2018年湖南省娄底市中考数学试卷（教师版）.doc

<p>2018年湖南省娄底市中考数学试卷（教师版）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）2018的相反数是（　　）
A． B．2018 C．﹣2018 D．﹣
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．0 D．1
【考点】W5：众数．菁优网版权所有
【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，
所以众数为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
3．（3分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×107 B．2.1×106 C．21×105 D．2.1×107
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：210万＝2.1×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a5＝a10 B．（3a3）2＝6a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
【考点】4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a7，不符合题意；
B、原式＝9a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣a﹣6，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】先计算判别式得到△＝（k+3）2﹣4×k＝（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．（3分）不等式组的最小整数解是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，
解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
所以不等式组的最小整数解为0，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）如图所示立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
8．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3
【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．（3分）将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）
A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：y＝2（x﹣2）﹣3+3＝2x﹣4．
化简，得
y＝2x﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
10．（3分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
【考点】R2：旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH＝x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC＝2CH＝2x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S＝6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．
【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH＝x，竖直放置时短软管的底面积为S，
∵∠BAH＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2CH＝2x，
∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，
∵x•S+x•2S＝6•S+6•S，解得x＝4，
∴AC＝2x＝8，
即AB中水柱的长度约为8cm．
故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα＝（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．
【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即AC2+（7+AC）2＝132，
整理得，AC2+7AC﹣60＝0，
解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），
∴BC＝＝12，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣，
故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．
12．（3分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．令关于k的函数f（k）＝[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）＝[]﹣[]＝1．则下列结论错误的是（　　）
A．f（1）＝0 B．f（k+4）＝f（k）
C．f（k+1）≥f（k） D．f（k）＝0或1
【考点】CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．菁优网版权所有
【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：f（1）＝[]﹣[]＝0﹣0＝0，故选项A正确；
f（k+4）＝[]﹣[]＝[+1]﹣[+1]＝[]﹣[]＝f（k），故选项B正确；
C、当k＝3时，f（3+1）＝[]﹣[]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故选项C错误；
D、当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以D选项的结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．
二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y＝图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为　1　．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．
【解答】解：∵点P是反比例函数y＝图象上的一点，PA⊥x轴于点A，
∴△POA的面积为：AO•PA＝xy＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．
14．（3分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1　＜　S2+S3．（填“＜”或“＝”或“＞”）

【考点】K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质；MI：三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD＝PE＝PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，
∵P是△ABC的内心，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝AB•PD，S2＝BC•PF，S3＝AC•PE，AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故答案为：＜．

【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD＝PE＝PF．
15．（3分）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为　　．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，
所以选修地理和生物的概率为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝　6　cm．

【考点】K3：三角形的面积；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，又S△ABC＝AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF．
【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．
17．（3分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE•BE＝　1　．

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得＝，推出AE•BE＝OE2＝1．
【解答】解：如图连接OE．

∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠BOE＝90°，
∴∠EAO＝∠EOB，
∵∠AEO＝∠OEB＝90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴＝，
∴AE•BE＝OE2＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
18．（3分）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2018＝　4035　．
【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【分析】由4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，可得（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1＝an+2，根据a1＝1，分别求出
a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，进而发现规律an＝2n﹣1，即可求出a2018＝4035．
【解答】解：∵4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，
∴（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1﹣1＝an+1，
∴an+1＝an+2，
∵a1＝1，
∴a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，
…，
∴an＝2n﹣1，
∴a2018＝4035．
故答案为4035．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1＝an+2．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．
【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°
＝1+9﹣+4×
＝1+9﹣2+2
＝10．
【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
当x＝时，原式＝＝3+2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求样本容量；
（2）补全条形图，并填空：n＝　10　；
（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；
（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；
（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）样本容量为18÷30%＝60；

（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）＝12人，n%＝×100%＝10%，
补全图形如下：

故答案为：10；

（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×＝2000人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα＝，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】作EH⊥AC于H，设AC＝24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．
【解答】解：作EH⊥AC于H，
则四边形EDCH为矩形，
∴EH＝CD，
设AC＝24x，
在Rt△ADC中，sinα＝，
∴AD＝25x，
由勾股定理得，CD＝＝7x，
∴EH＝7x，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH＝7x，
由题意得，24x＝7x+340，
解得，x＝20，
则AC＝24x＝480，
∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28，
答：发射塔AB的高度为28m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．
（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；
（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x＝1，2，3．进而求解即可；
（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．
【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，
根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，
解得x≤3，
∵x为正整数，
∴x＝1，2，3，
∴该景区有三种设计方案：
方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；
方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；
方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；

（2）各方案购买费用分别为：
方案一：3×1+4.4×9＝42.6＞40，实际付款：42.6×0.9＝38.34（万元）；
方案二：3×2+4.4×8＝41.2＞40，实际付款：41.2×0.9＝37.08（万元）；
方案三：3×3+4.4×7＝39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；
∵37.08＜38.34＜39.8，
∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．
24．（9分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；
（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF．

（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，
∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AD＝BC，
∴DE＝BF，∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵OB＝OD，EF⊥BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2＝CE•DE；
（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD＝90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD＝90°，据此可得答案；
（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，证△ADE∽△CBE得DE•CE＝AE•BE＝r2﹣OE2，由＝知∠AOC＝∠BOC＝90°，根据勾股定理知CE2＝OE2+r2、BC2＝2r2，据此得BC2﹣CE2＝r2﹣OE2，从而得证；
（3）先求出BC＝4、CE＝2，根据BC2﹣CE2＝CE•DE计算可得．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠PBD；

（2）∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴＝，即DE•CE＝AE•BE，
如图，连接OC，

设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，
则DE•CE＝AE•BE＝（OA﹣OE）（OB+OE）＝r2﹣OE2，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴CE2＝OE2+OC2＝OE2+r2，BC2＝BO2+CO2＝2r2，
则BC2﹣CE2＝2r2﹣（OE2+r2）＝r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2＝DE•CE；

（3）∵OA＝4，
∴OB＝OC＝OA＝4，
∴BC＝＝4，
又∵E是半径OA的中点，
∴AE＝OE＝2，
则CE＝＝＝2，
∵BC2﹣CE2＝DE•CE，
∴（4）2﹣（2）2＝DE•2，
解得：DE＝．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF＝∠DBE时，求点F的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF＝﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′＝ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1＝∠DBE、∠AEF2＝∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．
设直线BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将（3，0）、（1，4）代入y＝mx+n，
，解得：，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）＝﹣x2+4x﹣3，
∴S△BDF＝FM•（xB﹣xD）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，S△BDF取最大值，最大值为1．
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′＝ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．
∵EF1∥BD，
∴∠AEF1＝∠DBE．
∵ON＝ON′，EO⊥NN′，
∴∠AEF2＝∠AEF1＝∠DBE．
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y＝﹣2x+b1，
将E（1，0）代入y＝﹣2x+b1，
﹣2+b1＝0，解得：b1＝2，
∴直线EF1的解析式为y＝﹣2x+2．
联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．
当x＝0时，y＝﹣2x+2＝2，
∴点N的坐标为（0，2），
∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y＝2x﹣2．
联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．
综上所述：当∠AEF＝∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF＝﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．
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日期：2019/12/12 20:59:05；用户：初中数学；邮箱：sx0123@；学号：30177373
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