2021年辽宁省铁岭市中考数学试卷（解析）.doc

2021年辽宁省铁岭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，
∴所给的各数中，比﹣1大的数是0．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
3．【分析】根据“直线a∥b，∠1＝50°”得到∠3的度数，再根据∠2+∠3＝180°即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝130°，
故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是能够利用平行线的性质求得∠3的度数．
4．【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A、x5+x5＝2x5，故此选项不符合题意；
B、（x3y2）2＝x6y4，故此选项不符合题意；
C、x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
D、x2•x3＝x5，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题关键．
5．【分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．
【解答】解：将这15名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第8个数是96，因此中位数是96，
这15名学生成绩出现次数最多的是96，共出现4次，因此众数是96，
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握众数、中位数的计算方法是解决问题的关键．
6．【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：他的最终成绩为80×40%+90×60%＝86（分），
故选：D．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
7．【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
8．【分析】根据三角形的外角性质求出∠D，根据圆周角定理得出∠D＝COB，求出∠COB＝2∠D，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°，
∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°，
∴∠COB＝2∠D＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，圆周角定理等知识点，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．
9．【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，
依题意得：＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．【分析】先证明△ADE≌△FCE得到，BF＝8，由勾股定理求出AF＝10．当点M在AB上时，根据三角函数求出NM＝，
从而得到△AMN的面积S＝＝；当点M在BF上时，先利用三角函数求出MN，再求出此时S关于x的函数关系式，即可得到答案．
【解答】解：如图，

∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（SAS），
∴CF＝AD＝4，
∴BF＝CF+BC＝8，
∴AF＝，
当点M在AB上时，
在Rt△AMN和Rt△AFB中，
tan∠NAM＝，
∴NM＝x＝x，
∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，
∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；
当点M在BF上时，如图，
AN＝x，NF＝10﹣x，
在Rt△FMN和Rt△FBA中，
tan∠F＝，
∴＝﹣，
∴△AMN的面积S＝
＝﹣，
∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
故选：B．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，是中考常考题型，解题的关键是求出对应的函数关系式．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：98990000＝9.899×107，
故答案为：9.899×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．
13．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．【分析】设有黄球x个，根据概率公式得：＝，解得x的值即可．
【解答】解：设有黄球x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
故答案为：7．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．【分析】过F作FG⊥BC于G，由作图知，CF是∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质得到FG＝FH＝，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥BC于G，
由作图知，CF是∠ACB的角平分线，
∵FH⊥AC于点H．FH＝，
∴FG＝FH＝，
∵∠FGB＝90°，∠B＝30°．
∴BF＝2FG＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30°角直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．【分析】连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF＝＝3，BC＝BF+CF＝8，根据折叠可知OH是△ABC的中位线，故BH＝BC＝4，OH＝AB＝2，在Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2．
【解答】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图：

∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，
∴AF＝CF＝5，OA＝OC，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝3，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC，
∴O为AC中点，OH∥AB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BH＝CH＝BC＝4，OH＝AB＝2，
在Rt△BOH中，OB＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查矩形性质及应用，涉及对称、勾股定理、三角形中位线等知识，解题的关键是证明OH是是△ABC的中位线．
17．【分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△AOE＝S△AOD＝2，应用|k|的几何意义求k．
【解答】解：
如图：连接AD，
△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AO∥CD，
∴S△AOE＝S△AOD＝2，
∴k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
18．【分析】先证明△ACD∽△BCE，再用对应角∠EBC＝∠DAC，即可判断①②③，再由D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（+1）cm，即可求得△ABD面积的最大值为＝（2+2）cm2，故可判断④．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，
∴tan∠BAC＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴BC＝2cm，CE＝cm，
∴＝＝2，
∴△ACD∽△BCE，故①正确；
∵△ACD∽△BCE，
∴∠EBC＝∠DAC，
如图，记BE与AD、AC分别交于F、G，

∵∠AGF＝∠BGC，
∴∠BCG＝∠BFA＝90°，
∴AD⊥BE，故②正确；
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③错误；
如图，过点C作CH⊥AB于H，

∵∠ABC＝30°，
∴CH＝BC＝cm，
∴D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（+1）cm，
∴△ABD面积的最大值为＝（2+2）cm2，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质，证明出△ACD∽△BCE是本题的关键．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝•
＝
＝
＝，
当m＝＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．【分析】（1）用最喜欢“诗歌”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以“散文”类的人数所占的百分比得到“散文”类所对应的圆心角的度数，然后计算最喜欢“绘画”类的人数后补全条形统计图；
（3）通过树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），
所以本次被调查的学生有50人；
故答案为：50；
（2）“散文”类所对应的圆心角的度数为360°×＝72°；
最喜欢“绘画”类的人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人），
条形统计图补充为：

故答案为：72°；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6，
所以所选的两人恰好都是男生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表或画树状图展示使用等可能的结果，再找出某事件的结果数，然后根据概率公式求此事件的概率．当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．也考查了统计图．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．【分析】（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意：购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意：购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，
由题意得：45m≤60（140﹣m），
解得：m≤80，
答：该公司最多购买80辆A型公交车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；
（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
五、解答满分12分
23．【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式，求出函数关系式是解题的关键．
六、解答题（满分12分）
24．【分析】（1）由＝，可得AC＝BC，进而可证出△OAC≌△OBC，从而得出四边形OACB是菱形，由OA∥BD，AD⊥BD，可得出OA⊥DE，得出DE是切线；
（2）根据特殊锐角的三角函数值，可求出CD、AD，进而在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD，再根据△CFD∽△AFO，可得＝＝，进而得到DF＝OD即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵＝，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝CB＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OA⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）得AC＝OA＝2，∠OAC＝60°，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝2，
∴DC＝AC＝1，AD＝AC＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD＝＝＝，
∵OA∥BD，
∴△CFD∽△AFO，
∴＝，
又∵＝sin30°＝，AC＝OA＝2，
∴＝，
∴＝，
即DF＝OD＝．

【点评】本题考查切线的判定和性质，证出OA⊥DE，是判断DE是圆的切线的关键．
七、解答题（满分12分）
25．【分析】（1）结论：EF＝BE．利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，可得结论．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可．
【解答】解：（1）结论：EF＝BE．
理由：如图1中，

∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴EF＝EB．

（2）结论：AF2+BE2＝EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．

∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，
，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2＝FJ2，
∴AF2+BE2＝EF2．

（3）如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝，
∴AF＝．
如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为或1．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
八、解答题（满分14分）
26．【分析】（1）令x＝0，求点B（0，3），令y＝0，求点A（3，0），将点A、点B代入抛物线y＝ax2+2x+c即可求解；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），由DE∥y轴交AB于点E，则E（m，﹣m+3），再由OA＝OB，可知∠OAB＝45°，则有AG＝FG＝DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，可证四边形FGED是平行四边形，△AEG为等腰直角三角形，可求AT＝ET＝GT＝3﹣m，AG＝FG＝6﹣2m，OG＝2m﹣3，求出FG＝﹣2m+6，DT＝﹣3m+9，得到﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，即可求D（2，3）；
（3）先求出C（﹣1，0），直线CD的解析式为y＝x+1，联立x+1＝﹣x+3，求出M（1，2），分四种情况讨论：①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，可确定H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，K（3，4），P（5，2）；②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，H（1+，2）或H（1﹣，2），当H（1+，2）时，P（1，2+）；当H（1﹣，2）时，P（1，2﹣）；③当H点与C点重合时，P（﹣3，2）；④当H点与点D重合时，P（3，2）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（2，3）；
（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，
①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，

∵H点在抛物线上，
∴H（3，0）或H（0，3），
当H（3，0）时，MH＝2，
∴KH＝4，
∴K（3，4）
∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），
∴P（5，2）；
当H（0，3）时，MH＝，
∴KH＝2，
∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），
∴P（﹣1，2），
此时HK与y轴重合，
∴P（﹣1，2）不符合题意；
②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，

∴H（1+，2）或H（1﹣，2），
当H（1+，2）时，MH＝，
∴P（1，2+）；
当H（1﹣，2）时，MH＝，
∴P（1，2﹣）；
③如图6，当H点与C点重合时，
∵M（1，2），
∴P点纵坐标为2，
∵C（﹣1，0），
∴xM﹣xC＝2，
∵四边形PCMK是正方形，
∴P点横坐标为﹣3，
∴P（﹣3，2）；

④如图7，当H点与点D重合时，
∵M（1，2），
∴P点纵坐标为2，
∵D（2，3），
∴xD﹣xM＝1，
∵四边形PCMK是正方形，
∴P点横坐标为3，
∴P（3，2）；

综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）或（﹣3，2）或（3，2）．

【点评】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键．
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