2020年福建省中考数学试卷.doc

2020年福建省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣的相反数是（　　）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
2．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3
6．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．a•a﹣1＝1（a≠0）
8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
9．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）|﹣8|＝　 　．
12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　 　．
13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　 　．（结果保留π）
14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为　 　米．
15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　 　度．

16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解不等式组：
18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．

19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．

22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．

（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．

已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
23．（10分）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．

24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．

25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．

2020年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）﹣的相反数是（　　）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】55F：投影与视图；64：几何直观．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
【考点】KK：等边三角形的性质；KX：三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】552：三角形；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴＝，
∴△DEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】55F：投影与视图；64：几何直观．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；
D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3
【考点】KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
6．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】29：实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】511：实数；66：运算能力．
【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，m﹣n的结果可能是2．
【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，
∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，
∴m﹣n的结果可能是2．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．a•a﹣1＝1（a≠0）
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】512：整式；66：运算能力．
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；
B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；
D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【专题】522：分式方程及应用；67：推理能力．
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】559：圆的有关概念及性质；66：运算能力．
【分析】求出＝＝，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可．
【解答】解：∵A为中点，
∴═，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴＝＝，
∵圆周角∠BDC＝60°，
∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，
∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，
∴对的圆周角∠ADB的度数是，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出＝＝是解此题的关键．
10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【专题】535：二次函数图象及其性质；69：应用意识．
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；
当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；
若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）|﹣8|＝　8　．
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】负数的绝对值是其相反数．
【解答】解：∵﹣8＜0，
∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　　．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念．
【分析】直接利用概率公式求解可得．
【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，
∴甲被选到的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　4π　．（结果保留π）
【考点】MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】55C：与圆有关的计算；69：应用意识．
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：S扇形＝＝4π，
故答案为4π．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝＝lr（r是扇形的半径，l是扇形的弧长）．
14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为　﹣10907　米．
【考点】11：正数和负数．菁优网版权所有
【专题】511：实数；61：数感；69：应用意识．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答．
【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，
∴低于海平面的高度记为负数，
∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，
∴该处的高度可记为﹣10907米．
故答案为：﹣10907．
【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　30　度．

【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】555：多边形与平行四边形；55B：正多边形与圆；66：运算能力．
【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．
【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，
所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．
16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是　①④　．（写出所有正确结论的序号）
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L7：平行四边形的判定与性质；LA：菱形的判定与性质；LD：矩形的判定与性质；LF：正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】534：反比例函数及其应用；69：应用意识．
【分析】如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．

由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为①④，
【点评】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解不等式组：
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；556：矩形 菱形 正方形；67：推理能力．
【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．
【解答】证明：四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式＝，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【考点】8A：一元一次方程的应用；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】521：一次方程（组）及应用；533：一次函数及其应用；66：运算能力；69：应用意识．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；
（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．
【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，
10x+（100﹣x）×1＝235，
解得，x＝15，
∴100﹣x＝85，
答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，
w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，
∵0≤a≤20，
∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】553：图形的全等；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力．
【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；
（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．
【解答】解：（1）连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；

（2）连接OF，OB，如图2，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝3，OB＝3，
∴，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键是证明三角形全等．
22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．

（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．

已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；VD：折线统计图；W2：加权平均数．菁优网版权所有
【专题】542：统计的应用；65：数据分析观念；66：运算能力．
【分析】（1）用2000乘以样本中家庭人均纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可；
（2）利用加权平均数进行计算即可；
（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可．
【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：
1000×＝120；
（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：
×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）
＝2.4（千元）；
（3）根据题意，得，
2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：

由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：
500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470
＞960+1130+1300+1470＞4000．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
【点评】本题考查了折线统计图、用样本估计总体、条形统计图、加权平均数，考查运算能力、推理能力、考查统计思想．
23．（10分）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．

【考点】N3：作图—复杂作图；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】13：作图题；14：证明题；35：转化思想；55D：图形的相似；55G：尺规作图；64：几何直观；67：推理能力．
【分析】（1）利用尺规作图作CD∥AB，且CD＝2AB，即可作出四边形ABCD；
（2）在（1）的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；

（2）如图，

∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴＝，
连接MP，NP，
∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM＝180°，
∴∠CPN+∠CPM＝180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．

【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】152：几何综合题；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；
（2）①由旋转的性质得出AC＝AE，∠CAE＝90°，证得∠FPD＝∠FDP，由等腰三角形的判定得出结论；
②过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出HF＝CF，则可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，

∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．
【点评】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；55D：图形的相似；67：推理能力；69：应用意识．
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）利用反证法可得结论；
（3）通过证明△CEF∽△BEA，可得＝（）2，BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，可求S△ABE＝×t×10＝5t，S△CEF＝，利用二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A（0，10），点B（5，0），
∵BC＝4，
∴点C（9，0）或点C（1，0），
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
∴当x≥5时，y随x的增大而增大，
当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，
当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），
∴10＝5a，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；
（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），
∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，
假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP），
∴
解得：n＝10，
∵n＝10与已知n≠10矛盾，
∴l1与l2不相交，
∴l2∥l1；
（3）如图，
、
∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，
∴0＝﹣2×1+q，
∴q＝2，
∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，
∴l3∥l1，
∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴△CEF∽△BEA，
∴＝（）2，
设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，
∴S△ABE＝×t×10＝5t，
∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，
∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，
∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．
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