2015年湖南省株洲市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年湖南省株洲市中考数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•株洲）2的相反数是（　　）

A．
﹣2
B．
2
C．
﹣
D．

2．（3分）（2015•株洲）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于（　　）

A．
35°
B．
55°
C．
65°
D．
145°
3．（3分）（2015•株洲）下列等式中，正确的是（　　）

A．
3a﹣2a=1
B．
a2•a3=a5
C．
（﹣2a3）2=﹣4a6
D．
（a﹣b）2=a2﹣b2
4．（3分）（2015•株洲）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．
等腰三角形
B．
正三角形
C．
平行四边形
D．
正方形
5．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（3分）（2015•株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（　　）

A．
22°
B．
26°
C．
32°
D．
68°
7．（3分）（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（3分）（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．
如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．
如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．
如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根

D．
如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•株洲）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话n分钟收费　　　　　　元．
10．（3分）（2015•株洲）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是　　　　　　．
11．（3分）（2015•株洲）如图，l∥m，∠1=120°，∠A=55°，则∠ACB的大小是　　　　　　．

12．（3分）（2015•株洲）某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是　　　　　　分．
13．（3分）（2015•株洲）因式分解：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）=　　　　　　．
14．（3分）（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是　　　　　　．
15．（3分）（2015•株洲）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于　　　　　　．

16．（3分）（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是　　　　　　，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是　　　　　　．

三.解答题（共7小题，共52分）
17．（4分）（2015•株洲）计算：|﹣3|+（2015﹣π）0﹣2sin30°．

18．（4分）（2015•株洲）先化简，再求值：（﹣）•，其中x=4．

19．（6分）（2015•株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？

20．（6分）（2015•株洲）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取10名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：
（1）孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是　　　　　　等；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有60名学生成绩是A等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人．
编号
成绩
等级
编号
成绩
等级
①
95
A
⑥
76
B
②
78
B
⑦
85
A
③
72
C
⑧
82
B
④
79
B
⑨
77
B
⑤
92
A
⑩
69
C

21．（6分）（2015•株洲）P表示n边形对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与n的关系式是
P=（n2﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）
（1）填空：通过画图可得：
四边形时，P=　　　　　　（填数字）；五边形时，P=　　　　　　（填数字）
（2）请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求a和b的值．（注：本题中的多边形均指凸多边形）

22．（8分）（2015•株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

23．（8分）（2015•株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

2015年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•株洲）2的相反数是（　　）

A．
﹣2
B．
2
C．
﹣
D．

考点：
相反数．菁优网版权所有
分析：
根据相反数的定义即可求解．
解答：
解：2的相反数等于﹣2．
故选A．
点评：
本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．

2．（3分）（2015•株洲）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于（　　）

A．
35°
B．
55°
C．
65°
D．
145°

考点：
余角和补角．菁优网版权所有
分析：
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．
解答：
解：∵∠α=35°，
∴它的余角等于90°﹣35°=55°．
故选B．
点评：
本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．

3．（3分）（2015•株洲）下列等式中，正确的是（　　）

A．
3a﹣2a=1
B．
a2•a3=a5
C．
（﹣2a3）2=﹣4a6
D．
（a﹣b）2=a2﹣b2

考点：
幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等运算，然后选择正确选项．
解答：
解：A、3a﹣2a=a，原式计算错误，故本选项错误；
B、a2•a3=a5，原式计算正确，故本选项正确；
C、（﹣2a3）2=4a6，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误．
故选B．
点评：
本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算法则是解答本题关键．

4．（3分）（2015•株洲）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．
等腰三角形
B．
正三角形
C．
平行四边形
D．
正方形

考点：
中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选D．
点评：
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

5．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y=图象上的有（3，4），（4，3）；
∴点（a，b）在函数y=图象上的概率是：=．
故选D．
点评：
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

6．（3分）（2015•株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（　　）

A．
22°
B．
26°
C．
32°
D．
68°

考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解答：
解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°．
∵OB=OC，
∴∠OBC==22°．
故选A．
点评：
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

7．（3分）（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
解答：
解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴=，=，
∴+=+==1．
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选C．
点评：
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．

8．（3分）（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．
如果方程M有两个相等的实数3根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．
如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．
如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根

D．
如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

考点：
根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
解答：
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选D．
点评：
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．

二.填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•株洲）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话n分钟收费　mn　元．

考点：
列代数式．菁优网版权所有
分析：
通话时间×通话单价=通话费用．
解答：
解：依题意得 通话n分钟收费为：mn．
故答案是：mn．
点评：
本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

10．（3分）（2015•株洲）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是　（3，2）　．

考点：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
分析：
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
解答：
解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
点评：
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

11．（3分）（2015•株洲）如图，l∥m，∠1=120°，∠A=55°，则∠ACB的大小是　65°　．

考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据平行线的性质得∠2=∠1=120°，然后根据三角形外角性质计算∠ACB的大小．
解答：
解：∵l∥m，
∴∠2=∠1=120°，
∵∠2=∠ACB+∠A，
∴∠ACB=120°﹣55°=65°．
故答案为65°．

点评：
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

12．（3分）（2015•株洲）某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是　90　分．

考点：
加权平均数．菁优网版权所有
分析：
先计算孔明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分﹣数学得分的折算后的得分，计算出的结果除以40%即可．
解答：
解：（93﹣95×60%）÷40%
=（93﹣57）÷40%
=36÷40%
=90．
故答案为：90．
点评：
此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．

13．（3分）（2015•株洲）因式分解：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）=　（x﹣2）（x+4）（x﹣4）　．

考点：
提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解答：
解：原式=（x﹣2）（x2﹣16）
=（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
故答案为：（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．
点评：
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．（3分）（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是　7≤a≤9　．

考点：
一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
根据题意得到x的取值范围是2≤x≤3，则通过解关于x的方程2x+（3﹣a）=0求得x的值，由x的取值范围来求a的取值范围．
解答：
解：∵直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），
∴2≤x≤3，
令y=0，则2x+（3﹣a）=0，
解得x=，
则2≤≤3，
解得7≤a≤9．
故答案是：7≤a≤9．
点评：
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得x的值是解题的突破口．

15．（3分）（2015•株洲）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于　6　．

考点：
勾股定理的证明．菁优网版权所有
分析：
根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
解答：
解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
点评：
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．

16．（3分）（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是　a　，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是　17.5　．

考点：
规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
分析：
分别找到图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表示图上的格点数的字母，图2中代入有关数据即可求得图形的面积．
解答：
解：如图1，
∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4=1+﹣1；
矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6=2+﹣1；
∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；
图2中，a=15，b=7，故S=15+﹣1=17.5．
故答案为：a，17.5．
点评：
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目，难度不大．

三.解答题（共7小题，共52分）
17．（4分）（2015•株洲）计算：|﹣3|+（2015﹣π）0﹣2sin30°．

考点：
实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=3+1﹣2×=3+1﹣1=3．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（4分）（2015•株洲）先化简，再求值：（﹣）•，其中x=4．

考点：
分式的化简求值．菁优网版权所有
分析：
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=•
=x+2，
当x=4时，原式=6．
点评：
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

19．（6分）（2015•株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？

考点：
一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
分析：
设购买球拍x个，根据乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，购买的金额不超过200元，列出不等式，求解即可．
解答：
解：设购买球拍x个，依题意得：
1.5×20+22x≤200，
解之得：x≤7，
由于x取整数，故x的最大值为7，
答：孔明应该买7个球拍．
点评：
此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．

20．（6分）（2015•株洲）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取10名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：
（1）孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是　A　等；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有60名学生成绩是A等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人．
编号
成绩
等级
编号
成绩
等级
①
95
A
⑥
76
B
②
78
B
⑦
85
A
③
72
C
⑧
82
B
④
79
B
⑨
77
B
⑤
92
A
⑩
69
C

考点：
条形统计图；用样本估计总体；统计表．菁优网版权所有
分析：
（1）根据题意确定各个等级的范围，得到答案；
（2）根据频数将条形统计图补充完整；
（3）计算A等的百分比，估计该校参加这次测试的学生总人数．
解答：
解：（1）由统计图可知A等是85≤x＜100，
∴孔明同学的成绩等级是A等；
（2）如图：
（3）60÷=200，
∴该校参加这次测试的学生总人数是200人．

点评：
本题考查的是统计表、条形图和用样本估计总体，从统计表中获取正确的信息并进行分析计算是具体点关键．

21．（6分）（2015•株洲）P表示n边形对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与n的关系式是
P=（n2﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）
（1）填空：通过画图可得：
四边形时，P=　1　（填数字）；五边形时，P=　5　（填数字）
（2）请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求a和b的值．（注：本题中的多边形均指凸多边形）

考点：
二元一次方程组的应用；多边形的对角线．菁优网版权所有
分析：
（1）根据题意画出图形，进而得出四边形和五边形中P的值；
（2）利用（1）中所求，得出二元一次方程组进而求出即可．
解答：
解：（1）如图所示：四边形时，P=1；五边形时，P=5；
故答案为：1，5；

（2）由（1）得：，
整理得：，
解得：．

点评：
此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确关于a，b的等量关系是解题关键．

22．（8分）（2015•株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

考点：
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：
（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OE=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．
解答：
（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB===13，
设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AD=z，
∴，
解得：，
∴OE=2．

点评：
本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键．

23．（8分）（2015•株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

考点：
圆的综合题；解一元二次方程-公式法；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
（1）如图1，利用切线的性质可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中运用三角函数就可解决问题；
（2）易得点Q到CD的距离为，结合图形2，即可解决问题；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，连接QD，如图3，易证△CNQ∽△QND，根据相似三角形的性质可求出CN．易证△PMC∽△QNC，根据相似三角形的性质可得PM与CM之间的关系，由∠MAP=30°即可得到PM与AM之间的关系，然后根据AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．
解答：
解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．
∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，
∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．
当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，
则有∠ACP=90°，
∴cos∠CAP===，
解得AP=；

（2）有4个位置使△CQD的面积为．
提示：设点Q到CD的距离为h，
∵S△CQD=CD•h=×2×h=，
∴h=．
由于h=＜1，结合图2可得：
有4个位置使△CQD的面积为；

（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．
∵S△CQD=CD•QN=×2×QN=，∴QN=．
∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，
∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，
∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，
∴△QNC∽△DNQ，
∴=，
∴QN2=CN•DN，
设CN=x，则有=x（2﹣x），
整理得4x2﹣8x+1=0，
解得：x1=，x2=．
∵CQ＞QD，∴x=，
∴=2+．
∵QN⊥CD，PM⊥CD，
∴∠PMC=∠QNC=90°．
∵∠MCP=∠NCQ，
∴△PMC∽△QNC，
∴==2+，
∴MC=（2+）MP．
在Rt△AMP中，
tan∠MAP==tan30°=，
∴AM=MP．
∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，
∴MP=，
∴AP=2MP=．

点评：
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数、特殊角的三角函数值、切线的性质、解一元二次方程等知识，把求AP的值转化为解△ABC是解决第（3）小题的关键．

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