湖南省永州市2020年中考数学试题（解析版）.doc

永州市2020年初中学业水平考试
数学（试题卷）
温馨提示：
1．本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
2．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回．
3．本试题卷共6页，如有缺页，请声明．
4．本试题卷共三道大题，26个小题．满分150分，考试时量120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1.的相反数为（ ）
A. B. 2020 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义求解．
【详解】的相反数为－（-2020）=2020．
故选B．
【点睛】考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义．
2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 人 B. 人 C. 人 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
【详解】635.3万=，
故选：C.
【点睛】此题考察科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解.
4.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则依次判断即可.
【详解】A、与不是同类项，不能合并，故该项错误；
B、，故该项错误；
C、，故该项正确；
D、，故该项错误；
故选：C.
【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则是解题的关键.
5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数是8 B. 平均数是6 C. 中位数是8 D. 方差是9
【答案】A
【解析】
【分析】
求出该组数据的平均数、众数、中位数及方差，再依次判断即可.
【详解】将数据由小到大重新排列为：1，2，6，8，8，
∴中位数为6，众数为8，
平均数为，
方差为：=8.8，
正确的描述为：A，
故选：A .
【点睛】此题考查统计是计算，正确掌握数据的平均数、众数、中位数及方差的计算方法是解题的关键.
6.如图，已知．能直接判断的方法是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理解答.
【详解】在△ABC和△DCB中，
,
∴(SAS),
故选：A.
【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
7.如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
【详解】解：如图， 是的两条切线，
故①正确，

故②正确，
是的两条切线，

取的中点，连接，
则
所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，

与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是个，
故选C．

【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键．
8.如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）

A. B. 25 C. 35 D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】
在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）

A. 4 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.
【详解】由三视图可知：底面等边三角形边长为2，该几何体的高为2，
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
∵底面等边三角形的高=，
∴ 它的左视图的面积是，
故选：D.
【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体的长、宽、高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键.
10.已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.
【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，
∵点C到直线l的距离，半径为1，
∴最小值是，
故选：B.

【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11.在函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件，即可求解．
【详解】∵在函数中，x-3≠0，
∴x≠3．
故答案是：x≠3．
【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．
12.方程组的解是_________．
【答案】
【解析】
分析】
直接利用加减消元法求解．
【详解】
由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，
所以方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元．
13.若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m＞﹣4．
【解析】
试题分析：：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．
考点：根的判别式．
14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有_________人．
【答案】480
【解析】
【分析】
用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案.
【详解】（人）
故答案为：480.
【点睛】此题考查用样本的比例估计总体的比例，由此求出对应的总体中的人数，正确理解用样本估计总体的方法是解题的关键.
15.已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为分米，扇形的半径等于母线长为1分米，
根据得，平方分米．
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握圆锥的侧面展开图是解答本题的关键．
16.已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．

【答案】35°
【解析】
【分析】
如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
延长交于，
由题意得：

故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
17.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为_________．

【答案】6
【解析】
【分析】
根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．
【详解】令,解得,
∴A(),C()．
∴B(),D()．
则BD=,AB=,
∴S△ABD=．
故答案为:6．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于利用联立解析式求解交点．
18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是_________．

【答案】
【解析】
【分析】
分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．
【详解】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．

由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：

解得：
则(0，5)，
由两点距离公式可得：

即周长的最小值．
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题，解题关键在于找出两个对称点，利用方程求出点的坐标．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】
依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案．
【详解】解：原式

【点睛】此题主要考查了实数的运算以及特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20.先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：

当时，原式
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键．

21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中___________，_________，B等级所占扇形的圆心角度数为___________．
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）见解析；（2）15，5，252°；（3）
【解析】
【分析】
(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；
(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n，根据百分比乘以360°求出B等级所占圆心角的度数；
(3)列树状图解答.
【详解】解：（1）总人数为（人），
C等级的人数为：（人），
补充统计图：

（2），，
B等级所占扇形的圆心角度数为，
故答案为：，，252° ；
（3）列树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的有8种，
∴P（1男，1女）.
【点睛】此题考查统计的计算：求调查的总人数，计算部分的百分比，计算部分的圆心角的度数，还考查了利用列树状图求事件的概率.
22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里
【解析】
【分析】
（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；
（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.
【详解】解：（1）过A点作于点D，
∴，
由题意可得，
∴在中，，
∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；

（2）在中，，
∵，
∴，
在中，，
即A，C之间的距离为79.50海里.
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.
23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【答案】（1）一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元；（2）药店购进一次性医用口罩至少1400只
【解析】
【分析】
（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元，列分式方程求解即可；
（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元
由题意可知，，
解方程 得．
经检验是原方程的解，
当时，．
答：一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元．
（2）设购进一次性医用口罩y只
根据题意得，
解不等式得．
答：药店购进一次性医用口罩至少1400只．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握列分式方程与列不等式是解题的关键．
24.如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．

（1）求证：是的切线．
（2）已知，求O，E两点之间的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，先推出，然后根据是斜边上的中线，得出，从而可得，根据与相切，得到，
可得，即，即可证明是的切线；
（2）连接OE，先证明，可得，可求出AD，根据是的中位线，即可求出OE．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵是的直径，
∴，则，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）连接OE，

∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键．
25.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①4；②点，或点，
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；
（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
∴．
∴
，
解得：
∴抛物线的解析式为

（2）①设直线l的解析式为，交点，
由，
可得，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴当时，取最小值4．
∴的最小值是4．
②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴，即
解得：，，，
∵，，（不合题意，舍去．）
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：．
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：

综上：点，或点，．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．
26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．
（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．
【答案】（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3），s的最大值为．
【解析】
【分析】
（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；
（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；
（3）分、、和x=四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．
【详解】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；
（2）证明：分别过点B、D作于点E、于点F，
∴
∵两张纸条等宽，
∴．
在和中，
∴，
∵两张纸条都是矩形，，
∴ ．
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；

（3）Ⅰ、如图：当时，重叠部分为三角形，如图所示，
∴，
∴．最大值为．

Ⅱ、如图：当时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形下底为，上底为，
∴，当时，s取最大值．

Ⅲ、当时，重叠部分为五边形，
．
此时．

Ⅳ、当时，重叠部分为菱形，
∴．

∴
∴s的最大值为．
【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键．

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