形状，关键是找到等量关系里相应的量．
8．【分析】根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴三角形为直角三角形，
设内切圆半径为r，则
（3+4+5）r＝×3×4，
解得r＝1，
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆为三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．
故选：C．

【点评】本题考查线段与圆的交点的情况，需要考虑所有的可能情况，先求出内切圆半径是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
9．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
10．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：由（1）得，x＞﹣1，
由（2）得，x≤1，
故原不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．
【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
11．【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：∵布袋中有除颜色外完全相同的8个球，其中5个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
12．【分析】观察方程可得最简公分母是：x（x﹣3），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣3），
得2x＝x﹣3，
解得x＝﹣3．
经检验：x＝﹣3是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
13．【分析】根据连接四边形各边中点得到的四边形的情况与对角线的关系解答．
【解答】解：根据①连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形为菱形；
②连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形为矩形；
③连接对角线既相等又垂直的四边形各边中点所得四边形为正方形；
④连接对角线既不相等又不垂直的四边形各边中点所得四边形为平行四边形．
所以，所写四边形只要对角线相等即可，例如：正方形、矩形、等腰梯形．
【点评】本题考查四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的情况，需要熟练掌握．
14．【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得＝；即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF＝90°，
∴∠EDC＝∠CDF＝90°，
∴∠E+∠ECD＝∠ECD+∠DCF＝90°，
∴∠E＝∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有＝；即DC2＝ED•FD，
代入数据可得DC2＝16，
DC＝4；
故答案为：4．

【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
15．【分析】根据题意，观察循环规律，由易到难，由特殊到一般．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，边长为6，根据跳动规律可知，
P0P1＝4，P1P2＝2，P2P3＝4，P3P4＝2，…
观察规律：当落点脚标为奇数时，距离为4，当落点脚标为偶数时，距离为2，
故P2009P2010＝2．
【点评】本题是观察规律题，通过列举几个落点之间的距离，寻找一般规律．
16．【分析】把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可．
【解答】解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′．
粉笔的半径是6mm．则边长是6mm．
∵∠M′B′C′＝60°
∴B′M′＝B′C′•cos60°＝6×＝3．
边心距C′M′＝6sin60°＝3mm．
则图（2）中，AB＝CD＝11×3＝33mm．
AD＝BC＝5×6+5×12+3＝93mm．
则周长是：2×33+2×93＝66+186≈300mm．
故答案是：300mm．

【点评】本题主要考查了正多边形的运算，把图形的计算转化为单个多边形的计算是解决本题的关键．
三、解答题（共7小题，满分64分）
17．【分析】把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．
【解答】解：原式＝×+＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】分式先化简再求值的问题，难度不大．
18．【分析】（1）根据BE＝CF得到BF＝CE，又∠A＝∠D，∠B＝∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据三角形全等得∠AFB＝∠DEC，所以是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．

（2）解：△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF为等腰三角形．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE＝CF得到BF＝CE是证明三角形全等的关键．
19．【分析】（1）直接计算平均数、中位数．（2）计算方差，然后分析．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，＝（x1+x2+…+Xn），则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：（1）＝（82+81+79+78+95+88+93+84）＝85，
＝（92+95+80+75+83+80+90+85）＝85．
这两组数据的平均数都是85．
这两组数据的中位数分别为83，84．
（2）派甲参赛比较合适．理由如下：由（1）知＝，
∵＝，s甲2＜s乙2，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，酌情给分．
如派乙参赛比较合适．理由如下：
从统计的角度看，甲获得8（5分）以上（含85分）的概率，
乙获得8（5分）以上（含85分）的概率，
∵P2＞P1，∴派乙参赛比较合适．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，＝（x1+x2+…+xn），则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了中位数和众数的定义．
20．【分析】（1）连接OE，证OE⊥BC即可．因为AD⊥BC，所以转证OE∥AD．由AE平分∠BAD，OA＝OE易得此结论．
（2）∠EFG＝∠GAE＝∠EAO＝∠AEO．根据已知条件易得∠B＝30°，∠EOB＝60°．从而求解．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵AB＝AC且D是BC中点，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
则∠OEA＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，AD⊥BC，EO∥AD，
∴∠BAD＝∠EOB＝60°且AE平分∠BAD，
∴∠EAO＝∠EAG＝30°
又∵∠EFG与∠GAE都对应弧GE
∴∠EFG＝∠GAE＝30°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠EFG＝30°．

【点评】此题考查了切线的判定、等腰三角形性质等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
21．【分析】（1）对甲，由于购买个数不同，售价也不同，因此需按购买个数分成三段由等量关系“所需金额＝售价×购买个数”列出函数关系式；
对乙，按等量关系“所需金额＝售价×购买个数”列出函数关系式．
（2）分别计算投资额在甲乙商家各能购买的太阳能路灯的数量，比较得出最大值．
【解答】解：（1）由题意可知，
当0＜x≤100时，购买一个需5000元，故y1＝5000x；
当x＞100时，
∵购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，
∴x≤+100＝250个．
即100＜x≤250时，购买一个需5000﹣10（x﹣100）元，
故y1＝﹣10x2+6000x；
当x＞250时，购买一个需3500元，
故y1＝3500x；
∴y1＝，
y2＝5000×80%x＝4000x．

（2）在甲商家，当0＜x≤100时，y1＝5000x≤500000＜1400000；
当100＜x≤250时，y1＝6000x﹣10x2＝﹣10（x﹣300）2+900000＜1400000；
∴由3500x＝1400000，得x＝400；
在乙商家，由4000x＝1400000，
得x＝350个．
故选择甲商家，最多能购买400个路灯．
【点评】本题考查了分段函数关系式的列法，应从自变量的变化范围入手，同时考查了最值的求法．
22．【分析】（1）正确作出两线段的中点，即可写出中点的坐标；
（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A'，D'，B'，则AA'∥BB'∥CC'，根据梯形中位线定理即可得证；
①解两函数解析式组成的方程组即可解得两点的坐标；
②根据A，B两点坐标，根据上面的结论可以求得AB的中点的坐标，此点也是OP的中点，根据前边的结论即可求解．
【解答】解：探究（1）①（1，0）；②（﹣2，）；

（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A'，D'，B'，
则AA'∥BB'∥DD'．（1分）
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得A'D'＝D'B'．
∴OD'＝
即D点的横坐标是．（1分）
同理可得D点的纵坐标是．
∴AB中点D的坐标为（，）．

归纳：，．
运用①由题意得
解得或
∴即交点的坐标为A（﹣1，﹣3），B（3，1）．
②以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为（1，﹣1）．
∵平行四边形对角线互相平分，
∴OM＝MP，即M为OP的中点．
∴P点坐标为（2，﹣2）．
当OB为对角线时，PB＝AO，PB∥AO，
同理可得：点P坐标分别为（4，4），
以OA为对角线时，PA＝BO，PA∥BO，
可得：点P坐标分别为（﹣4，﹣4）．
∴满足条件的点P有三个，
坐标分别是（2，﹣2），（4，4），（﹣4，﹣4）．

【点评】本题主要探索了：两点连线的中点的横坐标是两点横坐标的中点，纵坐标是纵坐标的中点．
23．【分析】（1）知道二次函数的解析式经过三点，把三点坐标代入就能求得函数解析式，由解析式写出对称轴．
（2）①过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ＝AB，算出时间t．
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G，根据题意求出PF＝QG，MFP≌△MGQ，由S＝S四边形ABPQ﹣S△BPN列出函数关系式，求出最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
将点A（3，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c
得
解得：a＝1，b＝﹣2．
∴y＝x2﹣2x﹣3，
配方得：y＝（x﹣1）2﹣4，
所以对称轴直线为：x＝1；

（2）①由题意可知：BP＝OQ＝0.1t，
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA，
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ＝AB，
∵BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，
∴△ABD和△QPE为直角三角形，
当PQ＝AB时，又∵BD＝PE，
∴Rt△ABD≌Rt△QPE（HL），
∴QE＝AD＝1．
∵ED＝BP＝0.1t，DO＝BC＝2，
∴EO＝2﹣0.1t，
又∵QE＝OE﹣OQ＝（2﹣0.1t）﹣0.1t＝2﹣0.2t，
∴2﹣0.2t＝1，
解得t＝5．
即t＝5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x＝1是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF＝OG＝1．
又∵BP＝OQ，
∴PF＝QG．
又∵∠PMF＝∠QMG，∠MFP＝∠MGQ＝90°，
∴△MFP≌△MGQ（AAS），
∴MF＝MG，
∴点M为FG的中点，
∴S＝S四边形ABPQ﹣S△BPN＝S四边形ABFG﹣S△BPN．
由S四边形ABFG＝＝．
，
∴S＝．
又∵BC＝2，OA＝3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0＜t≤20．
∴当t＝20秒时，面积S有最小值3．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，会求二次函数的对称轴等一系列问题，求最值问题一般可以转化为函数的最值问题，此题比较繁琐，做题需要耐心．
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日期：2019/10/23 19:55:07；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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