2019年四川省雅安市中考数学试题（Word版含解析）.doc

2019年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（3分）﹣2019的倒数是（　　）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．
2．（3分）32的结果等于（　　）
A．9 B．﹣9 C．5 D．6
3．（3分）如图是下面哪个图形的俯视图（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．6≤x＜8 B．6＜x≤8 C．2≤x＜4 D．2＜x≤8
5．（3分）已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝2a4
C．（a3）4•a2＝a14 D．（2x2y）3÷6x3y2＝x3y
7．（3分）若a：b＝3：4，且a+b＝14，则2a﹣b的值是（　　）
A．4 B．2 C．20 D．14
8．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）

A． B．
C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
11．（3分）如图，已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．4
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（　　）

A．（）n B．（）n+1 C．（）n﹣1+ D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝　 　．
14．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是　 　．
15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为　 　．

16．（3分）在两个暗盒中，各自装有编号为1，2，3的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为　 　．
17．（3分）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，满分69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（10分）（1）计算：|﹣2|+﹣20190﹣2sin30°
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝1．
19．（9分）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：
（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；
（2）补全折线统计图；
（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？
20．（9分）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：
商品
甲
乙
进价（元/件）
x+60
x
售价（元/件）
200
100
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？
（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．
21．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．

22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，已知A（2，4）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）连接AO、BO，求△AOB的面积．

23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．

24．（12分）已知二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（2，﹣1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴．PM⊥l于点M，点F（0，﹣1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；
（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求的值；
（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．

2019年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（3分）﹣2019的倒数是（　　）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2019的倒数是：﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）32的结果等于（　　）
A．9 B．﹣9 C．5 D．6
【分析】根据乘方的意义可得：32＝3×3＝9；
【解答】解：32＝3×3＝9；
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘方；熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键．
3．（3分）如图是下面哪个图形的俯视图（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据各选项的俯视图进行判断即可．
【解答】解：A．球的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；
B．圆柱的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；
C．圆台的俯视图为两个同心圆，不合题意；
D．圆锥的俯视图为一个圆（含圆心），符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
4．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．6≤x＜8 B．6＜x≤8 C．2≤x＜4 D．2＜x≤8
【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
由①得x＞6，
由②得x≤8，
∴不等式组的解集为6＜x≤8，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5．（3分）已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：∵5，4，x，3，9的平均数为5，
∴（5+4+x+3+9）÷5＝5，
解得：x＝4，
把这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，9，
则这组数据的中位数是4；
故选：B．
【点评】此题考查了平均数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是求出x的值．
6．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝2a4
C．（a3）4•a2＝a14 D．（2x2y）3÷6x3y2＝x3y
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故此选项错误；
B、a4•a4＝a8，故此选项错误；
C、（a3）4•a2＝a14 ，正确；
D、（2x2y）3÷6x3y2＝8x6y3÷6x3y2＝x3y，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（3分）若a：b＝3：4，且a+b＝14，则2a﹣b的值是（　　）
A．4 B．2 C．20 D．14
【分析】根据比例的性质得到3b＝4a，结合a+b＝14求得a、b的值，代入求值即可．
【解答】解：由a：b＝3：4知3b＝4a，
所以b＝．
所以由a+b＝14得到：a+＝14，
解得a＝6．
所以b＝8．
所以2a﹣b＝2×6﹣8＝4．
故选：A．
【点评】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
8．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据三角形的中位线定理可得，EH平行且等于CD的一半，FG平行且等于CD的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到EH和FG平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又因为EF等于AB的一半且AB＝CD，所以得到所证四边形的邻边EH与EF相等，所以四边形EFGH为菱形．
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，
∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH＝CD；同理FG∥CD且FG＝CD，同理可得EF＝AB，
则EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AB＝CD，所以EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．
11．（3分）如图，已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．4
【分析】连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，证出△COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，
∴OM＝OC•sin∠OCM，
∴OC＝＝（cm）．
∵∠OCN＝30°，
∴ON＝OC＝，CN＝2，
∴CE＝2CN＝4，
∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，
故选：D．

【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC是解决问题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（　　）

A．（）n B．（）n+1 C．（）n﹣1+ D．
【分析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，），依次求出：点A2的纵坐标为、A3的纵坐标为，即可求解．
【解答】解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，）；
则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：y＝x+b，
将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝x﹣，
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝，y＝，即点A2的纵坐标为；
同理可得A3的纵坐标为，
…按此规律，则点An的纵坐标为（）n，
故选：A．
【点评】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝　　．
【分析】根据正弦的定义解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
14．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是　4　．
【分析】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可．
【解答】解：x2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣x2+4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为　69°　．

【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．
故答案为：69°
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．
16．（3分）在两个暗盒中，各自装有编号为1，2，3的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为　　．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两球上的编号的积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两球上的编号的积为偶数的结果数为5，
所以两球上的编号的积为偶数的概率＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．（3分）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为　0＜m＜　．

【分析】直线与y＝x有一个交点，与y＝﹣x2+2x有两个交点，则有m＞0，x+m＝﹣x2+2x时，△＝1﹣4m＞0，即可求解．
【解答】解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝x有一个交点，
∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
∴0＜m＜；
故答案为0＜m＜．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．
三、解答题（本大题共7小题，满分69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（10分）（1）计算：|﹣2|+﹣20190﹣2sin30°
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝1．
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）|﹣2|+﹣20190﹣2sin30°
＝2+3﹣1﹣2×
＝2+3﹣1﹣1
＝3；
（2）（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝，
当a＝1时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19．（9分）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．

根据统计图：
（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；
（2）补全折线统计图；
（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？
【分析】（1）首先求得总人数，然后根据百分比求得人数即可；
（2）根据（1）补全折线统计图即可；
（3）利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由折线统计图知“非常满意”9人，由扇形统计图知“非常满意”占15%，所以被调查学生总数为9÷15%＝60（人），所以“满意”的人数为60﹣（9+21+3）＝27（人）；
（2）如图：

（3）所求概率为＝．
【点评】本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键，难度不大．
20．（9分）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：
商品
甲
乙
进价（元/件）
x+60
x
售价（元/件）
200
100
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？
（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．
【分析】（1）根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列出方程，解方程即可；
（2）根据总利润＝甲种商品一件的利润×甲种商品的件数+乙种商品一件的利润×乙种商品的件数列出w与a之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出w的最小值．
【解答】解：（1）依题意可得方程：＝，
解得x＝60，
经检验x＝60是方程的根，
∴x+60＝120元，
答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；

（2）∵销售甲种商品为a件（a≥30），
∴销售乙种商品为（50﹣a）件，
根据题意得：w＝（200﹣120）a+（100﹣60）（50﹣a）＝40a+2000（a≥30），
∵40＞0，
∴w的值随a值的增大而增大，
∴当a＝30时，w最小值＝40×30+2000＝3200（元）．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
21．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA＝OC，AB∥CD，证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点O作ON∥BC交AB于N，根据相似三角形的性质分别求出ON、BN，证明△ONE∽△MBE，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠OAE＝∠OVF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N，
则△AON∽△ACB，
∵OA＝OC，
∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，
∵ON∥BC，
∴△ONE∽△MBE，
∴＝，即＝，
解得，BE＝1．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，已知A（2，4）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）连接AO、BO，求△AOB的面积．

【分析】（1）由点A的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式；
（2）联立方程，解方程组即可求得；
（3）求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出S△AOD和S△BOD，继而求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）将A（2，4）代入y＝﹣x+m与y＝（x＞0）中得4＝﹣2+m，4＝，
∴m＝6，k＝8，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6，反比例函数的解析式为y＝；
（2）解方程组得或，
∴B（4，2）；
（3）设直线y＝﹣x+6与x轴，y轴交于C，D点，易得D（0，6），
∴OD＝6，
∴S△AOB＝S△DOB﹣S△AOD＝×6×4﹣×6×2＝6．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．
23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．

【分析】（1）连接OC，AC，根据平行线的性质得到∠1＝∠ACB，由圆周角定理得到∠1＝∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，求得∠DBE＝∠DCE，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，AC，
∵OE∥AC，
∴∠1＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBE＝∠DCE，
又∵OC＝OB，
∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠OCD，
∵DB为⊙O的切线，OB是半径，
∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴∠3＝60°，又OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△COF中，tan∠COF＝，
∴CF＝4．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（2，﹣1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴．PM⊥l于点M，点F（0，﹣1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；
（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求的值；
（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．

【分析】（1）把点（2，﹣1）代入函数表达式，即可求解；
（2）y1＝﹣x12，即x12＝﹣4y1，PM＝|1﹣y1|，又PF＝＝＝|y1﹣1|＝PM，即可求解；
（3）证明△PMR≌△PFR（SAS）、Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL），即RN＝FR，即MR＝FR＝RN，即可求解；
（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，则∠PRQ＝（∠MRF+∠FRN）＝90°，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2（a≠0）的图象过点（2，﹣1），
∴﹣1＝a×22，即a＝，∴y＝﹣x2；
（2）设二次函数的图象上的点P（x1，y1），则M（x1，1），

y1＝﹣x12，即x12＝﹣4y1，PM＝|1﹣y1|，
又PF＝＝＝|y1﹣1|＝PM，
即PF＝PM，
∴点P在线段MF的中垂线上；
（3）连接RF，
∵R在线段MF的中垂线上，
∴MR＝FR，
又∵PM＝PF，PR＝PR，
∴△PMR≌△PFR（SAS），
∴∠PFR＝∠PMR＝90°，
∴RF⊥PF，
连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，
∵Q在y＝﹣x2的图象上，由（2）结论知∴QF＝QN，
∵RQ＝RQ，
∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL），
即RN＝FR，
即MR＝FR＝RN，
∴＝1；
（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，
∴∠PRQ＝（∠MRF+∠FRN）＝90°，
∴点R在以线段PQ为直径的圆上．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明△PMR≌△PFR（SAS）、Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL）是本题解题的关键．