四川省南充市2018年中考数学真题试题（含解析）.doc

四川省南充市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题2018年四川省南充市，共30分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记2018年四川省南充市，不涂、错涂或多涂记0分。
1．（2018年四川省南充市）下列实数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】将各项数字按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．
【解答】解：根据题意得：﹣＜0＜1＜，
则最小的数是﹣．
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较，正确排列出数字是解本题的关键．

2．（2018年四川省南充市）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．扇形 B．正五边形 C．菱形 D．平行四边形
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、扇形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
　3．（2018年四川省南充市）下列说法正确的是（　　）
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1[
【考点】X3：概率的意义；V2：全面调查与抽样调查；X1：随机事件．
【分析】利用概率的意义以及实际生活常识分析得出即可．
【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，此选项正确；
B、篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是随机事件，此选项错误；
C、天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天下雨可能性较大，此选项错误；
D、小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键．

4．（2018年四川省南充市）下列计算正确的是（　　）
A．﹣a4b÷a2b=﹣a2b B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．a2•a3=a6 D．﹣3a2+2a2=﹣a2
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：﹣a4b÷a2b=﹣a2，故选项A错误，
（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故选项B错误，
a2•a3=a5，故选项C错误，
﹣3a2+2a2=﹣a2，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．

5．（2018年四川省南充市）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（　　）

A．58° B．60° C．64° D．68°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=32°，
∵BC是直径，
∴∠B=90°﹣32°=58°，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

6．（2018年四川省南充市）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．（2018年四川省南充市）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（　　）
A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2） C．y=2x﹣2 D．y=2x+2
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．
【解答】解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+m．

8．（2018年四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　）

A． B．1 C． D．
【考点】KX：三角形中位线定理；KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
∴CD=BC=2，
∵E，F分别为AC，AD的中点，
∴EF=CD=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

9．（2018年四川省南充市）已知=3，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】6B：分式的加减法；64：分式的值．
【分析】由=3得出=3，即x﹣y=﹣3xy，整体代入原式=，计算可得．
【解答】解：∵=3，
∴=3，
∴x﹣y=﹣3xy，
则原式=
=
=
=，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．

10．（2018年四川省南充市）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（　　）

A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△ABC≌△CEH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解答】解：连接EH．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CH⊥BE，
∴CH∥PA，
∴四边形CPAH是平行四边形，
∴CP=AH，
∵CP=PD=1，
∴AH=PC=1，
∴AH=BH，
在Rt△ABE中，∵AH=HB，
∴EH=HB，∵HC⊥BE，
∴BG=EG，
∴CB=CE=2，故选项A错误，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，
∴△ABC≌△CEH，
∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA，
∴Rt△HFE≌Rt△HFA，
∴AF=EF，设EF=AF=x，
在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，
∴x=，
∴EF=，故B错误，
∵PA∥CH，
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，
∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．
∵HF=，EF=，FC=
∴HF2=EF•FC，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题2018年四川省南充市，共12018年四川省南充市）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（2018年四川省南充市）某地某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣4℃，则该地当天的温差为　10　℃．
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：6﹣（﹣4），
=6+4，
=10℃．
故答案为：10
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

12．（2018年四川省南充市）甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表．
甲
7
8
9
8
8
乙
6
10
9
7
8
比较甲、乙这5次射击成绩的方差S甲2，S乙2，结果为：S甲2　＜　S乙2．（选填“＞”“=”或“＜“）
【考点】W7：方差．
【分析】首先求出各组数据的平均数，再利用方差公式计算得出答案．
【解答】解：=（7+8+9+8+8）=8，
=（6+10+9+7+8）=8，
=[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]
=0.4；
=[（6﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]
=2；
则S甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了方差，正确掌握方差计算公式是解题关键．

13．（2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　24　度．

【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，[
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

14．（2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　﹣　．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=﹣．
故答案是：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

15．（2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=　　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：DE=，
∵DF=DB=2，
∴EF=DF﹣DE=2﹣，
故答案为：
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．

16．（2018年四川省南充市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：
①2a+c＜0；
②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；
③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；
④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．
其中正确结论是　②③④　（填写序号）．

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；
【解答】解：∵﹣＜，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误，
若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≤n，
∴ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；故③正确，
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵=﹣，
∴b2﹣4ac=4，
∴x==，
∴|x1﹣x2|=，
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴△PAB是直角三角形，∵PA=PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．
故答案为②③④．

【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2018年四川省南充市）计算：﹣（1﹣）0+sin45°+（）﹣1
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=﹣1﹣1++2
=．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．（2018年四川省南充市）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：∠C=∠E．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．
【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C=∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
19．（2018年四川省南充市）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
2
5
4
4
（1）这组数据的众数是　2018年四川省南充市　，中位数是　2018年四川省南充市　．
（2）已知获得2018年四川省南充市的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；W4：中位数；W5：众数．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由于2018年四川省南充市出现次数最多，
所以众数为2018年四川省南充市，
中位数为第8个数，即中位数为2018年四川省南充市，
故答案为：2018年四川省南充市、2018年四川省南充市；
（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的有2种结果，
所以恰好抽到八年级两名领操员的概率为=．
【点评】本题主要考查众数、中位数及列表法与树状图法，解题的关键是掌握众数和中位数的定义，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

20．（2018年四川省南充市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
21．（2018年四川省南充市）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ABP=3，即可得出|x﹣|=2，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（﹣，2），
∴m=﹣1．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣上，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y=kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴，解得，
∴直线的表达式为y=﹣2x+1；
（2）当y=﹣2x+1=0时，x=，
∴点C（，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP=3，A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴×3|x﹣|=3，即|x﹣|=2，
解得：x1=﹣，x2=．
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S△ABP=3，得出|x﹣|=2．

22．（2018年四川省南充市）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．

【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线
（2））AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠CAB=．
【解答】解：（1）如图，连接OC、BC
∵⊙O的半径为3，PB=2
∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB=
【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能借助证明图中相似三角形可以是解决问题的关键．

23．（2018年四川省南充市）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围．
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．
（1）求证：AE=C′E．
（2）求∠FBB'的度数．
（3）已知AB=2，求BF的长．

【考点】R2：旋转的性质；LB：矩形的性质．
【分析】（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°，即可求出所求角度数；
（3）由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B作BH⊥BF，在直角三角形BB′H中，利用锐角三角函数定义求出BH的长，由BF=2BH即可求出BF的长．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，
∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，
∴AE=C′E；
（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B=60°，
∴∠FBB′=150°；
（3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，
过B作BH⊥BF，
在Rt△BB′H中，cos15°=，即BH=2×=，
则BF=2BH=+．

【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．

25．（2018年四川省南充市）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；
（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2=MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．
【解答】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵S△OBC=S△QBC，
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，

∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得：，
解得：或，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2（，），Q3（，）；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，

如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为MN=，
∴MN=9或．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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