2022年广西北部湾经济区中考数学真题 （解析版）.docx

2022年广西北部湾经济区初中学业水平考试
数学
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作等无效；不能使用计算器：考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，）
1. 的相反数是（　　）
A. B. C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据相反数的意义知：的相反数是.
故选：A．
【考点】相反数.
2. 2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的特点分析判断即可．
【详解】根据题意，得
不能由平移得到，
故A不符合题意；
不能由平移得到，
故B不符合题意；
不能由平移得到，
故C不符合题意；
能由平移得到，
故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平移的特点，熟练掌握平移的特点是解题的关键．
3. 空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（　　）
A. 折线图 B. 条形图 C. 直方图 D. 扇形图
【答案】D
【解析】
【详解】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选D．
4. 如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）

A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上表示一对相反数的点关于原点对称即可求得答案．
【详解】∵数轴上的点A表示的数是−1，
∴点A关于原点对称的点表示的数为1，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴之间的对应关系，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
5. 不等式解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先移项，合并同类项，再不等式的两边同时除以2，即可求解．
【详解】，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
6. 如图，已知a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是( )．

A. 35° B. 45° C. 55° D. 125°
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1=55°，再根据对顶角相等即可求得答案.
【详解】∵a//b，
∴∠3=∠1=55°，
∴∠2=∠3=55°．
故选C．

7. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 三角形内角和是180° B. 端午节赛龙舟，红队获得冠军
C. 掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D. 打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
9. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各自的运算，依据法则计算判断即可．
【详解】∵ 不是同类项，
∴无法计算，不符合题意；
∵ ，
∴计算错误，不符合题意；
∵，
∴计算错误，不符合题意；
∵，
∴符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了整式的乘法，除法，加减，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
10. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
11. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得．
【详解】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运算三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．
12. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 化简：（1）=_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据，计算出结果即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
14. 当______时，分式的值为零．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案：0．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．
15. 如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是________．

【答案】
【解析】
【分析】由题意知，一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，标有奇数的三角形有3个，用奇数的个数除以数字的总数即为这个数是一个奇数的概率．
【详解】解：一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，上面分别标有奇数的三角形有3个，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数，这个数是一个奇数的概率是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
16. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．

【答案】134
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案：134．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比．
17. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴

．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．
18. 如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，得到BP=CQ，从而证得≌，得到BE=EF，再利用，F为中点，求得，从而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，，从而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1， 过点F作FM⊥AC 于点M，作FN⊥OD于点N，求得FM=2，MH=，FN=2，证得Rt≌Rt得到，从而得到ON=2，NG=1， ，从而得到答案．
【详解】解：过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，

∵ADPQ，
∴AP=DQ，，
∴BP=CQ，
∵，
∴BP=CQ=EQ，
∵EF⊥BE，
∴
∵
∴，
在与中

∴≌，
∴BE=EF，
又∵，F为中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴AE=AO-EO=4-2=2，
∵ABFC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴EH=AH-AE=，
∵，
，
∴，
又∵，
∴
∴，
，
∴EG=，OG=1，
过点F作FM⊥AC 于点M，
∴FM=MC==，
∴MH=CH-MC=，
作FN⊥OD于点N，
，
在Rt与Rt中

∴Rt≌Rt
∴，
∴ON=2，NG=1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】先计算括号内的，并计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式=1×3+4-4
=3+4-4
=3．
【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键，注意解题时要注意运算顺序：从高级到低级运算，有括号时应先算括号．
20. 先化简，再求值，其中．
【答案】x3-2xy+x，1
【解析】
【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
【详解】解：
=x(x2-y2)+xy2-2xy+x
=x3-xy2+xy2-2xy+x
=x3-2xy+x，
当x=1，y=时，原式=13-2×1×+1=1．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
21. 如图，在中，BD是它的一条对角线，

（1）求证：；
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）连接BE，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）50°
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等；
（2）根据垂直平分线的作法即可解答；
（3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可．
【小问1详解】
四边形ABCD是平行四边形，
，
，

【小问2详解】
如图，EF即为所求；
【小问3详解】
BD的垂直平分线为EF，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
22. 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
【实践探究】分析数据如下：

平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
2.0
n
0.0669
【问题解决】
（1）上述表格中，________，________；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由．
【答案】（1）3.75，2.0
（2）② （3）这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比；
（3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树．
【小问1详解】
芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75；
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；
故答案为：3.75，2.0；
【小问2详解】
合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；
故答案为：②；
【小问3详解】
这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0，
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．
【点睛】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键．
23. 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示．

（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．
【答案】（1）y= -5x+500，50＜x＜100
（2）75元，3125元
【解析】
【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得，确定解析式，结合图像，确定自变量取值范围是50＜x＜100．
（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意构造二次函数，根据函数的最值计算即可．
【小问1详解】
设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得
，
解得
∴ 函数解析式为y= -5x+500，
当y=0时，-5x+500=0，
解得x=100，
结合图像，自变量取值范围是50＜x＜100．
【小问2详解】
设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：
W=（x-50）(-5x+500)
=，
∵-5＜0，
∴ w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125，
故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，正确构造二次函数是解题的关键．
24. 如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F．

（1）求证：DE是的切线
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得 (4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得的半径OA长，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接OD；

∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴ODAB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：连接CF，

由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴ODAB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，
∵AC是的直径，
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DECF，
∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，
∴CF=2DE,
∵，
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt△ACF中，由勾股定理，得
AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13,
即的半径为13．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线， DE是△FBC的中位线是解题的关键．
25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）
（2）-3 （3）或或
【解析】
【分析】（1）令，由抛物线解析式可得，解方程即可确定点A，点B的坐标；
（2）由抛物线解析式确定其对称轴为，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程组可确定点C坐标，由列方程求解即可；
（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，根据一元二次方程的根的判别式为可知，然后分情况讨论时以及结合图像分析a的取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线解析式，令，
可得，
解得，，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
小问2详解】
对于抛物线，其对称轴为，
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
，可解得 或，
故点C坐标为（4，-5），
∴，
，
当时，可得，
解得；
【小问3详解】
将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
令，整理可得，
其判别式为，
①当时，解得，此时抛物线与线段MN只有一个交点；
②当即时，解方程，
可得，
即，，
若时，如图1，
由，可解得，

此时有，且，
解得；
②当时，如图2，
由，可解得，

此时有，且，
解得；
综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、利用二次函数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
26. 已知，点A，B分别在射线上运动，．

（1）如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：
（2）如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
（3）如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．
【答案】（1），证明见解析
（2）
（3）当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行证明即可；
（2）取AB中点T，连接OT、CT、OC，由等腰直角三角形的性质可得，继而可得当O、T、C在同一直线上时，CO最大，再证明，再由勾股定理求出OT的长，即可求解；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当时，OC最大，当时，此时OT最大，即的面积最大，由勾股定理等进行求解即可．
【小问1详解】
，证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
【小问2详解】
如图，取AB中点T，连接OT、CT、OC，

以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，
，
（当且仅当点T在线段OC上时，等号成立），
当O、T、C在同一直线上时，CO最大，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
；
【小问3详解】
如图，当点A，B运动到时，的面积最大，证明如下：
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，

由（2）可知，当时，OC最大，，
当时，，
此时OT最大，
的面积最大，
，
，

，

综上，当点A，B运动到时，的面积最大，面积的最大值为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
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