2008年广东高考（理科）数学（原卷版）.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试
（广东卷）
数学(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
2．记等差数列的前项和为，若，，则（ D ）
A．16 B．24 C．36 D．48

一年级
二年级
三年级
女生
373

男生
377
370

3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量满足则的最大值是（ C ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．

6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A． B． C． D．
7．设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）
A． B． C． D．

8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ B ）
A． B． C． D．
开始

n整除a?
是
输入
结束

输出

图3
否
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出 ，

（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，
则 ．
11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线
方程是 ．
12．已知函数，，则的最小正周期是 ．
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．
14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．

15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．

17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

18．（本小题满分14分）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

19．（本小题满分14分）
设，函数，，，试讨论函数的单调性．

20．（本小题满分14分）
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．

21．（本小题满分12分）
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．

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