广西北部湾经济区2020年中考数学试题（解析版）.doc

2020年广西北部湾经济区初中学业水平考试
数学
(考试时间：120分钟 满分：120分)
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分．答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．
2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3.不能使用计算器．考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列实数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】解：1，0，-5是有理数，是无理数．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3.2020年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎.其中某节数学课的点击观看次数约次，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】这个数据用科学记数法表示为．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列运算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式等知识点，能正确求出每个式子的值是解答此题的关键．
5.以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A. 检测长征运载火箭的零部件质量情况 B. 了解全国中小学生课外阅读情况
C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 检测某城市的空气质量
【答案】A
【解析】
【分析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【详解】A.检测长征运载火箭的零部件质量情况,必须全面调查才能得到准确数据；
B.了解全国中小学生课外阅读情况，量比较大，用抽样调查；
C.调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，用抽样调查；
D.检测某城市的空气质量，不可能全面调查，用抽样调查.
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
【详解】∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
7.如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．
8.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是：，
故选：C．

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
10.甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：；因为提速后行车时间比提速前减少，所以，提速前的时间-提速后的时间=．
【详解】根据提速前的时间-提速后的时间=，可得
即
故选：A
【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ）

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
【答案】C
【解析】
【分析】
画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，

则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.如图，点是直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点．若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设点A的坐标为(，)，则点C的坐标为(，)，设点B的坐标为(，)，则点D的坐标为(，)，根据AC=BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【详解】∵点A、B在直线上，点C、D在双曲线上，
∴设点A的坐标为(，)，则点C的坐标为(，)，
设点B的坐标为(，)，则点D的坐标为(，)，
∴BD=，AC=，
∵AC=BD，
∴，
两边同时平方，得，
整理得：，
由勾股定理知：，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与勾股定理综合应用，正确利用AC=BD得到的关系是解题的关键．
第II卷
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13.如图，数轴上所表示的x的取值范围为_____．

【答案】﹣1＜x≤3
【解析】
分析】
根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
【详解】解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
【点睛】本题考查的是不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上的点是空心点还是实心点.
14.计算：．
【答案】
【解析】

15.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数

“射中环以上”的次数

“射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位)

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一位)．
【答案】0.8
【解析】
【分析】
根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是_____．

【答案】556个
【解析】
【分析】
先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．
【详解】∵前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
【点睛】此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．
17.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．
【答案】（-4，3）
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（-4，3）．

故答案为（-4，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
18.如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意证得，推出∠BPE =60，∠BPD =120，得到C、B、P、D四点共圆，知点的运动路径长为的长，利用弧长公式即可求解．
【详解】连接BD，

∵菱形中，，
∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD和△CBD都为等边三角形，
∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，
∵DF=AE，
∴，
∴∠DBF=∠ADE，
∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60，
∴∠BPD=180-∠BPE=120，
∵∠C=60，
∴∠C+∠BPD =180，
∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是的外接圆，
∴当点从点运动到点时，则点的运动路径长为的长，
∴∠BOD =2∠BCD =120，
作OG⊥BD于G，
根据垂径定理得：BG=GD=BD=，∠BOG =∠BOD =60，
∵，即，
∴，
从而点的路径长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．
三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19.计算：．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据有理数的运算法则计算即可得到答案．
【详解】

．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键．
20.先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】
先用异分母加法法则计算括号内的，再把除法运算转化为乘法运算，化简化把x的值代入求值．
【详解】

，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题关键．
21.如图，点在一条直线上，．

（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明，再利用SSS证明；
（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形即可．
【详解】证明：

即

证明：

四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
22.小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取份答卷，并统计成绩(成绩得分用表示，单位：分)，收集数据如下：

整理数据：

分析数据：
平均分
中位数
众数

根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中的值；
（2）该校有名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于分的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义．
【答案】（1）5；91；100 （2）1040人 （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；众数：在统计的问卷的成绩中，得分的人数最多
【解析】
【分析】
（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为人数；
（2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以1600即可得到结果；
（3）根据中位数和众数的意义进行回答即可．
【详解】（1）a=20-3-4-8=5；
将这组数据按大小顺序排列为：
81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，
其中第10个和第11个数据分别是90，92，
所以，这组数据的中位数b=；
100出现了4次，出现的次数最多，所以，众数c是100；
（2），
(人)
（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；
众数：在统计的问卷的成绩中，得分的人数最多.
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键．
23.如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
【答案】（1）；（2）南偏东；
【解析】
【分析】
（1）过点作的垂线交于点，则AD为所求，根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到∠C=30°，∠DBC=60°，从而求出BC的长度，再求出∠DBE的度数，即可得到∠EBC的度数．
【详解】解：（1）过点作的垂线交于点，

∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2）在中，，
∠DBC=60°，

∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴，
.
答：从处沿南偏东出发，最短行程.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
24.倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知台型机器人和台型机器人同时工作共分拣垃圾吨，台型机器人和台型机器人同时工作共分拣垃圾吨．
（1）1台型机器人和台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨.设购买型机器人台，型机器人台，请用含的代数式表示；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号
原价
购买数量少于台
购买数量不少于台
型
万元/台
原价购买
打九折
型
万元/台
原价购买
打八折

在的条件下，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少？请说明理由．
【答案】（1）0.4吨；0.2吨；（2）；（3）购买A型35台，B型30台费用最少，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设台每小时分拣吨，台每小时分拣吨，依题意得：，解方程组可得；
（2）根据“每小时一共能分拣垃圾吨”可得，从而求解；
（3）根据题可得函数：，根据函数性质求最小值.
【详解】解：设台每小时分拣吨，台每小时分拣吨，依题意得：

解得
依题意得：
∴b=-2a+100
（3）结合（2），当10≤a<30时，b=100-2a
∴40＜b≤80,
此时，
当a≥30且100-2a≥30时，30≤a≤35
此时，
30≤a≤45,100-2a<30时，35<a≤45
此时，
即：
因为与是一次函数的关系，
当时，取，函数值最小是：
当时，取，函数值最小是：
当时，取，函数值最小是：
当时，b=100-2a=30
综上，购买A型35台，B型30台费用最少
答：购买A型35台，B型30台费用最少.
【点睛】本题考查一次函数应用，理解题意，列出方程组和一次函数是关键，要注意熟记一次函数的性质.
25.如图，在中，以为直径的交于点连接且连接并延长交的延长线于点与相切于点．

（1）求证：是的切线：
（2）连接交于点，求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明即可得到结论；
（2）连接OB，由切线长定理可得PA=PB，根据SSS即可证明，进一步得到，，从而可证明；
（3）由可设，得到，根据得列式，最后进行求解即可．
【详解】证明：为直径

又

为的切线
连为圆的切线

又

弧弧

又

在中，
设：，
故

且

即

．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
26.如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接.设点的纵坐标为，的面积为．

（1）当时，请直接写出点的坐标；
（2）关于的函数解析式为其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；

（3）在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点坐标和的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）； （3）存在，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据A点坐标求出直线AB的解析式，然后和直线进行联立即可求出B点的坐标；
（2）将，代入，可求出b的值，由题可知，当时，达到最大值，通过求出s，然后由即可求出a的值；
（3）若为的直角顶点，则，可求出AC的长度，从而得到结果；若为的直角顶点，过作垂线交于，，则，在中，由勾股定理可求出t，从而得到结果．
【详解】（1）当时，，
∵直线，，
∴可设直线AB的解析式为，
将代入，
得，
∴直线AB的解析式为，
联立得，
∴ ；
依题有，当时，
故
得
当时，达到最大值，
则
代入得，
解得
若为的直角顶点，则

此时的方程为，
令得
，
此时
若为的直角顶点，过作垂线交于

则
在中，由勾股定理得
即

解得：或
此时或；
或
当为的直角顶点，此种情况不存在，当在上方时为锐角，
当在下方时，为钝角，故不存在．
【点睛】本题考查了函数和几何综合问题，题目较难，明确题意，注意分类讨论的思想是解题的关键．

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