2016年广西省来宾市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年广西来宾市中考数学试卷
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）（2016•来宾）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2=x4 B．x2+x3=2x5
C．3x﹣2x=1 D．x2y﹣2x2y=﹣x2y
2．（3分）（2016•来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
3．（3分）（2016•来宾）计算（﹣）0﹣=（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣2 D．﹣
4．（3分）（2016•来宾）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（　　）
A．6 B．11 C．12 D．18
5．（3分）（2016•来宾）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣x3）2=x5 B．（﹣3x2）2=6x4 C．（﹣x）﹣2= D．x8÷x4=x2
6．（3分）（2016•来宾）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两个实数根，那么下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=﹣1 B．x1+x2=﹣3 C．x1+x2=1 D．x1+x2=3
7．（3分）（2016•来宾）计算（2x﹣1）（1﹣2x）结果正确的是（　　）
A．4x2﹣1 B．1﹣4x2 C．﹣4x2+4x﹣1 D．4x2﹣4x+1
8．（3分）（2016•来宾）下列计算正确的是（　　）
A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=16 D．=1
9．（3分）（2016•来宾）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10
10．（3分）（2016•来宾）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）（2016•来宾）下列3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．（3分）（2016•来宾）当x=6，y=﹣2时，代数式的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
13．（3分）（2016•来宾）设抛物线C1：y=x2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（　　）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x+2）2+3
14．（3分）（2016•来宾）已知直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
15．（3分）（2016•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
16．（3分）（2016•来宾）将数字185000用科学记数法表示为______．
17．（3分）（2016•来宾）计算：|1﹣3|=______．
18．（3分）（2016•来宾）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=______．

19．（3分）（2016•来宾）已知函数y=﹣x2﹣2x，当______时，函数值y随x的增大而增大．
20．（3分）（2016•来宾）命题“直径所对的圆周角是直角”的逆命题是______．

三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）（2016•来宾）甲、乙两名射击运动员在某次训练中各射击10发子弹，成绩如表：
甲
8
9
7
9
8
6
7
8
10
8
乙
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
且=8，S乙2=1.8，根据上述信息完成下列问题：
（1）将甲运动员的折线统计图补充完整；
（2）乙运动员射击训练成绩的众数是______，中位数是______．
（3）求甲运动员射击成绩的平均数和方差，并判断甲、乙两人本次射击成绩的稳定性．

22．（8分）（2016•来宾）已知反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于点A（﹣3，m）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点M的横、纵坐标都是不大于3的正整数，求点M在反比例函数图象上的概率．

23．（8分）（2016•来宾）如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．

24．（10分）（2016•来宾）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？

25．（12分）（2016•来宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：△ABD∽△DBE；
（3）若cosB=，AE=4，求CD．

26．（14分）（2016•来宾）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q
（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）
（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；
（3）设AM=x，d为点M到直线PQ的距离，y=d2，
①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

2016年广西来宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）（2016•来宾）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2=x4 B．x2+x3=2x5
C．3x﹣2x=1 D．x2y﹣2x2y=﹣x2y
【考点】合并同类项．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式．
【分析】原式各项合并同类项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=2x2，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、原式=x，错误；
D、原式=﹣x2y，正确，
故选D
【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键．

2．（3分）（2016•来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
【分析】直接用平行线的判定直接判断．
【解答】解：A、∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意，
B、∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，
C、∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，
D、∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，
故选C
【点评】此题是平行线的判定，解本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．

3．（3分）（2016•来宾）计算（﹣）0﹣=（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣2 D．﹣
【考点】算术平方根；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1﹣2=﹣1，
故选A
【点评】此题考查了算术平方根，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（3分）（2016•来宾）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（　　）
A．6 B．11 C．12 D．18
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，
故选C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．

5．（3分）（2016•来宾）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣x3）2=x5 B．（﹣3x2）2=6x4 C．（﹣x）﹣2= D．x8÷x4=x2
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（﹣x3）2=x6，故A错误；
B、（﹣3x2）2=9x4，故B错误；
C、（﹣x）﹣2=，故C正确；
D、x8÷x4=x4，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查积的乘方、负整数指数幂、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

6．（3分）（2016•来宾）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两个实数根，那么下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=﹣1 B．x1+x2=﹣3 C．x1+x2=1 D．x1+x2=3
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】先明确各项系数，a=1，b=3，c=﹣1，根据x1+x2=﹣代入得出结论．
【解答】解：由题意得：x1+x2=﹣3；
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握公式是关键：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立；要注意把一元二次方程化成一般形式后再确定系数．

7．（3分）（2016•来宾）计算（2x﹣1）（1﹣2x）结果正确的是（　　）
A．4x2﹣1 B．1﹣4x2 C．﹣4x2+4x﹣1 D．4x2﹣4x+1
【考点】完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式．
【分析】原式变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：原式=﹣（2x﹣1）2=﹣4x2+4x﹣1，
故选C
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．（3分）（2016•来宾）下列计算正确的是（　　）
A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=16 D．=1
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】A、和不是同类二次根式，不能合并；
B、二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，作为积中的被开方数；
C、二次根式的乘方，把每个因式分别平方，再相乘；
D、二次根式的除法，把分母中的根号化去．
【解答】解：A、不能化简，所以此选项错误；
B、3×=6，所以此选项正确；
C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；
D、==，所以此选项错误；
本题选择正确的，故选B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．

9．（3分）（2016•来宾）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】由中位线的性质可知DE=，DF=，DE∥BF，DF∥BE，可知四边形BEDF为平行四边形，从而可得周长．
【解答】解：∵AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE==2，DF=，=3，DE∥BF，DF∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF的周长为：2×2+3×2=10，
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质，利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键

10．（3分）（2016•来宾）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．

11．（3分）（2016•来宾）下列3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】利用旋转设计图案．菁优网版权所有
【分析】首先根据基本图形进而将已知图形进而分割得出答案．
【解答】解：如图1所示：可得到①通过旋转可以得到右侧图形；
如图2所示：可得到③通过旋转可以得到右侧图形．
故选：B．

【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确分割图形是解题关键．

12．（3分）（2016•来宾）当x=6，y=﹣2时，代数式的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【考点】分式的值．菁优网版权所有
【分析】把x、y值代入分式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x=6，y=﹣2，
∴===．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值，是基础题，准确计算是解题的关键．

13．（3分）（2016•来宾）设抛物线C1：y=x2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（　　）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x+2）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x﹣2）2向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣3．
故选A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

14．（3分）（2016•来宾）已知直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．菁优网版权所有
【分析】根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案．
【解答】解：∵直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），
∴方程组的解为，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．

15．（3分）（2016•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
【考点】不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】利用不等式组取解集的方法判断确定出a的范围即可．
【解答】解：∵等式组的解集是x≥1，
∴a＜1，
故选A
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
16．（3分）（2016•来宾）将数字185000用科学记数法表示为　1.85×105　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】数据绝对值大于10或小于1时科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：185000=1.85×105；
故答案为：1.85×105．
【点评】本题考查的是科学记数法．任意一个绝对值大于10或绝对值小于1的数都可写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10．对于绝对值大于10的数，指数n等于原数的整数位数减去1．

17．（3分）（2016•来宾）计算：|1﹣3|=　2　．
【考点】有理数的减法；绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据有理数的减法运算法则和绝对值的性质进行计算即可得解．
【解答】解：|1﹣3|=|﹣2|=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，是基础题，熟记运算法则和性质是解题的关键．

18．（3分）（2016•来宾）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=　140°　．

【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．
【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C=110°，
∴∠ADB=180°﹣∠C=180°﹣110°=70°，
∴∠AOB=2∠ADB=2×70°=140°．
故答案为140°．

【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

19．（3分）（2016•来宾）已知函数y=﹣x2﹣2x，当　x≤﹣1　时，函数值y随x的增大而增大．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y=﹣（x+1）2+1，由于a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质可知当x≤1时，y随x的增大而增大，即可求出．
【解答】解：∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x≤﹣1．
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小；a＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．

20．（3分）（2016•来宾）命题“直径所对的圆周角是直角”的逆命题是　90°圆周角所对的弦是直径　．
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】交换命题的题设和结论即可确定该命题的逆命题．
【解答】解：命题“直径所对的圆周角是直角”的逆命题是90°圆周角所对的弦是直径，
故答案为：90°圆周角所对的弦是直径．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．

三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）（2016•来宾）甲、乙两名射击运动员在某次训练中各射击10发子弹，成绩如表：
甲
8
9
7
9
8
6
7
8
10
8
乙
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
且=8，S乙2=1.8，根据上述信息完成下列问题：
（1）将甲运动员的折线统计图补充完整；
（2）乙运动员射击训练成绩的众数是　7　，中位数是　7.5　．
（3）求甲运动员射击成绩的平均数和方差，并判断甲、乙两人本次射击成绩的稳定性．

【考点】折线统计图；中位数；众数；方差．菁优网版权所有
【专题】统计与概率．
【分析】（1）根据表格中的数据可以将折线统计图补充完整；
（2）根据表格中的数据可以得到乙运动员射击训练成绩的众数和中位数；
（3）根据表格中的数据可以计算出甲运动员射击成绩的平均数和方差，根据甲乙两人的方差可以得到谁的稳定性好．
【解答】解：（1）由表格中的数据可以将折线统计图补充完成，如右图所示，
（2）将乙的射击成绩按照从小到大排列是：
6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，
故乙运动员射击训练成绩的众数是7，中位数是：=7.5，
故答案为：7，7.5；
（3）由表格可得，
=8，
=1.2，
∵1.5＜1.8，
∴甲本次射击成绩的稳定性好，
即甲运动员射击成绩的平均数是8，方差是1.2，甲本次射击成绩的稳定性好．

【点评】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

22．（8分）（2016•来宾）已知反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于点A（﹣3，m）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点M的横、纵坐标都是不大于3的正整数，求点M在反比例函数图象上的概率．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）首先将点A的坐标代入一次函数的解析式，求得m的值，从而确定点A的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值即可；
（2）根据点M的横纵坐标均为不大于3的正整数确定所有点M的可能，然后找到在反比例函数的图象上的点的个数，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于点A（﹣3，m），
∴﹣3+2=m=﹣1，
∴点A的坐标为（﹣3，﹣1），
∴k=﹣3×（﹣1）=3，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）∵点M的横、纵坐标都是不大于3的正整数，
∴点M 的坐标可能为：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3），
∵在反比例函数的图象上的有（1，3）和（3，1）两个点，
∴点M在反比例函数图象上的概率为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及概率的知识，列举时候也可以采用穷举法将所有等可能的结果列举出来，关键是做到不重不漏，难度不大．

23．（8分）（2016•来宾）如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等；
（2）利用全等三角形的性质得出AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，求出SEGF=2S△ECF，根据三角形面积得出EC=CG=1，根据正方形的性质得出BC=AB=2，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△EGF，AB=2，
∴AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，
∵S△ABE=2S△ECF，
∴SEGF=2S△ECF，
∴EC=CG=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∵BC=AB=2，
∴BE=2﹣1=1．
【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

24．（10分）（2016•来宾）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
（2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：+10=，
解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．

（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：（100+200）a﹣11000﹣24000≥（11000+24000）×20%，
解得a≥1190．
答：每个机器人的标价至少是1190元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用．解答分式方程时，一定要注意验根．

25．（12分）（2016•来宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：△ABD∽△DBE；
（3）若cosB=，AE=4，求CD．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）结论：BC与⊙O相切，连接OD只要证明OD∥AC即可．
（2）欲证明△ABD∽△DBE，只要证明∠BDE=∠DAB即可．
（3）在Rt△ODB中，由cosB==，设BD=2k，OB=3k，利用勾股定理列出方程求出k，再利用DO∥AC，得=列出方程即可解决问题．
【解答】（1）结论：BC与⊙O相切．
证明：如图连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．

（2）∵BC是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴∠BDE+∠ODE=90°，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BDE=∠DAB，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△DBE．

（3）在Rt△ODB中，∵cosB==，设BD=2k，OB=3k，
∵OD2+BD2=OB2，
∴4+8k2=9k2，
∴k=2，
∴BO=6，BD=4，
∵DO∥AC，
∴=，
∴=，
∴CD=．

【点评】本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．

26．（14分）（2016•来宾）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q
（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）
（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；
（3）设AM=x，d为点M到直线PQ的距离，y=d2，
①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）作线段CM的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质得出AB∥CD，CD=AB=10，得出∠QCO=∠PMO，由折叠的性质得出PQ是CM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ=MQ，由ASA证明△OCQ≌△OMP，得出CQ=MP，得出MP=MQ即可；
（3）①作MN⊥CD于N，如图2所示：则MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出（2d）2=62+（10﹣x）2，即可得出结果；
②当直线PQ恰好通过点D时，Q与D重合，DM=DC=10，由勾股定理求出AM，得出BM，再由勾股定理求出CM，即可得出结果．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）△MPQ是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD=AB=10，
∴∠QCO=∠PMO，
由折叠的性质得：PQ是CM的垂直平分线，
∴CQ=MQ，OC=OM，
在△OCQ和△OMP中，，
∴△OCQ≌△OMP（ASA），
∴CQ=MP，
∴MP=MQ，
即△MPQ是等腰三角形；
（3）①作MN⊥CD于N，如图2所示：
则MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，
在Rt△MCN中，由勾股定理得：CM2=MN2+CN2，
即（2d）2=62+（10﹣x）2，
整理得：d2=x2﹣5x+34，
即y=x2﹣5x+34（0≤x≤10）；
②当直线PQ恰好通过点D时，如图3所示：
则Q与D重合，DM=DC=10，
在Rt△ADM中，AM==8，
∴BM=10﹣8=2，
∴CM===2，
∴d=cm=，
即点M到直线PQ的距离为．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．

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