2016年湖南省益阳市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2016•益阳）的相反数是（　　）
A．2016 B．﹣2016 C． D．
2．（5分）（2016•益阳）下列运算正确的是（　　）
A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1
3．（5分）（2016•益阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）（2016•益阳）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
5．（5分）（2016•益阳）小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67
6．（5分）（2016•益阳）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
7．（5分）（2016•益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
8．（5分）（2016•益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
9．（5分）（2016•益阳）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第______象限．
10．（5分）（2016•益阳）某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=______．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…
11．（5分）（2016•益阳）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y=﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标______．
12．（5分）（2016•益阳）如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为______．（结果保留π）

13．（5分）（2016•益阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为______．

14．（5分）（2016•益阳）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是______枚．

三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
15．（8分）（2016•益阳）计算：（﹣1）3+||﹣（﹣）0×（﹣）．

16．（8分）（2016•益阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣．

17．（8分）（2016•益阳）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．

四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
18．（10分）（2016•益阳）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
第一组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=______，b=______，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

19．（10分）（2016•益阳）某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？

20．（10分）（2016•益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

五、解答题（本题满分12分）
21．（12分）（2016•益阳）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

六、解答题（本题满分14分）
22．（14分）（2016•益阳）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．

2016年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2016•益阳）的相反数是（　　）
A．2016 B．﹣2016 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵﹣+=0，
∴﹣的相反数是．
故选：C．

2．（5分）（2016•益阳）下列运算正确的是（　　）
A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1
【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误；
B、x•2y2=2xy2，正确；
C、2x÷x2=，故此选项错误；
D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；
故选：B．

3．（5分）（2016•益阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
在数轴上表示为：．
故选A．

4．（5分）（2016•益阳）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选D．

5．（5分）（2016•益阳）小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67
【分析】根据次数出现最多的数是众数，根据中位数的定义即可解决问题．
【解答】解：因为68出现了3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是68．
将这组数据从小到大排列得到：66，67，67，68，68，68，69，71，
所以这组数据的中位数为68．
故选C．

6．（5分）（2016•益阳）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．
【解答】解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180°+180°=360°；
②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°；
故选：D．

7．（5分）（2016•益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论．
【解答】解：画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．

A、∵a=1，
∴抛物线开口向上，A正确；
B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；
C、∵﹣=﹣=1，
∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；
D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．
故选D．

8．（5分）（2016•益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=，列出方程即可解决问题．
【解答】解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，sinα=，
∴=sinα，
∴x=．
故选A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
9．（5分）（2016•益阳）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第　四　象限．
【分析】根据平移的性质找出平移后的一次函数的解析式，再根据该函数的系数结合一次函数图象与系数的关系找出该一次函数图象经过的象限即可得出结论．
【解答】解：将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位后得到的一次函数的解析式为：y=2x+3，
∵k=2＞0，b=3＞0，
∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，即该一次函数图象不经过第四象限．
故答案为：四．

10．（5分）（2016•益阳）某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=　0.75　．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…
【分析】当x＞0时，去掉绝对值符号，找出此时y关于x的函数关系式，将x=1.5代入其中即可得出m的值．
【解答】解：当x＞0时，函数y=x2﹣|x|=x2﹣x，
当x=1.5时，y=1.52﹣1.5=0.75，
则m=0.75．
故答案为：0.75．

11．（5分）（2016•益阳）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y=﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标　（1，﹣3）　．
【分析】根据反比例函数的定义，取一个整数横坐标代入解析式中就可以求出一个符合要求的坐标了．
【解答】解：任意取一个整数值如x=1，将x=1代入解析式得：y=﹣=﹣3，
得到点坐标为（1，﹣3），则这个点坐标的横纵坐标都为整数，是符合要求的答案，本题可有多个答案．
故答案为：（1，﹣3）（答案不唯一）．

12．（5分）（2016•益阳）如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为　24π　．（结果保留π）

【分析】根据主视图确定出圆柱体的底面直径与高，然后根据圆柱体的侧面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，
所以，侧面积=4•π×6=24π．
故答案为：24π．

13．（5分）（2016•益阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为　115°　．

【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【解答】解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．

14．（5分）（2016•益阳）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是　13　枚．

【分析】设第n个图形有an个旗子，罗列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设第n个图形有an个旗子，
观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，
a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）．
当n=4时，a9=3×4+1=13．
故答案为：13．

三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
15．（8分）（2016•益阳）计算：（﹣1）3+||﹣（﹣）0×（﹣）．
【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1+﹣1×（﹣）
=﹣1++
=．

16．（8分）（2016•益阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣．
【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．
【解答】解：原式==．
当时，原式=4．

17．（8分）（2016•益阳）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．

【分析】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE=CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．

四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
18．（10分）（2016•益阳）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
第一组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=　0.3　，b=　4　，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

【分析】（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；
∵总人数为：3÷0.15=20（人），
∴b=20×0.20=4（人）；
故答案为：0.3，4；
补全统计图得：

（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；

（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．

19．（10分）（2016•益阳）某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？
【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设招录的男生为m名，则招录的女生为（30﹣m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：，解得：．
∴该班男生有27人，女生有15人．
（2）设招录的男生为m名，则招录的女生为（30﹣m）名，
依题意得：50m+45（30﹣m）≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：工厂在该班至少要招录22名男生．

20．（10分）（2016•益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

【分析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9．
∴AD=12．
∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．

五、解答题（本题满分12分）
21．（12分）（2016•益阳）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）先求出直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．再求出直线BD的表达式为y=x﹣2．最后求出交点坐标C，D即可；
（3）先判断出C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），
设抛物线解析式为y=a（x﹣）2+1，
将原点坐标（0，0）在抛物线上，
∴0=a（）2+1
∴a=﹣．
∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．
（2）令y=0，得 0=﹣x2+x，
∴x=0（舍），或x=2
∴B点坐标为：（2，0），
设直线OA的表达式为y=kx，
∵A（，1）在直线OA上，
∴k=1，
∴k=，
∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．
∵BD∥AO，
设直线BD对应的一次函数的表达式为y=x+b，
∵B（2，0）在直线BD上，
∴0=×2+b，
∴b=﹣2，
∴直线BD的表达式为y=x﹣2．

由
得交点D的坐标为（﹣，﹣3），
令x=0得，y=﹣2，
∴C点的坐标为（0，﹣2），
由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．
在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD．
（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，2），
∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，
∴PO∥DQ．
∴△C'PO∽△C'DQ．
∴，
∴，
∴PO=，
∴点P的坐标为（﹣，0）．

六、解答题（本题满分14分）
22．（14分）（2016•益阳）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．

【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（），列出方程解得x；
（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则，又，，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．
【解答】解：（1）如图①，在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，
又∵D是AB的中点，
∴AD=1，，
又∵EF是△ACD的中位线，
∴，
在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
在△FGD中，GF=DF•sin60°=，
∴矩形EFGH的面积；

（2）如图②，设矩形移动的距离为x，则，
当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，
则，，
∴．（舍去），
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，
重叠部分的面积S=，
∴，
即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；

（3）如图③，作H2Q⊥AB于Q，
设DQ=m，则，又，．
在Rt△H2QG1中，，
解之得（负的舍去）．
∴．

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