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2005年西藏高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径，
球的体积公式
V=，
其中R表示球的半径

如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=CPk(1－P)n－k

一、选择题：
（1）已知为第三象限角，则所在的象限是
（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限
（2）已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为
（A）0 （B）-8 （C）2 （D）10
（3）在的展开式中的系数是
（A）-14 （B）14 （C）-28 （D）28
(4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为
（A） （B） （C） （D）
（5）
(A) (B) (C) (D)
(6)若,则
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c
(7)设,且,则
(A) (B) (C) (D)
(8)
(A) (B) (C) 1 (D)
（9）已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为
（A） （B） （C） （D）
（10）设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（A） （B） （C） （D）
（11）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有
（A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个
（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=
（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0

第Ⅱ卷
二．填空题（16分）
（13）已知复数,复数Z满足Z=3Z+,则复数Z=_________________
（14）已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
（15）高为平面上过(0,1)的直线, 的斜率等可能地取,用表示坐标原点到的距离,由随机变量的数学期望E=___________
（16）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是
三.解答题：
(17) (本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
（18）(本小题满分12分)

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

(19)在,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列，且cosB=.
①求cotA+cotB的值。
②设，求a + c 的值。

（20）(本小题满分12分)
在等差数列
已知数列成等比数列,求数列的通项

(21) (本小题满分14分)
设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当时，求直线的方程.

（22）已知函数
①求的单调区间和值域。
②设,函数,若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围。

参考答案

一.DBBCA，CCBCD，BA
二.13、，14、，15、，16、3
三.解答题：
（17）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分
则A、B、C相互独立，
由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05
P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分
解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
……………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为……12分

（18）证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分
则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），
∴………………………………3分
由……………………………………4分
……………………………………5分
又AB∩AV=A
∴AB⊥平面VAD…………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量………………………………7分
设是面VDB的法向量，则
……9分
∴，……………………………………11分
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为…………12分
（19）（I）由cosB=得，
于是

=
(II)由得
由余弦定理 得
a+c=3
（20）解：由题意得：……………………………………………………1分
即……………………………………………………………3分
又∴…………………………………………………………………………4分
又成等比数列,
∴该数列的公比为，……………………………………………………6分
所以…………………………………………………………………………8分
又…………………………………………………………10分
∴
所以数列的通项为…………………………………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴，
∴焦点为………………………………………………………………1分
（1）直线的斜率不存在时，显然有=0………………………………3分
（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b
即直线：y=kx+b
由已知得：
……………………………………………………5分

………………………………………………7分

即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分
所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分
（Ⅱ）当时，
直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b………………………………10分
则由（Ⅰ）得：

………………………………………………11分
………………………………………………………………13分
所以直线的方程为，即………………14分

(22)解：(I)对函数求导，得

令解得 或
当x变化时。，的变化情况如下表：
x
0
(0,)

()
1

_
0
+

-4

-3
所以，当时， 是减函数；当时，是增函数。
当时，的值域为[-4，-3]。
（II）对函数求导，得图表 1

时，
因此当时。为减函数，从而当时有

又,即当时有

任给，，存在，使得，则

即解得
又，所以a 的取值范围为