2008年北京高考文科数学试题及答案.doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题　共40分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题，第小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|-2≤x≤3}≤3, B={x|x<-1或x>4}, 则集合A∩B等于
（A）{x|x≤3或x>4} （B）{x|－1<x≤3}
（C）{x|3≤x<4} (D) {x|－2≤x<-1}
（2）若a=log3π, b=log76，c=log20.8, 则
（A）a>b>c （B）b>a>c
（C）c>a>b （D）b>c>a
（3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于
（A）135° 　　(B)90° 　(C)45° (D)30°
（5）函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为
（A）f --1(x)=1+(x>1) （B）f--1(x)=1-(x>1)
（C）f --1(x)=1+(x≥1) （D）f--1(x)=1-(x≥1)
x-y+1≥0,
（6）若实数x，y满足 x+y≥0,　　则z=x+2y的最小值是
x≤0,
(A)0 (B) 　(C) 1 (D)2
（7）已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于
(A)30 （B）45
(C)90 　(D)186
（8）如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是

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2008年普通高等学校校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
　　　　　　　　　　　　三
总分
15
16
17
18
19
20
分数

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
(9)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan 2a的值为　　　　　.
(10)不等式的解集是　　　　.
(11)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜= |b| = 4,那么a·b的值为　　　　.
(12)若展开式中常数项为 ；各项系数之和为　　　　　　.（用数字作答）
(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC, 其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数f′（1）= .
(14)已知函数f(x)=x2- cos x, 对于［－］上的任意x1,x2,有如下条件：
① x1>x2;  ②x21>x22; ③|x1|>x2.
其中能使f(x1)> f(x2)恒成立的条件序号是　　　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.

（16）（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.

（17）（本小题共13分）
已知函数是奇函数.
（Ⅰ）求a,c的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

（18）（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

（19）（本小题共14分）
已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l: y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

（20）（本小题共13分）
数列{an}满足
（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m, 当n＞m时总有an＜0.

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2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）A （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）|x|x＜-2|
（11）-8 （12）10 32
（13）2 -2 （14）②
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）
=
=
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，
所以
解得ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
因为0≤x≤，
所以≤≤
所以≤sin≤1.
因此0≤≤，即f(x)的取值范围为[0，]

（16）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC平面PCD，
∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC
取AP中点E,连接BE,CE
∵AB=BP
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°, BC=2, BE=，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC, AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB平面ABC，
∴PC⊥AB.

(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2，
∴t=2, P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP, BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 即f (-x)- 2= -f (x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c,
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
所以{
解得a=0，c＝2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.
所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).
当b＜0时，由f′(x)=0得x=±
x变化时，f′(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,- )
-
(-,)

(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.

（18）（共13分）
解：
（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么
　　　　　　　　　　P（EA）=
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么
P（E）＝
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
P（）=1-P(E)=
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.
设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由得
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.
由得
因为A，B在椭圆上，
所以
　　　 设A，B两点坐标分别为（x1, y1），（x2, y2）.
则
　　　 所以
　　　 又因为BC的长等于点（0, m）到直线l的距离，即
所以
　　　 所以当m=-1时，AC边最长.（这时）
此时AB所在直线的方程为y=x-1.
(20)（共13分）
解：（Ⅰ）由于且a1=1，
所以当a2= -1时，得,
故
　从而
　（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：
　由a1=1，得

　若存在，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即

　解得=3.
于是
　　　　　这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意，{an}都不可能是等差数列.
（Ⅲ）记根据题意可知，b1＜0且，即＞2且N*)，这时总存在N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0-1时，bn＜0.
　　　　所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，则，从而当n＞n0
时an＜0；若n0为奇数，则，从而当n＞n0时an＞0.
因此“存在mN*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：no为偶数，
记no=2k(k=1,2, …)，则满足

故的取值范围是4k2+2k (kN*).