人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试卷.doc
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1、人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试卷一、解答题1已知,四边形ABCD是正方形,点E是正方形ABCD所在平面内一动点(不与点D重合),ABAE,过点B作DE的垂线交DE所在直线于F,连接CF提出问题:当点E运动时,线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变?探究问题:(1)首先考察点E的一个特殊位置:当点E与点B重合(如图)时,点F与点B也重合用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系: ;(2)然后考察点E的一般位置,分两种情况:情况1:当点E是正方形ABCD内部一点(如图)时;情况2:当点E是正方形ABCD外部一点(如图)时在情况1或情况2下,线段CF与线段DE之间的数量
2、关系与(1)中的结论是否相同?如果都相同,请选择一种情况证明;如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同,请说明理由;拓展问题:(3)连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系: 2如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GEDC于点E,GFBC于点F,连结AG(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,AGF=105,求线段BG的长3如图,在矩形中,点是上的一点(不与点,重合),沿折叠,得,点的对称点为点 (1)当时,点会落在上吗?请说明理由(2)设,且点恰好落在上求证:若,用等式表示的关系4如图
3、1所示,把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E,F分别在正方形的边CB,CD上,连接AE、AF(1)求证:AEAF;(2)取AF的中点M,EF的中点N,连接MD,MN则MD,MN的数量关系是 ,MD、MN的位置关系是 (3)将图2中的直角三角板ECF,绕点C旋转180,如图3所示,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由5在平面直角坐标中,四边形OCNM为矩形,如图1,M点坐标为(m,0),C点坐标为(0,n),已知m,n满足(1)求m,n的值;(2)如图1,P,Q分别为OM,MN
4、上一点,若PCQ45,求证:PQOP+NQ;如图2,S,G,R,H分别为OC,OM,MN,NC上一点,SR,HG交于点D若SDG135,则RS_;(3)如图3,在矩形OABC中,OA5,OC3,点F在边BC上且OFOA,连接AF,动点P在线段OF是(动点P与O,F不重合),动点Q在线段OA的延长线上,且AQFP,连接PQ交AF于点N,作PMAF于M试问:当P,Q在移动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若不变求出线段MN的长度;若变化,请说明理由6(解决问题)如图1,在中,于点点是边上任意一点,过点作,垂足分别为点,点(1)若,则的面积是_,_(2)猜想线段,的数量关系,并说明理由(3)(变式
5、探究)如图2,在中,若,点是内任意一点,且,垂足分别为点,点,点,求的值(4)(拓展延伸)如图3,将长方形沿折叠,使点落在点上,点落在点处,点为折痕上的任意一点,过点作,垂足分别为点,点若,直接写出的值7如图,锐角,点是边上的一点,以为边作,使,(1)过点作交于点,连接(如图)请直接写出与的数量关系;试判断四边形的形状,并证明;(2)若,过点作交于点,连接(如图),那么(1)中的结论是否任然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由8在矩形ABCD中,BE平分ABC交CD边于点E点F在BC边上,且FEAE(1)如图1,BEC=_;在图1已有的三角形中,找到一对全等的三角形,并证明你的结论;
6、(2)如图2,FHCD交AD于点H,交BE于点MNHBE,NBHE,连接NE若AB=4,AH=2,求NE的长9如图,中,连结,是边上一点,连结交于点(1)如图1,连结,若,求的面积;(2)如图2,延长至点,连结、,点在上,且,过作于点若,求证:10如图,已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置,连接AG,AE(1)求证:(2)过点F作于P,交AB、AD于M、N,交AE、AG于P、Q,交BC于H,求证:NH=FM【参考答案】*试卷处理标记,请不要删除一、解答题1(1)DECF;(2)在情况1与情况2下都相同,详见解析;(3)AFCFDF或|AFCF|DF【分析】(1)易证BCD是等腰直角三角形
7、,得出DB=CB,即可得出结果;(2)情况1:过点C作CGCF,交DF于G,设BC交DF于P,由ASA证得CDGCBF,得出DG=FB,CG=CF,则GCF是等腰直角三角形,FG=CF,连接BE,设CDG=,则CBF=,DEA=ADE=90-,求出DAE=2,则EAB=90-2,BEA=ABE=(180-EAB)=45+,CBE=45-,推出FBE=45,得出BEF是等腰直角三角形,则EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=CF;情况2:过点C作CGCF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,由ASA证得CDGCBF,得出DG=FB,CG=CF,则GCF是等腰直角三角形,得FG
8、=CF,设CDG=,则CBF=,证明BEF是等腰直角三角形,得出EF=BF,推出DE=FG,得出DE=CF;(3)当F在BC的右侧时,作HDDF交FA延长线于H,由(2)得BEF是等腰直角三角形,EF=BF,由SSS证得ABFAEF,得出EFA=BFA=BFE=45,则HDF是等腰直角三角形,得HF=DF,DH=DF,HDF=ADC=90,由SAS证得HDAFDC,得CF=HA,即可得出AF+CF=DF;当F在AB的下方时,作DHDE,交FC延长线于H,在DF上取点N,使CN=CD,连接BN,证明BFN是等腰直角三角形,得BF=NF,由SSS证得CNFCBF,得NFC=BFC=BFD=45,则
9、DFH是等腰直角三角形,得FH=DF,DF=DH,由SAS证得ADFCDH,得出CH=AF,即可得出AF+CF=DF;当F在DC的上方时,连接BE,作HDDF,交AF于H,由(2)得BEF是等腰直角三角形,EF=BF,由SSS证得ABFAEF,得EFA=BFA=BFE=45,则HDF是等腰直角三角形,得出HF=DF,DH=DF,由SAS证得ADCHDF,得出AH=CF,即可得出AF-CF=DF;当F在AD左侧时,作HDDF交AF的延长线于H,连接BE,设AD交BF于P,证明BFE是等腰直角三角形,得EF=BF,由SSS证得ABFAEF,得EFA=BFA=BFE=45,则DFH=EFA=45,H
10、DF是等腰直角三角形,得DH=DF,HF=DF,由SAS证得HDAFDC,得出AF=CF,即可得出CF-AF=DF【详解】解:(1)四边形ABCD是正方形,CD=CB,BCD=90,BCD是等腰直角三角形,DB=CB,当点E、F与点B重合时,则DE=CF,故答案为:DE=CF;(2)在情况1或情况2下,线段CF与线段DE之间的数量关系与(1)中结论相同;理由如下:情况1:四边形ABCD是正方形,CD=CB=AD=AB=AE,BCD=DAB=ABC=90,过点C作CGCF,交DF于G,如图所示:则BCD=GCF=90,DCG=BCF,设BC交DF于P,BFDE,BFD=BCD=90,DPC=FP
11、B,CDP=FBP,在CDG和CBF中,CDGCBF(ASA),DG=FB,CG=CF,GCF是等腰直角三角形,FG=CF,连接BE,设CDG=,则CBF=,ADE=90-,AD=AE,DEA=ADE=90-,DAE=180-2(90-)=2,EAB=90-2,AB=AE,BEA=ABE=(180-EAB)=(180-90+2)=45+,CBE=90-(45+)=45-,FBE=CBE+CBF=45-+=45,BFDE,BEF是等腰直角三角形,EF=BF,EF=DG,EF+EG=DG+EG,即DE=FG,DE=CF;情况2:过点C作CGCF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,如图所示
12、:GCF=BCD=90,DCG=BCF,FPD=BPC,FDP=PBC,在CDG和CBF中,CDGCBF(ASA),DG=FB,CG=CF,GCF是等腰直角三角形,FG=CF,设CDG=,则CBF=,同理可知:DEA=ADE=90-,DAE=2,EAB=90+2,AB=AE,BEA=ABE=45-,FEB=DEA-AEB=90-(45-)=45,BFDE,BEF是等腰直角三角形,EF=BF,EF=DG,DE=FG,DE=CF;(3)当F在BC的右侧时,作HDDF交FA延长线于H,如图所示:由(2)得:BEF是等腰直角三角形,EF=BF,在ABF和AEF中,ABFAEF(SSS),EFA=BFA
13、=BFE=45,HDF是等腰直角三角形,HF=DF,DH=DF,HDF=ADC=90,HDA=FDC,在HDA和FDC中,HDAFDC(SAS),CF=HA,DF=HF=HA+AF=CF+AF,即AF+CF=DF;当F在AB的下方时,作DHDE,交FC延长线于H,在DF上取点N,使CN=CD,连接BN,如图所示:设DAE=,则CDN=CND=90-,DCN=2,NCB=90-2,CN=CD=CB,CNB=CBN=(180-NCB)=(180-90+2)=45+,CNE=180-CND=180-(90-)=90+,FNB=90+-(45+)=45,BFN是等腰直角三角形,BF=NF,在CNF和C
14、BF中,CNFCBF(SSS),NFC=BFC=BFD=45,DFH是等腰直角三角形,FH=DF,DF=DH,ADC=HDE=90,ADF=CDH,在ADF和CDH中,ADFCDH(SAS),CH=AF,FH=CH+CF=AF+CF,AF+CF=DF;当F在DC的上方时,连接BE,作HDDF,交AF于H,如图所示:由(2)得:BEF是等腰直角三角形,EF=BF,在ABF和AEF中,ABFAEF(SSS),EFA=BFA=BFE=45,HDF是等腰直角三角形,HF=DF,DH=DF,ADC=HDF=90,ADH=CDF,在ADC和HDF中,ADCHDF(SAS),AH=CF,HF=AF-AH=A
15、F-CF,AF-CF=DF;当F在AD左侧时,作HDDF交AF的延长线于H,连接BE,设AD交BF于P,如图所示:AB=AE=AD,AED=ADE,PFD=PAB=90,FPD=BPA,ABP=FDP,FEA=FBA,AB=AE,AEB=ABE,FEB=FBE,BFE是等腰直角三角形,EF=BF,在ABF和AEF中,ABFAEF(SSS),EFA=BFA=BFE=45,DFH=EFA=45,HDF是等腰直角三角形,DH=DF,HF=DF,HDF=CDA=90,HDA=FDC,在HDA和FDC中,HDAFDC(SAS),AF=CF,AH-AF=CF-AF=HF,CF-AF=DF,综上所述,线段A
16、F、CF、DF三者之间的数量关系:AF+CF=DF或|AF-CF|=DF,故答案为:AF+CF=DF或|AF-CF|=DF【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键2(1)AG2=GE2+GF2,理由见解析;(2)【分析】(1)结论:AG2=GE2+GF2只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在RtGFC中,利用勾股定理即可证明;(2)作BNAG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM设AN=x易证AM
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